Funkcje dwóch i trzech zmiennych
Niech R
2
= {(x, y) : x, y ∈ R} oznacza płaszczyznę,
R
3
= {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} przestrzeń.
Odległość punktów będziemy określali następująco:
|P
1
P
0
| =
q
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
, P
0
= (x
0
, y
0
), P
1
= (x
1
, y
1
),
|P
1
P
0
| =
q
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
+ (z
1
− z
0
)
2
, P
0
= (x
0
, y
0
, z
0
), P
1
= (x
1
, y
1
, z
1
).
Definicja 1 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P
0
na płaszczyźnie lub w przestrzeni
nazywamy zbiór
O(P
0
, r) = {P : |P
0
P | < r} .
Definicja 2 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze
wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja 3 Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze A ⊂ R
2
(R
3
) o wartościach
w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby
rzeczywistej.
z = f (x, y), (x, y) ∈ A
Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D
f
.
Definicja 4 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór
{(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D
f
} .
Definicja 5 Poziomicą wykresu funkcji f , odpowiadającą poziomowi h ∈ R, nazywamy
zbiór
{(x, y) ∈ D
f
: f (x, y) = h} .
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x
0
, y
0
).
Definicja 6 f jest ciągła w punkcie (x
0
, y
0
), gdy
^
>0
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(
q
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< δ) ⇒ (|f (x, y) − f (x
0
, y
0
)| < )]
Pochodne cząstkowe
Definicja 7 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x
0
, y
0
)
określamy wzorem
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
∆x
,
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 1 Niech F (x) = f (x, y
0
). Wtedy
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) = F
0
(x
0
).
Analogicznie
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = lim
∆y→0
f (x
0
, y
0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
∆y
,
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 2 Niech G(y) = f (x
0
, y). Wtedy
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = G
0
(y
0
).
Definicja 8 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru
otwartego D ⊂ R
2
, to funkcje
∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂y
(x, y), gdzie (x, y) ∈ D
nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.
Płaszczyzna styczna
Załóżmy, że pochodne cząstkowe
∂f
∂x
,
∂f
∂y
są ciągłe w punkcie (x
0
, y
0
). Wtedy płaszczyzna
o równaniu
z =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)(y − y
0
) + f (x
0
, y
0
)
jest styczna do wykresu funkcji z = f (x, y) w punkcie (x
0
, y
0
, f (x
0
, y
0
)).
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Niech f ma pochodne
∂f
∂x
,
∂f
∂y
na zbiorze otwartym D oraz niech (x
0
, y
0
) ∈ D.
Definicja 9 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x
0
, y
0
) określamy wzorami:
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
) =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)(x
0
, y
0
) = f
xx
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
) =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)(x
0
, y
0
) = f
xy
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y∂x
(x
0
, y
0
) =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)(x
0
, y
0
) = f
yx
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
) =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)(x
0
, y
0
) = f
yy
(x
0
, y
0
)
Twierdzenie 1 (Schwartza o pochodnych mieszanych)
Niech pochodne cząstkowe
∂
2
f
∂x∂y
,
∂
2
f
∂y∂x
istnieją na otoczeniu punktu (x
0
, y
0
) oraz będą ciągłe
w punkcie (x
0
, y
0
). Wtedy
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
) =
∂
2
f
∂y∂x
(x
0
, y
0
).
Pochodna cząstkowa n-tego rzędu
∂
n
f
∂y
k
∂x
l
(x
0
, y
0
), gdzie k + l = n
-pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
) powstała w wyniku l-
krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania
względem zmiennej y
Pochodna kierunkowa funkcji
Niech ~
v = (v
x
, v
y
) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze
otwartym D ⊂ R
2
oraz niech punkt (x
0
, y
0
) ∈ D.
Definicja 10 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
) w kierunku wersora ~
v
określamy wzorem:
∂f
∂~
v
(x
0
, y
0
) = lim
t→0
+
f (x
0
+ tv
x
, y
0
+ tv
y
) − f (x
0
, y
0
)
t
.
Uwaga 3 Niech F (t) = f (x
0
+ tv
x
, y
0
+ tv
y
). Wtedy
∂f
∂~
v
(x
0
, y
0
) = F
0
+
(0).
Gradient funkcji
Definicja 11 Niech istnieją pochodne cząstkowe
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
∂f
∂y
(x
0
, y
0
). Gradientem funkcji
f w punkcie (x
0
, y
0
) nazywamy wektor
grad f (x
0
, y
0
) = (
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)).
Twierdzenie 2 Niech pochodne
∂f
∂x
,
∂f
∂y
istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w
punkcie (x
0
, y
0
) ∈ D. Wtedy
∂f
∂~
v
(x
0
, y
0
) = grad f (x
0
, y
0
) ◦ ~
v.
Interpretacja geometryczna
Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punk-
cie.
Ekstrema lokalne
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x
0
, y
0
).
Definicja 12 f ma w punkcie (x
0
, y
0
) minimum lokalne, jeżeli
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(x, y) ∈ O((x
0
, y
0
), δ) ⇒ f (x, y) f (x
0
, y
0
)].
