ZAD 63
Oblicz opór zast pczy mi dzy punktami AB oraz AC dla układów wykonanych z
jednorodnych drutów oporowych o stałym przekroju przedstawionych na rysunku
obok. Opór odcinka AC wynosi 1
Ω.
Rozwi zanie
Dla poł czenia szeregowego oporów R
1
, R
2
zachodzi R = R
1
+ R
2
Dla poł czenia równoległego oporów R
1
, R
2
zachodzi
2
1
1
1
1
R
R
R
+
=
Oznaczmy długo boku kwadratu symbolem a, a opór tego odcinka symbolem r (r = 1 Ω).
Zgodnie z drugim prawem Ohma opór jest proporcjonalny do długo ci l przewodnika i
pola powierzchni przekroju S, co zapiszemy:
S
l
R
ρ
=
gdzie
ρ jest oporem wła ciwym (charakteryzuje materiał z którego zbudowany jest przewodnik)
Drut jest jednorodny (
ρ = const) oraz ma stały przekrój (S = const), wi c opór kawałka drutu o długo ci l ma warto (l/a) r⋅
a) Opór kawałka drutu wzdłu drogi ACB jest oporem poł czenia szeregowego odcinków AC oraz CB – wynosi:
Ω
=
Ω
⋅
=
=
⋅
=
2
1
2
2
2
r
r
a
a
R
ACB
Analogicznie
Ω
=
Ω
⋅
=
=
⋅
=
2
1
2
2
2
r
r
a
a
R
ADB
Opory R
ABC
oraz R
ADB
s poł czone równolegle, zatem opór zast pczy
Z
AB
R wyliczamy z zale no ci:
Ω
=
Ω
+
Ω
Ω
⋅
Ω
=
+
⋅
=
⋅
+
=
+
=
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
r
r
r
r
R
r
r
r
r
r
r
R
Z
AB
Z
AB
Podobnie mo na obliczy opór zast pczy
Z
AC
R . Wtedy
Ω
=
Ω
⋅
=
=
⋅
=
3
1
3
3
3
r
r
a
a
R
ADBC
oraz,
Ω
=
Ω
⋅
=
=
⋅
=
1
1
1
1
1
r
r
a
a
R
AC
Opory R
ADBC
oraz R
AC
s poł czone równolegle, zatem opór zast pczy
Z
AC
R wyliczamy z zale no ci:
Ω
=
Ω
Ω
⋅
=
=
+
=
+
=
75
,
0
4
1
3
4
3
3
3
1
3
1
1
2
2
2
r
r
R
r
r
r
r
r
R
Z
Z
AC
AC
b) Opór zast pczy mi dzy punktami AB
Opór zast pczy
Z
AB
R jest poł czeniem równoległym trzech oporów:
r
R
r
R
r
R
2
2
;
2
=
⋅
=
=
ADB
AB
ACB
oraz
.
Ω
=
Ω
⋅
=
+
⋅
=
⋅
+
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
=
+
⋅
+
=
59
,
0
1
42
,
2
42
,
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
r
R
r
r
r
r
r
r
r
r
r
R
Z
Z
AB
AB
eby znale opór zast pczy mi dzy punktami A i C nale y zauwa y , e dla trójk ta ABD mi dzy punktami AB mamy
poł czenie równoległe dwóch oporów:
r
R
r
R
2
2
=
⋅
=
ADB
AB
oraz
Zatem dla trójk ta ABD opór zast pczy mi dzy punktami A i B wyniesie
Ω
=
⋅
+
=
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
=
83
,
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
/
2
/
r
r
r
r
R
r
r
r
r
r
R
AB
AB
/
AB
R
Opór zast pczy mi dzy punktami A i C obliczymy z wzoru
(
)
(
)
Ω
=
Ω
=
+
⋅
+
=
⋅
+
+
+
=
+
+
=
65
,
0
83
,
2
83
,
1
2
1
1
1
/
/
/
/
/
r
R
r
r
R
R
r
r
R
r
r
R
r
R
r
R
Z
AC
Z
AB
AB
AB
AB
AB
AC
A
A
A
B
B
B
C
C
C
R
1
(poł czenie szeregowe)
(poł czenie równoległe)
R
1
R
2
R
2
A
C
B
r
r
r
D
r
A
C
B
r
r
A
C
B
r
r
r
D
r
√2
⋅r
c) Opór zast pczy mi dzy punktami AB
Opór zast pczy mi dzy punktami AB nie daje si wyznaczy
dotychczasowym sposobem. Nie jest to bowiem ani poł czenie
równoległe ani szeregowe. Z symetrii układu wida jednak, e
Potencjały w punkcie C oraz D s takie same, wi c przez gał CD
nie mo e płyn pr d. Tym samym gał CD mo na wyeliminowa ,
przerysowa układ do postaci bez tej gał zi i rozwi za tak jak
w przypadku
a).
