Władysław DYBCZYŃSKI 

Politechnika Białostocka, Wydział Elektryczny, Katedra Promieniowania Optycznego 

 
 

Krzywa światłości diody LED 

 
 

Streszczenie. 

Opisano sposób projektowania kształtu soczewki płasko-wypukłej, współpracującej z diodą  świecącą. Zaproponowany układ 

świetlno-optyczny może oświetlać ze stałym natężeniem oświetlenia wybrany obszar pola pracy wzrokowej. 
 
Abstrakt.

 The designing method of the shape of lens, which is a part of the optical system, is described. This system consists of an LED and flat-

convex lens. It has application in lightening work stand surface with constant value of illuminance. (The LED intensity curve). 
 
Słowa kluczowe: oświetlenie miejscowe, dioda elektroluminescencyjna, natężenie oświetlenia, pole pracy wzrokowej. 
Keywords: lighting, LED, illuminance, work stand.  
 
 

Wprowadzenie 

Diody elektroluminescencyjne są nowoczesnymi 

źródłami  światła. Charakteryzują się niewielką mocą, 
ograniczoną skutecznością świetlną i małymi wymiarami. 
Łącząc niektóre cechy techniczne tych diod z niezbyt 
niskimi cenami dochodzi się do wniosku, że te źródła 
światła nie nadają się do oświetlenia wielkich 
powierzchni z dużym poziomem natężenia oświetlenia. 
Ale do oświetlenia miejscowego i akcentującego 
niewielkich powierzchni doskonale się nadają. 

Sposób oświetlenia miejscowego, z wykorzystaniem 

diod LED został omówiony w czasie trwania Konferencji 
Oświetleniowej Lumen V4 (Węgry) [1]. Stwierdzono tam, 
że tylko niektóre diody LED, o odpowiednim kształcie 
bryły fotometrycznej, można racjonalnie wykorzystywać 
do oświetlenia miejscowego. Niektóre, handlowo 
dostępne diody, przeznaczone są do oświetlenia 
powierzchni płaskich z kierunku normalnego. Uzyskuje 
się plamę  świetlną o dobrej równomierności natężenia 
oświetlenia i o wielkości zależnej od odległości świecenia 
i kąta użytecznego wypromieniowanej wiązki  świetlnej. 
Niestety przy oświetleniu tymi diodami miejsca pracy 
wzrokowej, np. w postaci biurka, które realizuje się 
zazwyczaj z boku, sprawność takiego urządzenia 
oświetleniowego jest ograniczona. Wynika to głównie z 
nieodpowiedniego kształtu bryły fotometrycznej samej 
diody. Chcąc zaproponować korzystniejszy kształt tej 
bryły należy ustalić odpowiednią geometrię usytuowania 
oprawy oświetlenia miejscowego. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rys. 1. Geometria oświetlenia biurka 
 

Geometria oświetlenia biurka 

Przyjęto, że miejsce pracy wzrokowej (format A

3

) jest 

usytuowane na blacie biurka (rys. 1) o wymiarach 
600×900 mm. Środek  świetlny oprawy oświetlenia 
miejscowego (punkt D) znajduje się na wysokości  h = 
500 mm ponad blatem biurka. Rzut środka  świetlnego 
oprawy (punkt S) leży na krawędzi biurka. Najdalszy 
punkt (P), który oświetla oprawa, znajduje się w znanej 

odległości (SP = 688 mm) od punktu S. Idąc od punktu P 
wzdłuż osi x w kierunku punktu S wartość natężenia 
oświetlenia powinna być stała i równa E

h

 = 200 lx. Zakładając 

obrotowo-symetryczny kształt bryły fotometrycznej diody LED, 
to w kierunku osi y rozkład natężenia oświetlenia na biurku 
będzie zbliżony do funkcji kosinus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

0

10

20

30

40

O

O

O

O

O

0

100

200

300

[cd]

688

650

600

500

400
300

200

[mm]

 

Rys. 2. Wymagana krzywa światłości diody świecącej 

 

W celu wytworzenia w dowolnym punkcie F, leżącym na 

osi x, natężenia oświetlenia o wartości E

h

, światłość I

γ

 powinna 

wynosić 

 

(1)  

 

σ

γ

cos

2

2

h

x

E

I

F

h

+

=

 

F

G

x

y

z

h

S

D

0

P

 

przy czym: 

2

2

cos

h

x

h

F

+

=

σ

 

 

x

F

 - współrzędna punktu F. 

