Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
1
Własności zbiorów otwartych i domkniętych
Tw.
a) Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
b) Iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Dow. (a) Mamy rodzinę zbiorów otwartych:
s
S
s
S
s
s
A
A
∈
∈
∀
:
}
{
-otwarty. Należy pokazać, że:
U
S
s
s
A
∈
jest również zbiorem otwartym. Niech x będzie dowolnym punktem należącym do
s
S
s
S
s
s
A
x
A
∈
∃
⇔
∈
∈
:
U
⇒
s
r
A
r
x
K
⊂
∃
)
,
(
:
⇒
U
S
s
s
r
A
r
x
K
∈
⊂
∃
)
,
(
:
⇔ suma jest zbiorem
otwartym.
Dow
. (b):
i
n
i
n
i
i
A
x
A
x
∈
∀
⇔
∈
∈
=
:
}
,...,
1
(
1
I
⇔
i
i
r
n
i
A
r
x
K
x
i
⊂
∈
∃
∀
∈
)
,
(
:
}
,...,
1
(
⇒
I
n
i
i
r
r
r
A
r
x
K
x
n
1
}
,...,
min{
)
,
(
:
1
=
=
⊂
∈
∃
co oznacza, że
I
n
i
i
A
1
=
jest zbiorem otwartym.
Z praw De Morgana wynika, że:
• iloczyn dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
• suma skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
GRANICA FUNKCJI
Granica funkcji w punkcie skupienia
(X,
ρ
x
) - przestrzeń metryczna, A
⊂X, x
0
- punkt skupienia zbioru A.
(Y,
ρ
y
) - przestrzeń metryczna
Y
A
X
f
→
⊃
:
Def
. (Heine) Punkt
Y
g
∈ jest granicą funkcji f w punkcie x
0
co zapisujemy
g
x
f
x
x
=
→
)
(
lim
0
, jeżeli
g
x
f
x
x
n
n
n
n
A
x
S
x
n
=
⇒
=
∀
∞
→
∞
→
∩
⊂
)
(
lim
lim
0
)
,
(
)
(
0
δ
Powyższa definicja jest równoważna następującej
Def
. (Cauchy)
ε
ρ
δ
ρ
δ
ε
≤
⇒
≤
<
∀
∃
∀
⇔
=
∈
>
>
→
)
),
(
(
)
,
(
0
)
(
lim
0
0
0
0
g
x
f
x
x
g
x
f
y
x
A
x
x
x
Komentarz
: x
0
nie musi należeć do A, czyli funkcja nie musi być określona w x
0
. Nawet jeśli funkcja
jest określona w x
0
to wartość funkcji w tym punkcie nie wpływa na granice funkcji.
Ciągłość funkcji w punkcie
)
,
(
x
X
ρ
,
)
,
(
y
Y
ρ
- przestrzenie metryczne,
∅
X
A
⊂
≠
,
A
x
∈
0
(!)
Def
. Funkcję
Y
A
X
f
→
⊃
:
nazywamy ciągłą w punkcie
0
x
jeżeli
• Heine
)
(
)
(
lim
lim
0
0
)
(
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
A
x
n
=
⇒
=
∀
∞
→
∞
→
⊂
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
2
• Cauchy
ε
ρ
δ
ρ
δ
ε
≤
⇒
≤
∀
∃
∀
∈
>
>
))
(
),
(
(
)
,
(
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
y
x
A
x
Uwaga
:
A
x
∈
0
ale nie musi być punktem skupienia zbioru A. Jeżeli
A
x
∈
0
jest punktem
izolowanym zbioru A to z definicji funkcja jest ciągła w punkcie izolowanym. Jeżeli
natomiast
A
x
∈
0
jest punktem skupienia zbioru A to z definicji funkcja jest ciągła w
punkcie skupienia
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
=
⇔
→
.
Ciągłość punktowa
)
,
(
x
X
ρ
,
)
,
(
y
Y
ρ
- przestrzenie metryczne,
Y
D
X
f
→
⊃
:
Def
. Funkcja f jest punktowo ciągła w D jeżeli jest ciągła w każdym punkcie zbioru D, czyli
f jest punktowo ciągła w D
⇔
(
)
)
(
)
(
lim
lim
)
(
)
(
),
(
)
,
(
)
(
)
(
2
1
2
1
0
)
,
(
0
2
1
1
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
D
x
D
x
y
x
D
x
x
D
x
n
=
⇒
=
∀
∀
≤
⇒
≤
∀
∃
∀
∀
∞
→
∞
→
⊂
∈
∈
>
>
∈
H
C
ε
ρ
δ
ρ
ε
δ
ε
Ciągłość jednostajna
)
,
(
x
X
ρ
,
)
,
(
y
Y
ρ
- przestrzenie metryczne,
Y
D
X
f
→
⊃
:
Def
. Funkcja f jest jednostajnie ciągła w D gdy
(
)
ε
ρ
δ
ρ
δ
ε
≤
⇒
≤
∀
∀
∃
∀
∈
∈
>
>
)
(
),
(
)
,
(
2
1
2
1
0
0
2
1
x
f
x
f
x
x
D
x
D
x
y
x
Bezpośrednio z definicji otrzymujemy korzystając z tautologii {
∃x ∀y :
ϕ
(x,y)}
⇒ {∀x ∃y :
ϕ
(x,y)}
Tw
. Jeżeli f jest jednostajnie ciągła na D , to f jest punktowo ciągła na D.
Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?
Użytecznym pojęciem jest tzw. moduł ciągłości funkcji.
Def
. Modułem ciągłości funkcji
Y
D
X
f
→
⊃
:
nazywamy funkcję
}
)
,
(
,
:
))
(
),
(
(
sup{
)
,
(
)
(
2
1
2
1
2
1
δ
ρ
ρ
δ
ω
δ
ω
≤
∧
∈
=
=
x
x
D
x
x
x
f
x
f
f
X
Y
df
f
Tw
. Funkcja
Y
D
X
f
→
⊃
:
jest jednostajnie ciągła na D
⇔
0
)
,
(
lim
0
=
∆
→
∆
f
ω
Dowód
.
Y
D
X
f
→
⊃
:
jest jednostajnie ciągła na D
c
(
)
ε
ρ
δ
ρ
δ
ε
≤
⇒
≤
∀
∀
∃
∀
∈
∈
>
>
)
(
),
(
)
,
(
y
x
0
0
y
f
x
f
y
x
A
y
A
x
c
ε
ω
δ
δ
ε
≤
∆
∀
∃
∀
≤
∆
>
>
)
,
(
0
0
f
c
0
)
,
(
lim
0
=
∆
→
∆
f
ω
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
3
Metryka indukowana
(X,
ρ
) - przestrzeń metryczna, A
⊂X
Wówczas (A,
ρ
A
) - przestrzeń metryczna, gdzie
A
A
A
×
=
ρ
ρ
- metryka indukowana (obcięta)
Uwaga . Zbiory otwarte w A są przecięciami zbioru A ze zbiorami otwartymi w X
Inna definicja ciągłości funkcji w przestrzeni metrycznej
:
Def
. Funkcja
f jest (punktowo) ciągła na X
⇔
(
)
c
c
ε
ρ
δ
ρ
ε
δ
ε
<
⇒
<
∀
∃
∀
∀
∈
>
∈
>
)
(
),
(
)
,
(
0
)
,
(
0
y
f
x
f
y
x
y
x
X
y
x
X
x
)
,
(
δ
x
K
y
∈
c
)
),
(
(
)
(
ε
x
f
K
y
f
∈
[
]
)
),
(
(
1
ε
x
f
K
f
y
−
∈
c
[
]
)
),
(
(
)
,
(
1
ε
δ
x
f
K
f
x
K
−
⊂
Motywuje to następującą definicję:
Def
. Funkcja
f jest ciągła na X
Y
A
⊂
∀
⇔
A-otwarty w Y
]
[
1
A
f
−
⇒
-otwarty w X.
Uwaga
. W definicji tej nie występuje jawnie pojęcie metryki, tylko zbioru pojęcie otwartego. Dążąc
do uogólnienia pojęcia funkcji ciągłej można zdefiniować najpierw zbiory otwarte, a później
w powyższy sposób zdefiniować ciągłość funkcji.
W zbiorze X rozważamy rodzinę
ℑ podzbiorów zbioru X , czyli
ℑ
⊂2
X
, gdzie 2
X
oznacza rodzinę
wszystkich możliwych podzbiorów zbiory X
Def
: Rodzinę
ℑ
⊂2
X
spełniającą warunki
1º
∅∈
ℑ
, X
∈
ℑ
2º
∀s∈S A
s
∈
ℑ
⇒
U
S
s
s
A
∈
∈
ℑ
3º A
1
,
…,A
n
∈ℑ ⇒
I
n
k
k
A
1
=
∈
ℑ
nazywamy topologią w X a jej elementy (czyli zbiory) zbiorami otwartymi.
(X,
ℑ
x
) , (Y,
ℑ
y
) - przestrzenie topologiczne
Def
. Funkcja
Y
X
f
→
:
jest ciągła na X
⇔ ∀
A
⊂Y
A
∈
ℑ
y
⇒ f
-1
[A]
∈
ℑ
x
Wprowadzanie pewnych pojęć, za pomocą których można zdefiniować ciągłość funkcji, nazywamy
zadawaniem topologii
.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
4
Uwagi
. Słowo topologia występuje przynajmniej w dwóch znaczeniach.