Opór zast pczy mi dzy punktami A i C rozwi zuje si podobnie jak dla przypadku
b)
ZAD 64
Na ko cach drutu oporowego panuje napi cie U
1
= 3 V. Ile razy nale y zmniejszy pole przekroju poprzecznego drutu, aby po
zmianie napi cia na U
2
= 5U
1
ilo ciepła wydzielaj cego si w drucie w jednostce czasu nie uległa zmianie (przy niezmienionej
długo ci drutu)?
Odp.: 25 razy
Rozwi zanie:
Ilo ciepła wydzielaj cego si w jednostce czasu to moc pr du. Mamy zatem:
1
2
1
1
R
U
P
=
oraz,
2
2
2
2
R
U
P
=
Z warunków zadania wynika, e P
1
= P
2
, wi c
2
2
2
1
2
1
R
U
R
U = (1)
Uwzgl dniaj c, e
1
1
S
l
R
ρ
=
, oraz
2
2
S
l
R
ρ
=
zapiszemy (1) w postaci:
( )
25
1
5
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
=
=
=
=
ρ
=
ρ
=
U
U
U
U
S
S
S
U
S
U
S
l
U
S
l
U
R
U
R
U
ZAD 65
Ile wynosi napi cie mi dzy punktami
A i B obwodu przedstawionego na rysunku obok. Jaki pr d popłynie przewodem o oporze
R
p
= 2
Ω, ł cz cym te punkty? Jak nale y zmieni warto oporu R
1
, by pr d nie popłyn ł? R
1
= 1
Ω, R
2
= 3
Ω, R
3
= 5
Ω, R
4
= 20
Ω,
a E = 12 V. Opór wewn trzny ogniwa równy zero.
Odp.:
Z prawa Ohma dla obwodu zamkni tego mamy
,
R
E
I
=
gdzie R jest oporem zast pczym układu oporów R
1
, R
2
, R
3
, i R
4
.
Zatem
A
3
3,45
V
12
48
,
=
=
=
R
E
I
W w le O
1
pr d I rozgał zia na dwa pr dy: I
A
oraz I
B,
Z I prawa Kirchoffa mamy
B
A
I
I
I
+
=
Napi cie pomi dzy punktami O
1
oraz O
2
jest
(
)
(
)
B
B
B
B
A
B
A
I
I
I
R
R
R
R
I
I
R
R
I
R
R
I
U
⋅
=
⋅
=
⋅
+
+
=
+
=
+
⋅
=
25
,
6
4
25
2
1
4
3
4
3
2
1
12
Wstawiaj c powy ej zale no c
A
B
I
I
I
−
=
otrzymujemy:
A
I
I
I
I
I
3
25
,
7
48
,
3
25
,
6
25
,
7
25
,
6
25
,
6
25
,
6
=
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
=
A
A
A
A
.
0,48A
A
3
,48
A
B
=
−
=
−
=
3
I
I
I
Napi cie pomi dzy punktami A i B wyniesie, zatem:
V
0,6
V
9
9,6
3
A
3
20
A
0,48
=
−
=
⋅
−
⋅
=
−
=
2
4
R
I
R
I
U
A
B
AB
Poł czenie punktów A i B przewodem o oporze R
P
spowoduje przepływ pr du o nat eniu:
V
0,3
2
V
0,6
=
=
=
p
AB
p
R
U
I
Aby przez opór R
P
nie popłyn ł pr d, potencjały w punkcie A i B musz by takie same, gdy wtedy U
AB
= V
B
−V
A
= 0. Czyli musi
zachodzi V
A
−V
O2
= V
B
−V
O2
,
co oznacza, e I
A
R
1
= I
B
R
3
. Podobnie musi zachodzi V
A
−V
O1
= V
B
−V
O1
, czyli I
A
R
2
= I
B
R
4
. Daje to
układ równa jak poni ej:
=
=
4
2
3
1
)
2
(
)
1
(
R
I
R
I
R
I
R
I
B
A
B
A
dalej, dziel c (1) przez (2) mamy
Ω
=
=
=
75
,
0
1
3
2
1
4
3
2
1
R
R
R
R
R
R
R
R
U
1
U
2
l
l
S
1
S
2
A
C
B
r
r
r
D
r
√2
⋅r
A
C
B
r
r
r
D
r
O
2
R
3
R
1
R
2
R
4
I
I
B
I
A
O
1
A
B
E
ZAD 66
Dwie arówki o mocach P
1
= 20 W i P
2
= 40 W na napi cie U = 220 V poł czono: a) równolegle, b) szeregowo. Obliczy opór
zast pczy tego układu
Rozwi zanie:
a) równolegle
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
P
U
R
R
U
P
P
U
R
R
U
P
=
=
=
=
(
)
( )
806,7
VA
60
V
4840
W
40
W
20
V
220
2
2
2
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
P
P
U
R
P
P
U
R
R
R
b) szeregowo
( )
Ω
=
+
=
+
=
+
=
+
=
3630
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
W
800
W
40
W
20
V
220
P
P
P
P
U
P
P
U
R
R
R
ZAD 67
W obwodzie zło onym z ogniwa i opornika R
1
=9
Ω płynie pr d o nat eniu I
1
=0,9A, a po doł czeniu szeregowym dodatkowego
opornika R
2
=6Ω nat enie pr du zmniejszyło si do I
2
=0,6A. Ile wynosi siła elektromotoryczna E i opór wewn trzny R
w
ogniwa?
