Funkcje analityczne
ostatnia aktualizacja:
30 marca 2010, 16:27
Zaczniemy od uog´
olnienia twierdzenia o zmianach kolejno´sci sumowania szeregu
bezwzgle
֒
dnie zbie˙znego. Dow´
od tego twierdzenia nie pojawi l sie
֒
na wyk ladzie. Jego
sformu lowanie pojawi lo sie
֒
jedynie „w powietrzu”.
Twierdzenie 13.1 (
o du ˙zej zmianie kolejno´
sci sumowania
)
Za l´
o˙zmy, ˙ze zachodzi jedno z dw´
och za lo˙ze´
n:
(i) dla ka˙zdej liczby ca lkowitej m ≥ 0 szereg
P
∞
n=0
|a
m,n
| jest zbie˙zny i
∞
X
m=0
∞
X
n=0
|a
m,n
|
< +∞ ,
(ii)
P
∞
j=0
|a
˜
σ(j)
| < ∞ dla pewnej bijekcji ˜σ : N −→ N × N .
Wtedy dla ka˙zdej bijekcji σ : N −→ N × N zachodzi r´owno´s´c
∞
X
m=0
∞
X
n=0
a
m,n
=
∞
X
j=0
a
σ(j)
.
Dow´
od. Wyka˙zemy najpierw, ˙ze warunki (i) oraz (ii) sa
֒
r´ownowa˙zne.
Za l´
o˙zmy, ˙ze spe lniony jest warunek (i). Dla dowolnej bijekcji σ : N −→ N × N
szereg
P
∞
j=0
|a
σ(j)
| jest zbie˙zny, bo
l
X
j=0
|a
σ(j)
| ≤
p
X
m=0
∞
X
n=0
|a
m,n
|
≤
∞
X
m=0
∞
X
n=0
|a
m,n
|
dla ka˙zdej tak du˙zej liczby naturalnej p , ˙ze ka˙zda z liczb |a
σ(0)
| , |a
σ(1)
| , . . . , |a
σ(l)
|
jest sk ladnikiem kt´
orego´s z szereg´
ow
P
∞
n=0
|a
m,n
| , gdzie m ∈ {0, 1, . . . , p} (np. p
jest najwie
֒
kszym z pierwszych element´
ow par σ(0) , σ(1) , . . . , σ(l) ).
Za l´
o˙zmy teraz, ˙ze spe lniony jest warunek (ii). Dla dowolnych liczb naturalnych
p, q spe lniona jest nier´
owno´s´c
q
X
m=0
p
X
n=0
|a
m,n
|
≤
ℓ
X
j=0
|a
˜
σ(j)
| ≤
∞
X
j=0
|a
˜
σ(j)
| ,
gdzie ℓ oznacza tak du˙za
֒
liczbe
֒
naturalna
֒
, ˙ze w´sr´
od par ˜
σ(0), ˜
σ(1), . . . , ˜
σ(ℓ) znajduja
֒
sie
֒
wszystkie pary (0, 0), (0, 1), . . . , (0, p), (1, 0), . . . , (1, p), (q, 0), . . . , (q, p) . Ustalaja
֒
c
q i przechodza
֒
c do granicy przy p −→ ∞ otrzymujemy nier´owno´s´c
q
X
m=0
∞
X
n=0
|a
m,n
|
≤
∞
X
j=0
|a
˜
σ(j)
| .
Z definicji sumy szeregu wynika, ˙ze
∞
X
m=0
∞
X
n=0
|a
m,n
| ≤
∞
X
j=0
|a
˜
σ(j)
| .
1
Funkcje analityczne
Micha l Krych
Wykazali´smy, ˙ze z za lo˙zenia (ii) wynika za lo˙zenie (i).
W istocie rzeczy z dowodu r´
ownowa˙zno´sci warunk´ow (i) i (ii) wynika r´owno´s´c:
∞
X
m=0
∞
X
n=0
|a
m,n
| =
∞
X
j=0
|a
˜
σ(j)
| ,
przy czym jest ona prawdziwa zawsze, r´
ownie˙z wtedy, gdy sumy nie sa
֒
sko´
nczone.
