Analiza matematyczna I.1, 2011/2012
Seria II: 19.10.2011r.
Termin oddania: 25 października 2011r.
1. [1 pkt] Wyznaczyć kresy zbioru
A =
(
k − l
2
− m
2
k + l
2
+ m
2
: k, l, m ∈ N ; k ¬ l < m
)
Wskazówka: Ustalić wartości l i m i rozpatrzyć zbiory A
l,m
.
2. [1 pkt] Stwierdzić i uzasadnić czy podane niżej liczby są wymierne, czy niewymierne
r
17 +
q
13 +
√
11
oraz
q
8 +
√
35 +
s
12 +
√
7 +
√
5
√
7 −
√
5
.
Wskazówka: Rozpatrzyć sumę i iloczyn pewnych liczb.
3. [1 pkt] Dany jest zbiór A ⊆ R
+
, o którym wiadomo, że
sup A = M /
∈ A
oraz
inf A = m /
∈ A .
Definiujemy zbiór B ⊆ R warunkiem: liczba b należy do zbioru B wtedy i tylko wte-
dy gdy b =
k
√
a
1
· · · a
k
dla pewnych parami różnych liczb a
1
, . . . , a
k
∈ A, gdzie k 2.
Można to wyrazić wzorami
B
k
=
n
k
√
a
1
· · · a
k
: ∀
i∈{1,...,k}
a
i
∈ A ; ∀
i,j∈{1,...,k}
i 6= j ⇒ a
i
6= a
j
o
oraz
B =
∞
[
k=2
B
k
.
Wyznaczyć kresy zbioru B.
Wskazówka: Średnia geometryczna nie bez powodu nazywa się „średnią”.
4. [1 pkt] Dany jest ograniczony zbiór A ⊆ (0, ∞). Wiadomo, że inf A = I < S = sup A.
Kładziemy
B
k
=
k
X
j=1
a
j
2
j
: ∀
j∈{1,...,k}
a
j
∈ A
oraz
B =
∞
[
k=1
B
k
.
Wyznaczyć kresy zbioru B.
Wskazówka:
P
k
j=1
2
−j
= 1 − 2
−k
.
5. [1 pkt] Dane są ciągi liczbowe
a
n
=
n + 1
n
n
oraz
b
n
=
n + 1
n
n+1
.
Wykazać, że a
n
i b
n
są monotoniczne.
Wskazówka: AGH