Odp.: R
w
= 3 Ω
Ω
Ω
Ω, E = 10,8 V
Rozwi zanie:
Z prawa Ohma dla obwodu zamkni tego mamy:
E
R
I
R
I
R
R
E
I
w
w
=
+
+
=
1
1
1
1
1
(1),
gdzie E jest sił elektromotoryczn ródła (mierzon w woltach – V),
R
w
– oporem wewn trznym ródła (w omach
Ω).
E
R
I
R
I
R
I
R
R
R
E
I
w
w
=
+
+
+
+
=
2
2
2
1
2
2
1
2
(2)
Zatem jest to układ dwóch równa z niewiadomymi E oraz R
w
Z (1) liczymy E i wstawiamy do (2)
(
)
(
)
(
)
Ω
=
−
⋅
−
+
⋅
=
−
−
+
=
−
−
+
=
+
=
+
+
3
A
0,6
0,9
9
A
0,9
6
9
A
0,6
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
I
I
R
I
R
R
I
I
I
R
I
R
I
R
I
R
R
I
R
I
R
I
R
I
R
I
w
w
w
Obliczone R
w
wstawiamy np. do (1)
V
10,8
3
A
0,9
9
A
0,9
=
⋅
+
⋅
=
+
=
w
R
I
R
I
E
2
1
1
Mo na te sprawdzi poprawno wyniku wstawiaj c obliczone R
w
do (2), wtedy:
(
)
(
)
8
,
10
18
6
,
0
3
6
9
6
,
0
2
1
2
2
2
2
1
2
=
Ω
⋅
=
Ω
+
+
⋅
=
+
+
⋅
=
+
+
=
A
A
R
R
R
I
R
I
R
I
R
I
E
w
w
R
1
R
1
R
2
I
1
I
2
R
w
R
w
E
E
a) równolegle
b) szeregowo
ZAD 68
Je eli w oporniku R
1
(rys. obok) wydziela si moc P
1
= 100 W, to jaka moc
wydziela si w oporniku R
3
?
Odp.: P
3
= 200 W
Rozwi zanie:
Informacja o mocy jaka wydziela si w oporniku R
3
, którego opór jest znany, jest jednocze nie informacj o nat eniu pr du jaki
przeze płynie. Mamy, bowiem
A
1
A
1
100
A
100
100
W
100
2
2
=
=
=
=
=
=
1
1
1
1
2
1
1
R
P
I
R
I
P
Z symetrii obwodu wynika, e przez gał zawieraj c opór R
1
płynie taki sam pr d jak przez gał zawieraj c opór R
2
(jako, e
R
1
= R
2
). Wobec tego przez opornik R
3
płynie pr d I
3
=I
1
+I
2
co wynika z pierwszego prawa Kirchhoffa, e suma nat e pr dów
pływaj cych do w zła równa jest sumie nat e pr dów wypływaj cych z w zła. Zatem
A
2
2
1
2
1
3
=
⋅
=
+
=
I
I
I
I
Moc wydzielaj c si na oporniku R
3
obliczymy z w wzoru
( )
W
200
50
A
2
2
2
=
⋅
=
=
3
2
3
3
R
I
P
ZAD 69
Amperomierz o oporze wewn trznym r = 0,1 Ω poł czono szeregowo z oporem R = 9 Ω i nast pnie doł czono do biegunów ogniwa o
oporze wewn trznym r
1
= 0,9 Ω. Jaka była siła elektromotoryczna E ogniwa, je eli amperomierz wskazał pr d o nat eniu I = 0,2 A?
Odp.: E = 2 V
Rozwi zanie:
Z prawa Ohma dla obwodu zamkni tego mamy:
(
)
(
)
(
)
V
2
A
=
⋅
Ω
+
+
=
⋅
+
+
=
⋅
+
+
=
+
+
=
2
,
0
9
,
0
9
1
,
0
1
1
1
I
R
r
r
I
R
r
r
E
R
r
r
E
I
(1),
R
1
= 100
Ω
R
2
= 100
Ω
R
3
= 50
Ω
R
1
A
I
r
1
E
r