KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
32
6. RÓWNOWAŻNE SPOSOBY
ODWZOROWANIA PŁASZCZYZNY
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
33
trzy punkty
nie leżące na jednej prostej określają
płaszczyznę
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
34
prosta i punkt
określają płaszczyznę
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
35
para prostych
przecinających się w punkcie właściwym
określają płaszczyznę
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
36
para prostych równoległych
określa płaszczyznę
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
37
7. SZCZEGÓLNE USTAWIENIE
PŁASZCZYZN
7.1. PŁASZCZYNY RÓWNOLEGŁE
DO UKŁADU ODNIESIENIA
7.2. PŁASZCZYNY PROSTOPADŁA
DO UKŁADU ODNIESIENIA
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
38
7.1. PŁASZCZYNY RÓWNOLEGŁE DO UKŁADU
ODNIESIENIA
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
39
płaszczyzna pozioma
α
jest równoległa do
płaszczyzny
π
1
płaszczyzna
pozioma
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
40
płaszczyzna czołowa
β
jest równoległa do
płaszczyzny
π
2
płaszczyzna
czołowa
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
41
płaszczyzna
γ
równoległa do osi
x
12
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
42
7.2. PŁASZCZYNA PROSTOPADŁA DO UKŁADU
ODNIESIENIA
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
43
płaszczyzna pozioma-rzutująca
α
jest prostopadła
do płaszczyzny
π
1
płaszczyzna
poziomo-rzutująca
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
44
płaszczyzna pionowo-rzutująca
β
jest prostopadła
do płaszczyzny
π
2
płaszczyzna
pionowo-rzutująca
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
45
płaszczyzna
γ
prostopadła do osi
x
12
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
46
8. PRZYNALEŻNOŚĆ ELEMENTÓW:
8.1. PUNKT I PROSTA
8.2. PROSTA I PŁASZCZYZNA
8.3. PUNKT I PŁASZCZYZNA
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
47
obierz na prostej
l
dowolny punkt
Niech dana będzie prosta
l
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
48
Kiedy punkt
A
leży na prostej ?
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
49
punkt
A
leży na prostej jeżeli odpowiednie jego rzuty
leżą na prostej
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
50
Czy punkt
A
leży na prostej
f
prostopadłej do osi
x
12
?
WYJĄTEK – niejednoznaczność
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
51
punkt
C
leży na płaszczyźnie
α
jeżeli leży na prostej
l
należącej do tej płaszczyzny
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
52
prosta
l
leży na płaszczyźnie
α
jeżeli przechodzi przez
dwa punkty
A i B
należące do tej płaszczyzny
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
53
9. PRZYKŁADY - PRZYNALEŻNOŚĆ
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
54
przyjąć dowolny punkt
Z
na prostej
Przykład 1A
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
55
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
56
Przykład 1B
przyjąć dowolny punkt
Z
na prostej
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
57
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
58
przyjąć dowolny punkt
Z
na prostej
Przykład 1C
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
59
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
60
przyjąć dowolny punkt
Z
na prostej
Przykład 1D
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
61
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
62
Dana prosta
l
należy do płaszczyzny
pq
.
Wyznacz rzut
l’’
.
Przykład 2
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
63
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
64
Znaleźć wierzchołek
D’’
na rzutni pionowej.
Przykład 3
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
65
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
66
Dana jest płaszczyzna
pq
.
Przyjmij dowolną prostą czołową
l
na
pq
.
Przykład 4
KATEDRA MOSTÓW
GEOMETRIA WYKREŚLNA
Rok I, semestr I (zimowy)
Politechnika Gdańska
WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006
Opracował: Andrzej Kozakiewicz
Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska
67