Niech ε > 0 . Istnieje taka liczba k(m) ∈ N , ˙ze
P
∞
n=k(m)+1
|a
m,n
| <
ε
2
m
+3
.
Wtedy
∞
X
n=k(m)+1
a
m,n
≤
∞
X
n=k(m)+1
|a
m,n
| <
ε
2
m+3
,
zatem
∞
X
m=0
∞
X
n=k(m)+1
a
m,n
<
ε
8
+
ε
16
+
ε
32
+ · · · =
ε
4
.
Niech r(ε) be
֒
dzie taka
֒
liczba
֒
naturalna
֒
, ˙ze
∞
X
j=r(ε)+1
|a
σ(j)
| <
ε
4
. Istnieje taka liczba
naturalna µ(ε) , ˙ze
∞
X
m=µ(ε)+1
∞
X
n=0
|a
m,n
|
<
ε
4
i
n
σ(0), σ(1), . . . , σ r(ε)
o
⊆
⊆
n
0, 0
, 0, 1, . . . , 0, k(0), 1, 0, . . . , 1, k(1), . . . , µ(ε), 0, . . . , µ(ε), k[µ(ε)]
o
Niech ρ(ε) oznacza taka
֒
liczbe
֒
naturalna
֒
, ˙ze
n
0, 0
, 0, 1, . . . , 0, k(0), 1, 0, . . . , 1, k(1), . . . , µ(ε), 0, . . . , µ(ε), k[µ(ε)]
o
⊆
n
σ(0), σ(1), σ(2), . . . , σ
ρ(ε)
o
.
Wtedy zachodza
֒
nier´
owno´sci
∞
X
m=0
∞
X
n=0
a
m,n
−
∞
X
j=0
a
σ(j)
≤
∞
X
m=µ(ε)+1
∞
X
n=0
a
m,n
+
+
µ(ε)
X
m=0
k(m)
X
n=0
a
m,n
−
ρ(ε)
X
j=0
a
σ(j)
+
µ(ε)
X
m=0
∞
X
n=k(m)+1
a
m,n
+
∞
X
j=ρ(ε)+1
a
σ(j)
≤
≤
∞
X
m=µ(ε)+1
∞
X
n=0
|a
m,n
|
+
ρ(ε)
X
j=r(ε)+1
|a
σ(j)
|+
µ(ε)
X
m=0
∞
X
n=k(m)+1
|a
m,n
|
+
∞
X
j=ρ(ε)+1
|a
σ(j)
| <
<
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
= ε .
Poniewa˙z ε oznacza dowolna
֒
liczbe
֒
dodatnia
֒
, wie
֒
c zachodzi r´owno´s´c
∞
X
m=0
∞
X
n=0
a
m,n
=
∞
X
j=0
a
σ(j)
.
2
Funkcje analityczne
Micha l Krych
W ten spos´
ob zako´
nczyli´smy omawianie zmian kolejno´sci sumowania szereg´ow pod-
w´
ojnych. Twierdzenie to przyda sie
֒
nam do wykazania, ˙ze z lo˙zenie funkcji analitycz-
nych jest funkcja
֒
analityczna
֒
.
Zaczniemy od definicji funkcji analitycznej.
Definicja 13.2 (
funkcji analitycznej
)
Funkcje
֒
f okre´slona
֒
na otoczeniu punktu p nazywamy analityczna
֒
w punkcie p
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje cia
֒
g (a
n
) taki, ˙ze dla pewnej liczby r > 0 r´owno´s´c
f (x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − p)
n
zachodzi dla ka˙zdego x , dla kt´orego |x − p| < r . Je´sli funkcja
f jest analityczna w ka˙zdym punkcie zbioru A , to m´owimy, ˙ze jest analityczna w
zbiorze A .
Przyk lad 13.1
Ka˙zdy wielomian jest funkcja
֒
analityczna
֒
w R a nawet w C .