Twierdzenie 3 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x
0
, y
0
). Jeśli f ma ekstremum lokalne w
(x
0
, y
0
) i istnieją pochodne cząstkowe
∂f
∂x
(x
0
, y
0
),
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) to
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = 0.
Twierdzenie 4 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x
0
, y
0
) i
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = 0 oraz
det
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
)
> 0
to f ma ekstremum lokalne w (x
0
, y
0
) i jest to :
minimum lokalne właściwe , gdy
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
) > 0 albo
maksimum lokalne właściwe, gdy
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
) < 0.
Uwaga 4 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x
0
, y
0
) ekstremum lokalnego.
Ekstrema warunkowe
Definicja 13 Funkcja f ma w punkcie (x
0
, y
0
) minimum lokalne właściwe z warunkiem
g(x, y) = 0 gdy g(x
0
, y
0
) = 0 i
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(x, y) ∈ S((x
0
, y
0
), δ) ∧ g(x, y) = 0] ⇒ [f (x, y) > f (x
0
, y
0
)]
Zbiory domknięte
Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni:
Definicja 14 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli
^
r>0
O(P, r) ∩ A 6= ∅ oraz O(P, r) ∩ A
0
6= ∅.
A
0
-dopełnienie zbioru A.
Definicja 15 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.
Definicja 16 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.
Definicja 17 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu
_
P
0
_
r>0
D ⊂ O(P
0
, r).
Twierdzenie 5 (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to
_
(x
1
,y
1
)∈D
f (x
1
, y
1
) = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ D}
_
(x
2
,y
2
)∈D
f (x
2
, y
2
) = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ D}
Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na
zbiorze domkniętym
1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne
(ekstrema warunkowe).
Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.
Całki podwójne
Całka podwójna po prostokącie
Niech P = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} = [a, b] × [c, d]
i P = {P
1
, P
2
, ..., P
n
} będzie podziałem prostokąta P na prostokąty P
k
, 1 ¬ k ¬ n.
Oznaczmy
∆x
k
, ∆y
k
-wymiary prostokąta P
k
, 1 ¬ k ¬ n,
d
k
=
q
(∆x
k
)
2
+ (∆y
k
)
2
-długość przekątnej prostokąta P
k
, 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {d
k
: 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P,
(x
∗
k
, y
∗
k
) ∈ P
k
-punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 ¬ k ¬ n
Σ = {(x
∗
k
, y
∗
k
) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P.
Definicja 18 Sumę
σ(f, P) =
n
X
k=1
f (x
∗
k
, y
∗
k
)∆x
k
∆y
k
nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (P
n
) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli
lim
n→∞
δ(P
n
) = 0.
Definicja 19 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem
R R
P
f (x, y)dxdy = lim
n→∞
σ(f, P
n
)
gdzie (P
n
) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla
dowolnego normalnego ciągu podziałów (P
n
) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów
pośrednich Σ
n
Twierdzenie 6 (Warunek wystarczający całkowania funkcji)
Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty niecią-
głości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).
Twierdzenie 7 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c ∈ R, to
R R
P
(f (x, y) + g(x, y))dxdy =
R R
P
f (x, y)dxdy +
R R
P
g(x, y)dxdy,
R R
P
cf (x, y)dxdy = c
R R
P
f (x, y)dxdy,
R R
P
f (x, y)dxdy =
R R
P
1
f (x, y)dxdy +
R R
P
2
f (x, y)dxdy
gdzie {P
1
, P
2
} jest podziałem prostokąta P na prostokąty P
1
, P
2
.
Twierdzenie 8 Jeżeli istnieje
R R
P
f (x, y)dxdy oraz istnieje całka
d
R
c
f (x, y)dy dla każdego
x, to
R R
P
f (x, y)dxdy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x, y)dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f (x, y)dx.
Wniosek 1 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] × [c, d]. Wtedy
R R
P
f (x, y)dxdy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x, y)dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f (x, y)dx.
Interpretacja geometryczna
Niech V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ P, 0 ¬ z ¬ f (x, y)} . Wtedy
|V | =
R R
P
f (x, y)dxdy.
Obszary
Definicja 20 Zbiór D ⊂ R
2
(R
3
) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa
punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą.
Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
Całka podwójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D ⊂ R
2
.
Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D ⊂ P. Określamy funkcję
f
∗
(x, y) =
(
f (x, y) dla
(x, y) ∈ D
0
dla (x, y) ∈ R
2
− D.
Definicja 21 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem
R R
D
f (x, y)dxdy =
R R
P
f
∗
(x, y)dxdy.
Definicja 22 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór
{(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}
gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x ∈ (a, b).
b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór
{(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)}
gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y ∈ (c, d).
Twierdzenie 9 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym
a) D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}, to
R R
D
f (x, y)dxdy =
b
Z
a
(
h(x)
Z
g(x)
f (x, y)dy)dx,
b)D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)} , to
R R
D
f (x, y)dxdy =
d
Z
c
(
q(y)
Z
p(y)
f (x, y)dx)dy.