 

Wyznaczona w ten sposób krzywa światłości, dająca stałą 

wartość natężenia oświetlenia w linii pokrywającej się z osią x 
(od punktu P w kierunku S), została przedstawiona na rysunku 
2. Wobec usytuowania pola pracy wzrokowej między punktami 
P i G, krzywa światłości powinna sięgać też od punktu P do G, 
ponieważ strumień świetlny zawarty w kącie między punktami 
G i S (rys. 2) trafia już w najbliższe otoczenie wspomnianego 
pola, nie jest niezbędny. Ze względu na rzeczywisty wymiar 
obszaru świecącego diody, krzywa światłości opada z punktu 
G do wartości zerowej w określonym przedziale (niewielkim) 
kąta 

γ

. Przyjęto,  że w rzeczywistych warunkach szybkość 

zmian światłości w funkcji kąta 

γ 

 wynosi 25 cd/stopień. Znając 

ten wyidealizowany przebieg krzywej światłości można już 

PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY - KONFERENCJE, ISSN 1731-6106, R. 5 NR 1/2007

 

14 

przystąpić do projektowania układu optycznego 
współpracującego z diodą o kosinusowym rozsyle 
światłości. Użyteczny strumień 

świetlny diody, 

wyposażonej w układ optyczny, wyznaczony z krzywej 
światłości dla przyjętej powyżej geometrii oświetlenia 
stanowiska pracy, powinien wynosić 

Φ

u

 = 23,3 lm. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rys. 3. Soczewka współpracująca z diodą świecącą 
 

Układ optyczny diody świecącej 

Założono, że element świecący diody jest mały, więc 

przyjęto punktowe źródło 

światła, emitujące 

promieniowanie zgodne z funkcją kosinus (rys. 3). 
Promienie  świetlne trafiają na soczewkę, która powinna 
kształtować rozkład przestrzenny strumienia świetlnego 
zgodnie z krzywą  światłości, przedstawioną na rysunku 
2. Przestrzeń przedmiotową podzielono na równe kąty 
elementarne 

ΔΦ

 (rys. 4) i w ten sposób otrzymano 

kierunki 

β

1

; 

β

2 … 

β

i

. Reprezentantem elementarnego 

strumienia świetlnego jest wektor biegnący pod kątem 

ϕ

i

. 

 

Rys. 4. Elementarne strumienie świetlne 
 

Elementarny strumień  świetlny 

ΔΦ

pi

, padający na 

soczewkę, wynosi 

 

(2)  

)

cos

(cos

2

1

i

i

pi

pi

I

β

β

π

−

=

ΔΦ

−

 

 

przy czym: 

 

(3)  

π

ϕ

ϕ

i

u

i

m

pi

I

I

cos

cos

Φ

=

=

 

 

I

m

 – światłość maksymalna diody, 

Φ

u

 – strumień 

użyteczny diody. 

 

Elementarny strumień  świetlny 

ΔΦ

wi

 wychodzący z 

soczewki, można wyznaczyć z zależności 

 

(4) 

)

cos

(cos

2

1

i

i

i

wi

I

α

α

π

γ

−

=

ΔΦ

−

 

 

przy czym: I

γi

 – wymagana wartość światłości skierowana pod 

kątem 

γ

i

 (rys. 2), 

α

i-1

, 

α

i

 – kąty ograniczające rozsył 

elementarnego strumienia świetlnego. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

i

i

i

i

i

i

i

j

j

‘

‘

Rys. 5. Przebieg promienia świetlnego w soczewce 
 

Elementarny strumień  świetlny wychodzący (4) można 

porównać z padającym (2) pod warunkiem uwzględnienia 
współczynnika przepuszczania 

τ

 soczewki. Wyznaczenie 

kątów 

γ

i

  w poszczególnych strefach jest dosyć  złożone, 

ponieważ nie jest znany kąt  łamiący 

δ

i

 w danej strefie 

soczewki (rys. 5). Promień padający pod kątem 

ϕ

i

, w 

rozpatrywanej strefie, ulega załamaniu i biegnie pod kątem 

ϕ

i

’. 

Kierunek 

ϕ

i

’ wyznacza się z zależności Fresnela 

 

(5) 

n

i

i

ϕ

ϕ

sin

sin

'

=

. 

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

t

g

D

T

T

T

T

W

W

W

W

0

0

 

 

Na drugiej granicy ośrodków 

zjawisko przebiega podobnie 

 

(6) 

. 

'

sin

sin

i

i

j

n

j

=

 

Jednocześnie wiadomo, że suma 

kątów 

ϕ

i

’ i j

i

’ jest równa kątowi 

łamiącemu 

δ

i

   w danym miejscu 

soczewki 

 

(7) 

. 

'

'

i

i

i

j

+

=

ϕ

δ

 

Z rysunku 5 wynika 

 

(8)  

. 

i

i

i

i

i

i

j

j

j

γ

ϕ

ψ

−

+

=

=

+

'

'

'

 

Zatem    

 

 

i

i

i

i

j

sin

)

sin(

'

=

+

ψ

 

oraz  

 

 

. 

i

i

i

i

i

j

j

j

sin

sin

cos

cos

sin

'

'

=

+

ψ

ψ

 

Dzieląc powyższe wyrażenie przez 

sinj

i

’

 oraz po dalszych 

przekształceniach otrzymuje się 

 

(9)

 

 

)

cos(

)

sin(

'

'

'

i

i

i

i

i

n

arctg

j

γ

ϕ

γ

ϕ

−

−

−

=

.