Niech w(x) =
d
X
n=0
a
n
x
n
, a
d
6= 0 . Przyjmuja
֒
c a
n
= 0 dla n > d mo˙zemy napisa´c
w(x) =
∞
X
n=0
a
n
x
n
. Wobec tego
w(x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − p + p)
n
=
∞
X
n=0
d
X
j=0
a
n
n
j
(x − p)
j
p
n−j
=
∞
X
n=0
∞
X
j=0
a
n
n
j
(x − p)
j
p
n−j
=
=
∞
X
j=0
∞
X
n=0
a
n
n
j
(x − p)
j
p
n−j
=
∞
X
j=0
h
∞
X
n=0
a
n
n
j
p
n−j
i
(x − p)
j
=
=
d
X
j=0
h
d
X
n=j
a
n
n
j
p
n−j
i
(x − p)
j
=
d
X
j=0
w
(j)
(p)
j!
(x − p)
j
.
Podali´smy dow´
od bezpo´sredni, ale oczywi´scie ten wz´or wynika te˙z z wzoru Lagrange’a
na (k + 1)–a
֒
reszte
֒
we wzorze Taylora.
Twierdzenie 13.3 (
o analityczno´
sci sumy szeregu pote
֒
gowego
)
Je´sli f (x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − p)
n
dla ka˙zdego x , dla kt´orego |x − p| < r , gdzie r > 0
i |q − p| < r , to dla ka˙zdego x takiego, ˙ze |x − q| < r − |p − q| zachodzi r´owno´s´c
f (x) =
∞
X
n=0
f
(n)
(q)
n!
(x − q)
n
,
zatem funkcja f jest analityczna w kole o ´srodku p i promieniu r .
Dow´
od. Z twierdzenia o pochodnej szeregu pote
֒
gowego wynika, ˙ze
f
(j)
(q) =
∞
X
n=j
n(n − 1) · . . . · (n − j + 1)a
n
(q − p)
n−j
=
∞
X
n=j
j!
n
j
a
n
(q − p)
n−j
.
3
Funkcje analityczne
Micha l Krych
Mo˙zemy wie
֒
c napisa´c, ˙ze
f (x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − p)
n
=
∞
X
n=0
a
n
(x − q + q − p)
n
=
∞
X
n=0
a
n
n
X
j=0
n
j
(x − q)
j
(q − p)
n−j
=
=
∞
X
n=0
a
n
∞
X
j=0
n
j
(x − q)
j
(q − p)
n−j
=
∞
X
j=0
∞
X
n=0
a
n
n
j
(x − q)
j
(q − p)
n−j
=
=
∞
X
j=0
(x − q)
j
∞
X
n=j
a
n
n
j
(q − p)
n−j
=
∞
X
j=0
f
(j)
(q)
j!
(x − q)
j
,
je´sli tylko potrafimy uzasadni´c zmiane
֒
kolejno´sci sumowania. Kolejno´s´c sumowania
mo˙ze by´c zmieniona, bowiem
∞
X
n=0
∞
X
j=0
|a
n
|
n
j
|x − q|
j
|q − p|
n−j
=
∞
X
n=0
|a
n
| |x − q| + |q − p|
n
< ∞ ,
bo |x − q| + |q − p| < r . W istocie rzeczy korzystamy w tym miejscu jedynie z tego, ze
suma szeregu bezwzgle
֒
dnie zbie˙znego jest niezale˙zna od kolejno´sci, w jakiej sumujemy
jego wyrazy.
Uwaga 12.4 Oczywi´scie promie´
n zbie˙zno´sci szeregu pote
֒
gowego mo˙ze ulec zmianie.
Funkcja
1
x
jest analityczna w punkcie 1 , bowiem
1
x
=
1
x−1+1
|x−1|<1
========
∞
X
n=0
(1 − x)
n
=
∞
X
n=0
(−1)
n
(x − 1)
n
.
Jest te˙z analityczna w dowolnym punkcie p 6= 0 , bowiem
1
x
=
1
x−p+p
=
1
p(1+
x−p
p
)
=
1
p
∞
X
n=0
p−x
p
n
=
∞
X
n=0
(−1)
n
p
n
+1
(x − p)
n
.
Bez trudu stwierdzamy, ˙ze promie´
n zbie˙zno´sci r´
owny jest w tym przypadku |p| , jasne
jest wie
֒
c, ˙ze przechodza
֒
c od 1 do
1
2
zmniejszamy promie´
n, a przechodza
֒
c od 1 do
3
2
— zwie
֒
kszamy. To ostatnie stwierdzenie wynika z zachowania sie
֒
tej akurat funkcji,
oczywi´scie w innych przypadkach mo˙ze by´c inaczej.
