Lista zadań nr 2.
Strona 1 z 3
2. CIĄGI LICZBOWE
2.1. Wypisać kilka początkowych wyrazów ciągu
n
a
, którego wyraz ogólny określony jest
wzorem:
a)
2
1
n
a
n
b)
n
n
a
n
1
c)
n
n
a
2
d)
n
n
n
a
2
1
2
1
1
2.2. Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:
a)
2
n
n
a
n
b)
n
n
b
n
1
c)
1
2
n
n
c
d)
n
n
d
2
1
1
8
1
1
4
1
1
2
1
1
e)
n
n
n
n
n
e
!
2
2.3. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone.
a)
n
a
n
1
b)
2
n
n
a
n
c)
n
n
a
2
1
1
8
1
1
4
1
1
2
1
1
d)
1
1
2
n
n
n
a
n
e)
2
3
3
n
n
n
a
f)
2
n
a
n
g)
n
a
n
1
2
2.4. Korzystając z definicji granicy ciągu, uzasadnić:
a)
2
1
2
lim
n
n
n
b)
3
1
lim n
n
c)
n
n
2
5
lim
Lista zadań nr 2.
Strona 2 z 3
2.5. Obliczyć granicę ciągu określonego wzorem rekurencyjnym:
n
n
a
a
a
2
2
1
1
2.6. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a)
1
2
1
1
2
n
n
n
a
n
b)
3
2
3
1
n
n
a
n
c)
1
2
2
6
4
2
3
3
n
n
n
n
n
a
n
d)
1
3
10
5
2
2
n
n
n
a
n
e)
2
1
3
3
2
n
n
a
n
f)
10
2
3
n
n
a
n
g)
5
3
2
1
n
n
a
n
h)
3
3
2
1
1
n
n
a
n
i)
2
1
5
2
2
4
n
n
n
n
a
n
2.7. Obliczyć granicę ciągu
n
a
o wyrazie ogólnym:
a)
n
n
n
a
n
2
7
4
1
2
b)
n
n
n
a
n
2
1
2
4
2
c)
n
n
n
a
n
3
2
9
2
d)
n
n
n
a
n
2
2
e)
n
n
n
a
n
2
1
2
2
f)
n
n
n
a
n
3
2
3
4
2.8. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a)
n
n
n
n
n
a
3
4
2
3
b)
2
2
1
3
3
2
n
n
n
n
a
c)
n
n
n
n
a
5
6
7
d)
2
9
5
7
3
4
2
n
n
n
a
e)
2
3
4
1
n
n
n
a
2.9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę ciągu
n
a
o wyrazie
ogólnym:
a)
3
cos
n
n
a
n
b)
n
n
n
n
n
a
3
2
c)
n
n
n
n
a
1
4
3
3
1
d)
1
3
4
sin
2
n
n
n
a
n
e)
n
n
n
n
n
a
2
cos
7
5
f)
n
n
n
n
n
a
6
3
2
g)
n
n
n
n
n
a
2
sin
3
5
2
h)
n
n
n
a
3
i)
n
n
n
n
a
1
5
3
2
5
j)
n
n
n
n
a
6
2
14
2
Lista zadań nr 2.
Strona 3 z 3
2.10. Obliczyć granicę ciągu
n
a
o wyrazie ogólnym:
a)
n
n
n
a
3
1
b)
n
n
n
a
2
1
c)
1
2
1
n
n
n
n
a
d)
3
4
1
n
n
n
a
e)
n
n
n
a
2
1
1
f)
n
n
n
n
a
2
5
3
4
g)
n
n
n
n
a
2
1
2
1
2
h)
n
n
n
n
a
2
1
3
2
3
i)
n
n
n
a
6
3
2
1
1
j)
2
6
2
2
n
n
n
n
a
k)
n
n
n
a
n
ln
3
ln
l)
2
ln
ln
n
n
n
a
n
2.11. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a)
2
3
2
1
n
n
a
n
b)
n
n
n
a
3
1
9
1
3
1
1
2
1
4
1
2
1
1
c)
n
n
n
n
a
!
d)
!
3
2
2
n
a
n
n
n
e)
n
n
a
n
8
5
2
log
log
f)
n
n
n
a
2
8
2
log
g)
n
n
n
a
2
2
log
log
4
9