Równanie Modowe
Światłowodu Planarnego
Prezentacja zawiera kopie folii omawianych na wykładzie. Niniejsze
opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wykorzystanie
niekomercyjne dozwolone pod warunkiem podania źródła.
© Sergiusz Patela 1998-2001
Równanie Modowe
Światłowodu Planarnego
Prezentacja zawiera kopie folii omawianych na wykładzie. Niniejsze
opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wykorzystanie
niekomercyjne dozwolone pod warunkiem podania źródła.
© Sergiusz Patela 1998-2001
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
2
θ
k
β
[
]
∂
∂
β
2
2
2
2
0
!
E
x
k
E
−
−
=
(
)
[
]
!
E
E
x y z
i
t
z
=
−
0
( , , ) ex p
ω
β
k
n
c
n
=
=
=
2
2
0
π
λ
π
λ
ω
,
( )
β
θ
=
k n
f
0
sin
gdzie:
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
E
x
C e
x
C
hx
q
h
hx
t
x
C
ht
q
h
ht
e
x
t
y
qx
p x t
=
≤ ≤ ∞
−
− ≤ ≤
+
− ∞ ≤ ≤ −
−
+
0
0
cos
sin
cos
sin
h
n k
f
2
2
0
2
2
=
− β
q
n k
c
2
2
2
0
2
=
−
β
p
n k
s
2
2
2
0
2
=
−
β
Propagacja światła w światłowodzie planarnym
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
3
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
-2
-1
1
2
n
s
= 1,5, n
f
= 2, n
c
= 1,
λ
= 633 nm
Rozkłady pola elektrycznego trzech pierwszych modów
światłowodu planarnego;
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
4
E
E
E
E
y
c
y
f
x
y
f
y
s
x
t
0
0
0
0
0
=
=
=
=−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
E
x
E
x
E
x
E
x
y
c
y
f
x
y
f
y
s
x
t
0
0
0
0
0
=
=
=
=−
Warunki brzegowe na granicach światłowodu planarnego:
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
5
E
E
E
E
y
c
y
f
x
y
f
y
s
x
t
0
0
0
0
0
=
=
=
=−
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
E
x
C e
x
C
hx
q
h
hx
t
x
C
ht
q
h
ht
e
x
t
y
qx
p x t
=
≤ ≤ ∞
−
− ≤ ≤
+
− ∞ ≤ ≤ −
−
+
0
0
cos
sin
cos
sin
Podstawiając
do
sprawdzimy poprawność wybranych rozwiązań
(szczegółowa analiza pozwala wyprowadzić prezentowane tu rozwiązania)
Warunki brzegowe na granicach światłowodu planarnego -
weryfikacja (1)
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
6
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
E
x
C e
x
C
hx
q
h
hx
t
x
C
ht
q
h
ht
e
x
t
y
qx
p x t
=
≤ ≤ ∞
−
− ≤ ≤
+
− ∞ ≤ ≤ −
−
+
0
0
cos
sin
cos
sin
Podstawiając
do
sprawdzany poprawność wybranych czynników stałych w rozwiązaniach
∂
∂
∂
∂
E
x
E
x
y
c
y
f
x
0
0
0
=
=
Warunki brzegowe na granicach światłowodu planarnego -
weryfikacja (2)
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
7
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
E
x
C e
x
C
hx
q
h
hx
t
x
C
ht
q
h
ht
e
x
t
y
qx
p x t
=
≤ ≤ ∞
−
− ≤ ≤
+
− ∞ ≤ ≤ −
−
+
0
0
cos
sin
cos
sin
Podstawiając
do
wyprowadzimy równanie modowe:
∂
∂
∂
∂
E
x
E
x
y
f
y
s
x
t
0
0
=
= −
( )
( )
( )
( )
h
h t
q
h t
p
h t
q
h
h t
sin
cos
cos
sin
−
=
+
Wyprowadzenie równania modowego
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
8
( )
( )
( )
( )
h
h t
q
h t
p
h t
q
h
h t
sin
cos
cos
sin
−
=
+
( )
( )
tan
tan
h t
q
h
p
h
p q
h
h t
−
=
+
2
( )
( )
tan
tan
h t
p q
h
h t
p
h
q
h
−
=
+
2
( )
(
)
tan
/
h t
p
q
h
p q
h
=
+
−
1
2
Dzieląc całość przez h cos(ht)
Przekształcenie równana modowego do postaci z tangensem
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
9
arctan
arctan
arctan
u
v
u v
u
v
+
−
=
+
1
Przekształcimy równanie modowe
korzystając z tożsamości trygonometrycznej:
( )
2
2
2
2
0 1 2
0
k n t
m
m
f
s
c
cos
,
, , , ...
