Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 14
ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ W EKONOMII – lista zadań
1. Zbadać funkcję
x
b
a
e
y
,
0
,
b
a
, i naszkicować jej wykres. Funkcja ta opisuje zależność popytu na
dobra konsumpcyjne od wielkości dochodu konsumenta.
2. Całkowity koszt w złotych wyprodukowania w małej fabryce w ciągu tygodnia x artykułów dany jest
wzorem:
2
100
1
5
50
)
(
x
x
x
K
. Obliczyć
)
25
(
)
26
(
K
K
i porównać z
)
25
(
/
K
.
3. Obliczyć elastyczność funkcji
6
3
)
(
x
x
f
.
4. Koszt )
(x
K
wyprodukowania w ciągu dnia x foteli wynosi
36
5
. Podać koszt przecięt-
ny i koszt krańcowy. Zbadać dla jakiego x koszt przeciętny jest minimalny. Naszkicować wykres kosz-
tu przeciętnego i kosztu krańcowego.
)
(
2
x
x
x
K
5. Obliczyć elastyczność funkcji
5
2
i naszkicować jej wykres (dla
0
x
).
)
(
2
x
x
x
f
6. Producent chce sprzedać zupę w cylindrycznych puszkach, przy czym w puszce ma się zmieścić
oraz puszka ma być wykonana z arkusza blachy o minimalnym polu. Jakie wymiary powinny mieć te
puszki?
3
cm
54
7. Konkurent producenta z poprzedniego zadania decyduje się sprzedawać zupę również w cylindrycznych
puszkach, przy czym na wykonanie puszki przeznacza
blachy, a wymiary puszki są takie, że
ma ona największą objętość. Jakie to wymiary?
2
cm
24
8. W badaniach prognostycznych wykorzystywana jest tzw. funkcja Gompertza
, gdzie
oznaczają pewne stałe dodatnie i dodatkowo
x
c
ab
y
a b c d
, , ,
1
,
1
c
b
. Naszkicować następujące funkcje tego rodzaju:
a)
, b)
x
y
4
2
3
x
y
3
)
5
4
(
5
, c)
x
y
)
2
1
(
3
10
, d)
x
y
)
2
1
(
)
3
2
(
4
.
Odpowiedzi
1. Ze względu na istotę zagadnienia
)
;
0
(
D
.
a
. Prosta
a
e
y
jest
asymptotą poziomą prawostronną .
x
x
e
x
f
x
f
)
(
lim
,
0
)
(
lim
0
x
b
ax
e
x
b
. Funkcja rośnie w zbiorze D.
x
f
2
/
)
(
x
b
ax
e
x
b
x
b
x
f
4
//
)
2
(
)
(
a
e
y
2
b
2
a
e
X
Y
x
b
ax
e
y
. Funkcja jest wypukła
w przedziale
)
2
;
0
(
b
)
;
2
(
b
i wklęsła w przedziale
.
Punkt
)
,
2
(
2
a
e
b
P
jest punktem przegięcia.
Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii – lista zadań
2
2. Mamy tutaj
49
,
4
)
. Ponieważ
25
(
)
26
(
K
K
x
x
K
50
1
5
)
(
/
, to
5
,
4
2
1
5
)
25
(
/
K
. Obie wielko-
ści różnią się nieznacznie.
3.
2
3
6
3
)
(
)
(
)
(
/
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
E
. Tak więc dla
4
x
elastyczność
2
)
4
(
E
. Oznacza to, że jeżeli
wartość x wzrośnie o 1%, to wartość funkcji wzrośnie o około 2%. (Tutaj wzrost argumentu funkcji o
1%, tzn. od wartości 4 do wartości 4,04 pociąga za sobą wzrost wartości funkcji od 6 do 6,12 czyli do-
kładnie o 2%).
x
x
x
x
K
x
f
36
5
)
(
)
(
6
)
(
/
x
K
y
)
(x
f
y
Y
X
17
4. Koszt przeciętny
jest minimalny,
gdy
)
(x
E
y
X
Y
2
y
x
3 2
4
Y
X
6
5.
Elastyczność
5
2
2
2
)
(
2
2
x
x
x
x
x
E
jest funkcją rosnącą.
6. Jeżeli przyjąć jako x promień podstawy walca, to wysokość walca
2
54
x
h
, a pole powierzchni
x
x
S
108
2
2
. Funkcja ta przyjmuje (w przedziale
)
;
0
(
) wartość najmniejszą gdy
. Warunki
zadania spełnia walec o średnicy 6 cm i wysokości 6 cm (walec, którego przekrój osiowy jest kwadra-
tem).
3
x
7. Jeżeli oznaczyć przez x promień podstawy walca, wówczas wysokość walca
x
x
h
2
12
,
a w konsekwencji V
. Funkcja ta przyjmuje (w przedziale
)
12
(
2
x
x
)
3
2
;
0
(
) wartość najmniejszą
gdy . Warunki zadania spełnia walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem.
2
x
8. a) Dla funkcji
, przyjmując
x
x
f
4
2
3
)
(
)
;
0
D
,
mamy:
)
(
lim
,
6
x
f
x
)
0
(
f
.
Funkcja jest rosnąca i wypukła w dół w zbiorze D.
6
x
. Koszt krańcowy .
5
2
)
(
/
x
x
K
)
6
(
17
)
6
(
/
K
f
.
Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii – lista zadań
3
x
x
f
3
)
5
4
(
5
)
(
t
x
y
3
)
5
4
(
5
Y
X
b) Dla funkcji
, przyjmując
)
;
0
D
,
mamy:
0
)
0
(
)
(
lim
,
4
x
f
x
f
.
4
2
Funkcja jest malejąca w zbiorze D, wypukła w górę w przedziale
oraz wypukła w dół w przedziale
, gdzie
)
;
0
(
t
)
;
(
t
36
,
1
)
4
3
ln
ln
5
ln(ln
t
.
x
x
f
)
2
c) Dla funkcji
1
(
3
10
)
(
, przyjmując
)
;
0
D
, mamy:
10
)
(
lim
,
30
)
0
(
x
f
x
f
.
y
x
10 3
1
2
( )
Y
X
10
30
Funkcja jest malejąca i wypukła w dół w zbiorze D.
d) Dla funkcji
x
c
f
)
2
1
(
)
3
2
(
4
)
(
, przyjmując
)
;
0
D
, mamy:
4
)
(
lim
x
f
Y
x
y
)
2
1
(
)
3
2
(
4
X
3
8
4
,
3
8
)
0
(
f
x
.
Funkcja jest rosnąca i wypukła w górę w zbiorze D.