66
Wykresy i własno
ś
ci funkcji trygonometrycznych
Zad. 1:
Dana jest funkcja
(
)
f x
x
( )
sin
=
− +
2
1
3
π
, której dziedziną jest przedział 〈0;3
π
〉.
a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f .
b) Naszkicuj wykresy funkcji y = f(x) i y =
|
f(x)
|
.
c) Naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdemu argumentowi m przyporządkowuje liczbę roz-
wiązań równania
|
f(x)
|
= m.
Odp.: a) x
x
x
=
=
=
π
π
π
6
3
2
13
6
,
lub
.
Zad. 2:
Dana jest funkcja f(x) = a cos(x + c)cos x + b, gdzie:
(
)
a
x
tgx
x
=
−
→
lim
sin
π
4
2
4 1
,
( )
b
g
=
'
π
2
dla
g(x) = cos x, c
∈
(0;
π
) i sin c = 1. Naszkicuj wykres funkcji f dla
x
∈ − π π
;
3
2
. Określ
liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: a = 2, b = –1, c
=
π
2
;
(
)
(
)
f x
x
x
x
( )
cos
cos
sin
=
+
− = − +
2
1
1
2
2
π
. Równanie f(x) = m
nie ma pierwiastków dla m
∈
(–
∞
;–2)
∪
(0;+
∞
), ma dwa pierwiastki dla m = 0, ma trzy
pierwiastki dla m = –2, ma cztery pierwiastki dla m
∈
(–1;0), ma sześć pierwiastków dla
m
∈
(–2;–1〉.
Zad. 3: (profil matematyczno-fizyczny)
Dana jest funkcja f(x) = acos(x + c)
⋅
|
cosx
|
+ b, gdzie: a jest pierwiastkiem równania
(0,2)
x – 4
= 25, b
= − − − − +
1
3
2
9
4
27
8
81
K
,
(
)
c
x
dx
=
−
−
∫
π
1
1
0
. Naszkicuj wykres funkcji y = f(x)
dla
x
∈ − π π
;
3
2
oraz określ liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zaleŜności od warto-
ś
ci parametru m.
Odp.: a = 2, b = –1, c
= −
3
2
π
. Równanie f(x) = m nie ma pierwiastków dla m
∈
(–
∞
;–2)
∪
∪
(0;+
∞
), ma dwa pierwiastki dla m = –2, ma trzy pierwiastki dla m = 0, ma cztery pierwiast-
ki dla m
∈
(–2;–1), ma sześć pierwiastków dla m
∈
〈–1;0).
Zad. 4:
Dana jest funkcja f x
x
x
x
( )
sin
sin
sin
=
−
2
.
a) Narysuj wykres funkcji
f dla argumentów z przedziału (–
π
;2
π
).
b) RozwiąŜ nierówność f(x) > 0 dla x
∈
(–
π
;2
π
).
Odp.: a) f(x) = 2cos x – 1 dla x
∈
(–
π
;2
π
) \ {0,
π
}; b)
(
) ( )
(
)
x
∈ −
∪
∪
π
π
π π
3
3
5
3
0
0
2
;
;
;
.
Zad. 5:
Dana jest funkcja f(x) = sin(x + a) + b, gdzie:
( )
a
b
∈
=
=
0
2
2
2
2
7
6
;
, cos
,
sin
π
α
π
,
x
∈ −
π
π
2
5
2
;
. Znajdź
a i b, a następnie naszkicuj wykres funkcji f . Określ, dla jakich warto-
ś
ci parametru
m równanie f(x) = m ma jeden pierwiastek.
Odp.: a
=
π
4
, b = –1;
(
)
f x
x
( )
sin
=
+ −
π
4
1
dla
x
∈ −
π
π
2
5
2
;
. Równanie f(x) = m ma jeden