θ
π
−
−
=
=
Φ
Φ
( )
(
)
tan
/
h t
p
q
h
p q
h
=
+
−
1
2
( )
(
)
(
)
tan
/
ht
p
q
h
pq h
h
p
q
pq
h
p
h
q
h
p
h
q
h
=
+
−
=
+
−
=
+
−
1
1
1
1
2
2
do postaci addytywnej
Addytywna postać równania modowego
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
10
( )
tan ht
p
h
q
h
p
h
q
h
=
+
−
1
( )
[
]
L
h t
h t
m
: arctan tan
,
=
± π
P
p
h
q
h
p
h
q
h
p
h
q
h
: arctan
arctan
arctan
+
−
=
+
1
h t
p
h
q
h
±
=
+
π
arctan
arctan
h t
p
h
q
h
m
−
−
=
arctan
arctan
π
Wyprowadzenie addytywnej postaci równania modowego
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
11
2
2
0
2
2
0
2
2
β
−
−
β
=
k
n
k
n
h
p
f
s
(
)
θ
−
θ
=
θ
−
−
θ
=
θ
−
−
θ
=
cos
sin
sin
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
f
s
f
f
s
f
f
f
s
f
n
n
n
n
n
n
k
n
k
n
k
n
k
n
h
p
(
)
θ
−
θ
=
θ
−
−
θ
=
θ
−
−
θ
=
cos
sin
sin
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
f
c
f
f
c
f
f
f
c
f
n
n
n
n
n
n
k
n
k
n
k
n
k
n
h
q
2
2
0
2
2
0
2
2
β
−
−
β
=
k
n
k
n
h
q
f
c
θ
−
θ
=
=
Φ
cos
sin
2
2
2
f
s
f
s
n
n
n
arctan
h
p
arctan
θ
−
θ
=
=
Φ
cos
sin
2
2
2
f
c
f
c
n
n
n
arctan
h
q
arctan
h
n k
f
2
2
0
2
2
=
− β
q
n k
c
2
2
2
0
2
=
−
β
p
n k
s
2
2
2
0
2
=
−
β
Przesunięcie fazy (współczynniki Fresnella)
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
12
( )
h t
t
k
tk n
=
−
=
2
2
0
β
θ
cos
k
β
θ
( )
,...
2
,
1
,
0
,
2
2
2
cos
2
0
=
π
=
Φ
−
Φ
−
θ
m
m
t
n
k
c
s
f
( )
2
2
2
2
0 1 2
0
k n t
q
h
p
h
m
m
f
cos
arctan
arctan
,
, , ,...
θ
π
−
−
=
=
Składnik ht
2
2
2
2
0
2
2
β
−
=
β
−
=
k
k
n
h
f
h
Def. h:
≡
prawo Pitagorasa dla trójkąta o
bokach k, h, b
przyprostokątną h możemy
również wyliczyć przy pomocy f-
cji cos(
θ
)
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
13
Wykres modowy: Neff lub kąt
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
d [
µ
m]
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
N
eff
Krzywe modowe TE
0
50
60
70
80
90
θ
[
°
]
Porównanie krzywych modowych kreślonych jako
zależności N
eff
(d) i
θ
(d). n
f
= 2, n
s
= 1.5, n
c
= 1
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
14
Wykres modowy: TE i TM
0.2
0.4
0.6
0.8
1
d [um]
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
Neff
nf=2., ns=1.5, nc=1.