Całka podwójna po obszarze regularnym
Definicja 23 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę-
dem osi Ox lub Oy ) D
1
, ..., D
n
o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym na płaszczyźnie.
Twierdzenie 10 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to
R R
D
f (x, y)dxdy =
R R
D
1
f (x, y)dxdy + ... +
R R
D
n
f (x, y)dxdy.
Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
Współrzędne biegunowe
P = (x, y) ≈ (ϕ, ρ),
gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P
0 ¬ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ¬ π),
ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych.
B :=
(
x =
ρcosϕ
y = ρsinϕ.
B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y).
Twierdzenie 11 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normal-
nym i ma postać
U = {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, g(ϕ) ¬ ρ ¬ h(ϕ)} ,
gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] ⊂ [0, 2π]. Niech f będzie ciągła
na obszarze D = B(U ). Wtedy
R R
D
f (x, y)dxdy =
R R
U
f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ =
β
Z
α
[
h(ϕ)
Z
g(ϕ)
f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.
Całki potrójne
Całka potrójna po prostopadłościanie
Niech P = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q} = [a, b] × [c, d] × [p, q]
i P = {P
1
, P
2
, ..., P
n
} będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P
k
, 1 ¬
k ¬ n.
Oznaczmy
∆x
k
, ∆y
k
, ∆z
k
-wymiary prostopadłościanu P
k
, 1 ¬ k ¬ n,
d
k
=
q
(∆x
k
)
2
+ (∆y
k
)
2
+ (∆z
k
)
2
-długość przekątnej prostopadłościanu P
k
, 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {d
k
: 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P,
(x
∗
k
, y
∗
k
, z
∗
k
) ∈ P
k
-punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 ¬ k ¬ n
Σ = {(x
∗
k
, y
∗
k
, z
∗
k
) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P.
Definicja 24 Sumę
σ(f, P) =
n
X
k=1
f (x
∗
k
, y
∗
k
, z
∗
k
)∆x
k
∆y
k
∆z
k
nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (P
n
) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli
lim
n→∞
δ(P
n
) = 0.
Definicja 25 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz = lim
n→∞
σ(f, P
n
)
gdzie (P
n
) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla
dowolnego normalnego ciągu podziałów (P
n
) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów
pośrednich Σ
n
Interpretacja fizyczna całki potrójnej
Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę
M =
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz.
Twierdzenie 12 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α ∈ R, β ∈ R,
to
R R R
P
(αf (x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz + β
R R R
P
g(x, y, z)dxdydz,
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz =
R R R
P
1
f (x, y, z)dxdydz +
R R R
P
2
f (x, y, z)dxdydz
gdzie {P
1
, P
2
} jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P
1
, P
2
.
Twierdzenie 13 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną)
Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Wtedy
R R R
P
f (x, y, z)dxdydz =
b
Z
a
dx
d
Z
c
dy
q
Z
p
f (x, y, z)dz
Całka potrójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V ⊂ R
3
.
Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję
f
∗
(x, y, z) =
(
f (x, y, z) dla
(x, y, z) ∈ V
0
dla (x, y, z) ∈ R
3
− V.
Definicja 26 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
R R
P
f
∗
(x, y, z)dxdydz.
Definicja 27 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xOy nazywamy zbiór
{(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
gdzie U jest obszarem regularnym na xOy, funkcje D i G są ciągłe na U , przy czym
D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U.
Analogicznie:
b) względem xOz
{(x, y, z) : (x, z) ∈ U, D(x, z) ¬ y ¬ G(x, z)}
c) względem yOz
{(x, y, z) : (y, z) ∈ U, D(y, z) ¬ x ¬ G(y, z)} .
Twierdzenie 14 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
normalnym względem płaszczyzny xOy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regu-
larnym U , to
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
R R
U
(
G(x,y)
Z
D(x,y)
f (x, y, z))dxdy.
Jeżeli
U = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x)} ,
gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
b
Z
a
dx
g(x)
Z
d(x)
dy
G(x,y)
Z
D(x,y)
f (x, y, z)dz.
Całka potrójna po obszarze regularnym
Definicja 28 Obszar V , który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę-
dem płaszczyzn układu ) V
1
, ..., V
n
o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym na płaszczyźnie.
Twierdzenie 15 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V , to
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
R R R
V
1
f (x, y, z)dxdydz + ... +
R R R
V
n
f (x, y, z)dxdydz.
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych
Współrzędne walcowe
P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ρ, h),
gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y),
0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), 0 ¬ ρ < ∞, −∞ < h < ∞
W :=
x = ρcosϕ
y = ρsinϕ
z =
h.
W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).
Twierdzenie 16 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normal-
nym i ma postać
U = {(ϕ, ρ, h) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ρ) ¬ h ¬ G(ϕ, ρ)} ,
gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze
{(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ)} .
Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U ), to
R R R
V
f (x, y, z)dxdydz =
β
Z
α
dϕ
g(ϕ)
Z
d(ϕ)
dρ
G(ϕ,ρ)
Z
D(ϕ,ρ)
f (ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.