Twierdzenie 13.5 (
o analityczno´
sci z lo ˙zenia funkcji analitycznych
)
Je´sli funkcja f jest analityczna w punkcie p a funkcja g jest analityczna w punkcie
f (p) , to z lo˙zenie tych funkcji jest analityczne w punkcie p .
Dow´
od. Za l´
o˙zmy, ˙ze f (x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − p)
n
, je´sli |x − p| < r i r > 0 oraz
g(y) =
∞
X
n=0
b
n
y − f(p)
n
, je´sli |y − f(p)| < ρ , ρ > 0 . Poniewa˙z funkcja zdefi-
niowana szeregiem pote
֒
gowym jest cia
֒
g la i szereg pote
֒
gowy jest wewna
֒
trz swego
przedzia lu (ko la) zbie˙zno´sci jest zbie˙zny bezwzgle
֒
dnie, wie
֒
c istnieje liczba dodatnia
4
Funkcje analityczne
Micha l Krych
r
0
< r taka, ˙ze je´sli |x − p| < r
0
, to
∞
X
n=1
|a
n
| · |x − p|
n
< ρ . Wynika sta
֒
d, ˙ze
∞
X
j=0
|b
j
|
∞
X
n=1
|a
n
| · |x − p|
n
j
< ∞ , dzie
֒
ki czemu mo˙zemy zmienia´c kolejno´s´c sumowa-
nia dowolnie. Z twierdzenia o mno˙zeniu szereg´
ow wynika, ˙ze mo˙zna szereg pote
֒
gowy
podnie´s´c do dowolnej naturalnej pote
֒
gi. W wyniku otrzymujemy szereg pote
֒
gowy.
Niech
∞
X
n=1
a
n
· (x − p)
n
j
=
∞
X
n=j
a
j,n
(x − p)
n
. Z nier´owno´sci tr´ojka
֒
ta wynika, ˙ze
prawdziwa jest nier´
owno´s´c
∞
X
n=j
|a
j,n
| · |x − p|
n
≤
∞
X
n=1
|a
n
| · |x − p|
n
j
. Wobec tego
w szeregu podw´
ojnym
∞
X
j=0
b
j
∞
X
n=j
a
j,n
(x − p)
n
mo˙zna zmienia´c kolejno´s´c wyraz´ow do-
wolnie nie wp lywaja
֒
c na jego zbie˙zno´s´c ani sume
֒
. Mamy wie
֒
c
∞
X
j=0
b
j
∞
X
n=j
a
j,n
(x − p)
n
=
∞
X
n=0
n
X
j=0
b
j
a
j,n
(x − p)
n
.
Dow´
od zosta l zako´
nczony.
Naste
֒
pne twierdzenie, kt´
orym sie
֒
zajmiemy zwykle nie jest dowodzone w ra-
mach wyk ladu z analizy na pierwszym roku i studenci poznaja
֒
je na wyk ladzie z
funkcji analitycznych z zupe lnie innym dowodem ni˙z pochodza
֒
cy od Cauchy’ego,
kt´ory przedstawimy za chwile
֒
.
Twierdzenie 13.6 (
o analityczno´
sci funkcji odwrotnej
)
Je´sli funkcja f jest analityczna w punkcie p i f
′
(p) 6= 0 , to po ograniczeniu jej
dziedziny do dostatecznie ma lego otoczenia punktu p otrzymujemy funkcje
֒
r´o˙zno-
warto´sciowa
֒
, kt´
orej funkcja odwrotna jest analityczna.