 

W praktyce obliczeniowej, przy wyznaczaniu w każdej 

strefie kąta 

δ

i

 zakłada się wstępnie wartość  kąta 

α

i

 (rys. 4), 

wylicza się dla niego średni kąt 

γ

i

  

PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY - KONFERENCJE, ISSN 1731-6106, R. 5 NR 1/2007

 

15

(10)  

2

1

i

i

i

α

α

γ

+

=

−

, 

dla którego wyznacza się światłość I

γi

  

 

(11)  

2

2

h

x

E

I

F

h

i

+

=

γ

 

 

przy czym:  

  

h

x

arctg

DS

SP

arctg

tg

h

x

P

i

F

=

=

−

=

⋅

=

0

0

σ

γ

σ

σ

σ

 

 

Następnie porównuje się elementarne strumienie 

świetlne: padający 

ΔΦ

pi

 z przepuszczonym 

ΔΦ

wi

 z 

uwzględnieniem współczynnika przepuszczania 

τ

 

soczewki. 

 

(12)  

ε

α

α

π

β

β

ϕ

τ

γ

=

−

−

−

Φ

−

−

)

cos

(cos

)

cos

(cos

cos

1

1

i

i

i

i

i

i

u

I

. 

 

Jeżeli różnica 

ε

 tych dwóch strumieni świetlnych nie 

jest równa zeru, należy przyjąć nową wartość  kąta 

α

i

. 

Obliczenia prowadzi się tak długo, aż różnica 

ε

  będzie 

równa zeru lub będzie mniejsza od dopuszczalnego 
błędu (np. 

ε

 < 0,0001). 

Teraz można już wyznaczyć  średni kąt  łamiący 

δ

i

 

danej strefy soczewki poprzez sumowanie wartości 
kątów 

ϕ

i

’ oraz j

i

’ (zależności: 7, 9 i 10). Kształt elementu 

soczewki jest określony czterema punktami: T

i-1

;  W

i-1

;  T

i

 

oraz  W

i

 (rys. 4). Współrzędne dwóch z tych punktów 

zostały wyliczone w poprzedniej strefie. Współrzędna 
punktu  T

i

 z bieżącej strefy (i-tej) wyznacza się z 

zależności: 

 

(13)  

. 

⎭

⎬

⎫

⋅

=

=

i

Ti

Ti

tg

t

y

t

x

β

 

Współrzędne punktu W

i

 są związane zależnościami: 

 

(14)  

⎪

⎪
⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−

−

=

−

−

=

−

−

t

x

y

y

tg

y

y

x

x

tg

Wi

Ti

Wi

i

Wi

Wi

Wi

Wi

i

'

1

1

β

δ

. 

Rozwiązaniem powyższego układu równań  są 

wyrażenia: 

 

(15) 

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⋅

−

+

=

+

+

⋅

+

−

=

−

−

'

'

'

1

'

1

1

i

i

Wi

Ti

Wi

i

i

i

Wi

i

i

i

Ti

Wi

Wi

tg

t

tg

x

y

y

tg

tg

tg

y

tg

tg

t

tg

y

x

x

β

β

δ

β

δ

δ

β

δ

. 

Obliczenia poszczególnych stref prowadzi się tak długo, aż 

wartość  kąta 

β

i

 osiągnie założony kąt objęcia  źródła  światła 

przez soczewkę. 

 

Przykładowe wyniki obliczeniowe 

Do obliczeń przyjęto następujące dane: 

• strumień świetlny użyteczny diody świecącej 

Φ

u

 = 23,3 lm; 

• odległość elementu soczewki od źródła światła t = 10 mm; 

• grubość soczewki g = 20 mm; 

•  kąt objęcia źródła światła przez soczewkę 

β

gr

 = 60º; 

• współczynnik załamania materiału soczewki n = 1,5. 

Obliczenia prowadzono z przyrostem kąta 

Δϕ

 = 2º. Wyniki 

obliczeniowe przedstawiono na rysunku 6. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 6. Kształt soczewki współpracującej z diodą świecącą 

 

Taki układ  świetlno-optyczny daje możliwość  oświetlenia 

powierzchni pracy wzrokowej wzdłuż osi x, od punktu x

F

 = 420 

mm do x

P

 = 688 mm ze stałą wartością natężenia oświetlenia 

(rys. 1). W kierunku osi y spadek natężenia oświetlenia będzie 
w przybliżeniu przebiegał zgodnie z funkcją kosinus. 

 
 

Pracę wykonano w Politechnice Białostockiej w ramach zadań 
statutowych S/WE/2/06. 
 
 

LITERATURA 

[1] D y b c z y ń s k i  W.: Zastosowanie diod elektroluminescencyjnych do 

oświetlenia miejscowego. Konferencja Lumen V4. Balatonfüred 28 
– 29.9.2006 r. 

 
 
 

Autor:

 prof. dr hab. inż. Władysław Dybczyński, Politechnika 

Białostocka, Wydział Elektryczny, Katedra Promieniowania 
Optycznego, ul Wiejska 45D, 15351 Białystok, E-mail: 

w.dyb@pb.bialystok.pl

 

PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY - KONFERENCJE, ISSN 1731-6106, R. 5 NR 1/2007

 

16