• Zespół pojęć przy pomocy których definiujemy ciągłość
• Rodzina zbiorów otwartych
Topologię można zadać
• poprzez metrykę
• poprzez zdefiniowanie rodziny zbiorów otwartych (czyli topologii)
• poprzez aksjomatyczne zdefiniowanie ciągów zbieżnych i definicję ciągłości typu Heinego
(topologia ciągowa L - Frecheta )
Zbiory zwarte i ich własności
)
,
(
ρ
X
- przestrzeń metryczna
Def
.
X
A
⊂
nazywamy zbiorem zwartym jeżeli z każdego ciągu
A
x
n
⊂
)
(
można wybrać podciąg
zbieżny
)
(
k
n
x
do elementu zbioru A, (czyli
A
x
x
k
n
k
n
n
n
x
x
A
x
∈
→
∃
∀
⊂
∈
0
)
(
)
(
)
(
:
)
Np.: Przedział
]
,
[
b
a
jest zbiorem zwartym w (R, |
⋅ | ).
Przedział
]
,
[ b
a
jest ograniczony
W
B
Tw
−
⇒
.
można z niego wybrać podciąg zbieżny. Granicą tego
podciągu zbieżnego jest punkt skupienia przedziału. Przedział domknięty z definicji zawiera
wszystkie swoje punkty skupienia, czyli również ten, do którego zbieżny jest wybrany podciąg.
Tw
. W przestrzeni metrycznej zbiór zwarty jest domknięty i ograniczony.
Uwaga
. W drugą stronę twierdzenie to nie jest prawdziwe. Ale w
)
,
(
E
n
R
ρ
[metryka
Euklidesowa] zbiór zwarty
⇔ domknięty i ograniczony.
Dowód
. (domkniętość). Mamy pokazać, że A= A . Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że
istnieje a
∈ A i a∉A. Punkt a musi być więc punktem skupienia
(punkt izolowany zbioru należy do zbioru)
.
Istnieje więc ciąg (x
n
)
⊂A taki, że x
n
→
a
. Ze zwartości A z ciągu x
n
można wybrać podciąg
zbieżny do elementu zbioru A. Ponieważ każdy podciąg ciągu zbieżnego do a jest zbieżny do a
wnioskujemy, że a
∈A.(sprzeczność).
Ograniczoność
. Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, ze A jest zbiorem zwartym i
nieograniczonym. Z nieograniczoności A wynika, że istnieje ciąg (x
n
)
⊂A, taki, że
ρ
(x
n
,a)
≥n ∀n.
Ale ze zwartości A wynika, że z ciągu (x
n
) można wybrać podciąg
k
n
x
zbieżny do x
0
∈A. Z
ciągłości metryki
)
,
(
)
,
(
0
a
x
a
x
k
n
ρ
ρ
→
, co przeczy warunkowi
k
n
n
a
x
k
≥
)
,
(
ρ
∀k
(sprzeczność).
Tw
. Domknięty podzbiór B zbioru zwartego A jest zbiorem zwartym
Dow
. Weźmy dowolny ciąg (x
n
)
⊂B⊂A. Ze zwartości A wynika, ze można wybrać podciąg
)
(
k
n
x
→x
0
∈A. Stąd x
0
jest punktem skupienia zbioru B, a z domkniętości B wynika, że x
0
∈B,
co dowodzi zwartości B.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
5
Def
.
)
,
(
ρ
X
- przestrzeń metryczna, X – zbiór zwarty
)
,
(
ρ
X
⇔
- przestrzeń zwarta.
Przykłady
•
( [a,b], |
⋅ |) – przestrzeń metryczna zwarta
•
A
⊂R
n
, A – domknięty
⇒ (A,
E
ρ
) – przestrzeń metryczna zwarta
Tw
. Ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym.
tzn, f : X
→Y ciągła X, Y prz. metr. X- zwarta ⇒ Y- zwarta
Dow
. Weźmy dowolny ciąg wartości ]
[
)
(
X
f
y
n
⊂
, czyli
)
(
:
)
(
n
n
X
x
x
f
y
n
=
∃
⊂
. X to przestrzeń
zwarta, wobec tego z ciągu (x
n
) można wybrać podciąg zbieżny
X
x
x
k
k
n
n
x
∈
→
∃
0
)
(
:
. Z
definicji ciągłości Heine’go wynika, że
0
0
)
(
)
(
y
y
x
f
x
f
k
k
n
n
→
⇔
→
. Z dowolnego ciągu (y
n
)
wybraliśmy więc podciąg zbieżny
0
y
y
k
n
→
∈ f
[X]