Prof. Edmund Wittbrodt

Środek cięŜkości i środek geometryczny 

 

 

 

 

 

 

 

 

Siła cięŜkości

 (cięŜar, siła grawitacyjna Ziemi)       

m

g

R

m

M

G

Q

⋅

=

⋅

=

2

,             

 gdzie:  G – stała grawitacyjna,  M – masa Ziemi,  

R – promień Ziemi, 

2

R

M

G

g

=

 – przyspieszenie ziemskie 

 

∑

∆

=

i

i

Q

Q

 

∫

∫

∫

=

=

=

)

(

)

(

)

(

V

V

Q

gdV

dV

dQ

Q

ρ

γ

,                 dla:   g=const              

m

g

dV

g

Q

V

⋅

=

=

∫

)

(

ρ

  

 

 

γ

 =const              

V

dV

Q

V

⋅

=

=

∫

γ

γ

)

(

 

 

 

ρ

,

g

 =const              

V

dV

g

Q

V

⋅

=

=

∫

γ

ρ

)

(

 

gdzie:  

γ

  – cięŜar właściwy [N/m

3

] 

ρ

 – gęstość materiału (masa właściwa) [kg/ m

3

]  

C 

∆

Q

1

Q

 

∆

Q

2

∆

n

Q

 

Prof. Edmund Wittbrodt

 
Dla układu sił równoległych istnieje punkt leŜący na wypadkowej tego układu, mający taką własność, Ŝe nie ulega zmianie, 
gdy  wszystkie  siły  obrócimy  dookoła  ich  punktów  zaczepienia  o  dowolny,  stały  dla  wszystkich  sił  kąt.  Punkt  ten 
nazywamy 

ś

rodkiem sił równoległych

. 

 
 
 
 
 
 

Ś

rodek sił równoległych 

 
 
 
 
 
 
 

JeŜeli  weźmiemy  pod  uwagę  elementarne  siły  cięŜkości  ciała,  które  są  takŜe  układem  sił  równoległych,  to  ich  środek 
nazywamy 

ś

rodkiem cięŜkości

 i oznaczamy najczęściej literą C. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Elementarne siły cięŜkości i siła cięŜkości 

 

W

P

2

o S – środek sił równoległych 

P

1

 

ϕ

 

ϕ

 

ϕ

 

C 

∆

Q

1

Q

 

∆

Q

2

∆

n

Q

 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Współrzędne środka cięŜkości określamy wychodząc z załoŜenia, Ŝe skutek działania całkowitego cięŜaru ciała musi być 
taki sam jak elementarnych sił cięŜkości tego ciała razem wziętych. Dla bryły przedstawionej na rysunku zapisujemy więc: 

 

Q

dQ

=

∫

, 

 

O

C

M

r

Q

r

dQ

= × =

×

∫

, 

(2.43) 

 

 
 
 

Współrzędne środka cięŜkości równowaŜnych układów sił 

 
 
 
 
 
 
 

 
przy czym równania (2.43) są spełnione, gdy: 

 

Q

dQ

=

∫

, 

 

C

x Q

xdQ

=

∫

,     

C

y Q

ydQ

=

∫

. 

(2.43a) 

Natomiast  zaleŜność  na  współrzędną  z

C

  środka  cięŜkości  otrzymamy  z  równania  momentów  bryły,  które  napiszemy  dla 

bryły obróconej, najprościej o kąt 90°  

 

C

z Q

zdQ

=

∫

. 

(2.43b) 

z 

x 

y 

z 

x 

y 

y

C

 

x

C 

z

C 

C 

Q

 

C

r

 

y 

x 

z 

r

 

dQ

 

dV 

≡

 

O 

O 

 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Z zaleŜności (2.43) otrzymamy wzory słuŜące do wyznaczenia współrzędnych środków cięŜkości bryły. Mają one postać: 

 

C

xdQ

x

Q

=

∫

,   

C

ydQ

y

Q

=

∫

,   

C

zdQ

z

Q

=

∫

. 

(2.44) 

 
JeŜeli  mamy  do  czynienia  z  bryłą,  która  daje  się  podzielić  na  n  elementów  o  skończonych  wymiarach  i  o  znanych 
współrzędnych środków cięŜkości, to całki w (2.44) moŜemy zastąpić sumami: 

 

1

n

i

i

i

C

x Q

x

Q

=

=

∑

,   

1

n

i

i

i

C

y Q

y

Q

=

=

∑

,   

1

n

i

i

i

C

z Q

z

Q

=

=

∑

. 