Krzywe modowe TE i TM
Zależność efektywnego współczynnika od grubości warstwy dla trzech
pierwszych modów TE i TM światłowodu planarnego
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
15
Separacja modów TE-TM,
wykorzystanie równań Maxwella
t
B
E
∂
∂
!
!
−
=
×
∇
J
t
D
H
!
!
!
+
=
×
∇
∂
∂
ρ
=
⋅
∇
D
!
0
=
⋅
∇
B
!
J = gęstość prądu [A/m
2
],
= gęstość ładunku [C/m
3
]
P
E
E
D
!
!
!
!
+
=
=
0
ε
ε
M
H
H
B
!
!
!
!
+
=
=
0
µ
µ
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
16
Równania Maxwella -
układ równań wektorowych (1)
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
t
B
k
t
B
j
t
B
i
E
E
E
z
y
x
k
j
i
z
y
x
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
t
D
k
t
D
j
t
D
i
H
H
H
z
y
x
k
j
i
z
y
x
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
∇ ×
=
−
+
−
+
−
=
!
F x y z
F
y
F
z
i
F
z
F
x
j
F
x
F
y
k
i
j
k
x
y
z
F
F
F
z
y
x
z
y
x
x
y
z
, ,
"
"
"
"
"
"
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Obliczanie wyznacznika
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
17
t
B
i
z
E
y
E
i
x
y
z
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
B
j
x
E
z
E
j
y
z
x
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
B
k
y
E
x
E
k
z
x
y
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
D
i
z
H
y
H
i
x
y
z
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
D
j
x
H
z
H
j
y
z
x
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
D
k
y
H
x
H
k
z
x
y
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
Równania Maxwella -układ równań wektorowych (2)
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
18
t
B
i
z
E
y
E
i
x
y
z
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
B
j
x
E
z
E
j
y
z
x
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
B
k
y
E
x
E
k
z
x
y
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
D
i
z
H
y
H
i
x
y
z
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
D
j
x
H
z
H
j
y
z
x
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
t
D
k
y
H
x
H
k
z
x
y
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
ˆ
ˆ
Równania Maxwella -układ równań wektorowych (3)
I równanie Maxwella opisuje układ
trzech równań wektorowych;
dwa z
nich opisują zależności E
y
, H
x
, H
z
,
trzecie E
x
, E
z
, H
y
II równanie Maxwella podobnie !!!
Równania dzielą się na dwie grupy:
E
y
, H
x
, H
z
, - nazwijmy to modem TE
E
x
, E
z
, H
y
-
mod TM
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
19
Pomiary modów - metoda sprzęgacza pryzmatycznego
i
i’
θ
p
θ
f
n
f
n
p
(
)
[
]
'
'
90
180
90
90
i
A
i
A
p
+
=
+
−
−
−
=
α
−
=
θ
'
sin
sin
1
i
n
i
p
=
⋅
A
α
p
n
i
i
sin
'
sin
=
=
p
n
i
arc
i
sin
sin
'
+
=
θ
p
p
n
i
arc
A
sin
sin
© Sergiusz Patela 1998-2000
Podstawy Teorii Światłowodoów. Równanie modowe światłowodu planarnego
20
eff
f
f
p
p
N
n
n
=
θ
=
θ
sin
sin
+
⋅
=
p
p
eff
n
i
arc
A
n
N
sin
sin
sin
Wyznaczanie efektywnego współczynnika załamania
Efektywny współczynnik załamania możemy określić poprzez
pomiar kąta sprzęgania światła do pryzmatu i.