(2.45) 

 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                             Bryła złoŜona z n elementów

 

 
 
 
 

 
 

Ze  względu  na  rozkład  masy  w  objętości,  ciała  dzielimy  na  ciała  jednorodne,  gdy 

γ

=  const,  i  ciała  niejednorodne,  gdy 

γ

= varia, przy czym 

0

lim

V

Q

dQ

V

dV

∆

∆

γ

∆

→

=

=

. 

z 

y 

C

i

 

z

i 

x

i 

y

i 

i–ty element 

x 

 

Prof. Edmund Wittbrodt

Ze względu na kształt i wymiary ciała dzielimy na: 
 

1) linie materialne

 (druty, pręty) – ciała, w których dwa wymiary są pomijalne w stosunku do trzeciego 

 

γ

=

dQ

Sdl

, 

(2.46) 

a zatem 

γ

=

=

∫

Q

dQ

SL

 – dla linii jednorodnej i o stałym przekroju S. 

 
 

                                                                                 Linia materialna 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

2) powierzchnie 

(blachy, płyty, skorupy) – ciała, w których jeden wymiar jest pomijalny w stosunku do dwóch pozostałych 

 

γ

=

dQ

hdS

, 

(2.47) 

a zatem 

γ

=

=

∫

Q

dQ

hS

 – dla powierzchni jednorodnej i o stałej grubości h. 

 

                                                                                              Powierzchnia materialna

 

 
 
 
 
 

dl 

dQ 

L 

S=const 

Q 

l 

S, Q 

dS, dQ 

h=const 

 

Prof. Edmund Wittbrodt 

3) bryły

 – ciała, w których trzy wymiary są znaczące 

 

γ

=

dQ

dV

, 

(2.48) 

a zatem 

γ

=

=

∫

Q

dQ

V

 – dla bryły jednorodnej. 

 

                                                                                                               Bryła materialna

 

 
 
 

W praktyce najczęściej mamy do czynienia z liniami materialnymi jednorodnymi (o stałym cięŜarze właściwym) i o stałym 
przekroju,  powierzchniami  jednorodnymi  i  o  stałej  grubości  oraz  z  bryłami  jednorodnymi.  Wówczas 

ś

rodek  cięŜkości

 

pokrywa  się  ze  środkiem 

geometrycznym  bryły

.  Podstawiając  zatem  zaleŜności  (2.46),  (2.47)  i  (2.48)  do  równań  (2.44) 

otrzymujemy wzory na obliczanie współrzędnych środków geometrycznych brył w postaci: 
 
1) dla linii materialnej (

γ

, S = const) 

 

C

xdl

x

l

=

∫

,   

C

ydl

y

l

=

∫

,   

C

zdl

z

l

=

∫

, 

(2.49) 

2) dla powierzchni (

γ

, h = const) 

 

C

xdS

x

S

=

∫

,   

C

ydS

y

S

=

∫

,   

C

zdS

z

S

=

∫

, 

(2.50) 

3) dla bryły (

γ

 = const) 

 

C

xdV

x

V

=

∫

,   

C

ydV

y

V

=

∫

,   

C

zdV

z

V

=

∫

. 

(2.51) 

W tabeli zestawiono wzory na współrzędne środków geometrycznych (cięŜkości) podstawowych figur i brył . 

V, Q 

dV, dQ 

 

Prof. Edmund Wittbrodt 

 

Tabl. 2.4 Współrzędne środków cięŜkości (środków geometrycznych) podstawowych figur i brył 

Figura 

x

C 

y

C 

z

C 

Odcinek 

2

l

 

0 

0 

Odcinek łuku 

α

α

sin

R

 

0 

0 

Prostokąt 

2

a

 

2

b

 

0 

Trójkąt 

3

h

 

0 

0 

x

l 

C 

O 

C 

a 

b 

x 

y 

x 

y 

C 

h 

C 

R 

x 

y 

2

α

 

 

Prof. Edmund Wittbrodt

Wycinek koła 

α

α

sin

3

2 R

 

0 

0 

Prostopadłościan 

2

a

 

2

b

 

2

c

 

StoŜek 

0 

0 

4

H

 

Półkula 

0 

0 

R

8

3

 

 

 

C 

y 

x 

H 

z 

c 

b 

a 

C 

x 

y 

z 

O 

x 

C 

R 

2

α

 

y 

x 

C 

R 

y 

z