Dow´
od. Poniewa˙z funkcje: T przypisuja
֒
ca liczbie y liczbe
֒
y − f(p) i funkcja S
przypisuja
֒
ca liczbie x liczbe
֒
x+p sa
֒
analityczne i odwrotne do nich te˙z, wie
֒
c mo˙zemy
zaja
֒
´c sie
֒
istnieniem funkcji odwrotnej do funkcji g := T ◦f ◦S . Je´sli zdo lamy wykaza´c,
˙ze to z lo˙zenie ma funkcje
֒
odwrotna
֒
, to be
֒
dziemy mogli napisa´c, ˙ze prawdziwy jest
wz´
or f
−1
= S ◦ (T ◦ f ◦ S)
−1
◦ T , wie
֒
c na mocy poprzedniego twierdzenia funkcja
f
−1
oka˙ze sie
֒
by´c funkcja
֒
analityczna
֒
. Oczywi´scie g(0) = T ◦ f ◦ S(0) = 0 . Niech
g(x) = T ◦ f ◦ S(x) =
∞
X
n=1
a
n
x
n
.* Oczywi´scie a
1
= g
′
(0) = f
′
(p) 6= 0 . Chcemy
udowodni´c, ˙ze funkcja g
−1
jest analityczna w punkcie 0 .
*
Na wyk ladzie wykaza lem, ˙ze mo˙zna ograniczy´
c sie
֒
do przypadku a
1
=1 , ale tu z tego nie korzystam.
W tym przypadku by loby b
1
=1 .
5
Funkcje analityczne
Micha l Krych
Za l´
o˙zmy, ˙ze g
−1
(x) =
∞
X
n=1
b
n
x
n
dla dostatecznie ma lych |x| . Udowodnimy, ˙ze ta
r´owno´s´c wyznacza liczby b
1
, b
2
, . . . . Wynika z niej i z twierdzenia o z lo˙zeniu funkcji
analitycznych, ˙ze w pewnym otoczeniu 0 spe lniona jest r´owno´s´c
x =
∞
X
n=1
a
n
∞
X
j=1
b
j
x
j
n
=
= a
1
b
1
x + b
2
x
2
+ · · ·
+ a
2
b
1
x + b
2
x
2
+ · · ·
2
+ a
3
b
1
x + b
2
x
2
+ · · ·
3
+ · · · .
Zmieniaja
֒
c kolejno´s´c sumowania otrzymujemy:
x = a
1
b
1
x +
a
1
b
2
+ a
2
b
2
1
x
2
+
a
1
b
3
+ 2a
2
b
1
b
2
+ a
3
b
3
1
x
3
+
+
a
1
b
4
+ 2a
2
b
1
b
3
+ a
2
b
2
2
+ 3a
3
b
2
1
b
2
+ a
4
b
4
1
x
4
+ · · · .
Wynika z tej r´
owno´sci, ˙ze
b
1
=
1
a
1
;
b
2
= −
1
a
1
a
2
b
2
1
;
b
3
= −
1
a
1
2a
2
b
1
b
2
+ a
3
b
3
1
;
b
4
= −
1
a
1
2a
2
b
1
b
3
+ a
2
b
2
2
+ 3a
3
b
2
1
b
2
+ a
4
b
4
1
Widzimy wie
֒
c, ˙ze udaje sie
֒
obliczy´c kolejno b
1
, b
2
, . . . Wobec tego mo˙zliwe jest
napisanie wzoru na funkcje
֒
odwrotna
֒
w postaci szeregu pote
֒
gowego, co nieomal
ko´
nczy dow´
od. Pozostaje jednak kwestia zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu. Teoretycz-
nie mog loby sie
֒
zdarzy´c, ˙ze promie´
n zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu r´owny jest 0 .
Zajmiemy sie
֒
teraz opisanym problemem. Poniewa˙z promie´
n zbie˙zno´sci szeregu
P a
n
x
n
jest dodatni, wie
֒
c istnieje liczba c > 0 , dla kt´orej szereg
P a
n
c
n
jest zbie˙zny
bezwzgle
֒
dnie. Wobec tego lim
n→∞
a
n
c
n
= 0 , zatem cia
֒
g a
n
c
n
jest ograniczony. Ozna-
cza to, ˙ze istnieje liczba M > 0 taka, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi
nier´
owno´s´c |a
n
c
n
| ≤ M , zatem |a
n
| ≤ Mc
−n
. Zdefiniujemy pomocnicza
֒
funkcje
֒
analityczna
֒
h(x) = |a
1
|x − Mc
−2
x
2
− Mc
−3
x
3
− · · · . Znajdujemy wsp´o lczynniki
d
1
, d
2
, . . . szeregu Maclaurina funkcji h
−1
. Wyrazi´c je mo˙zna za pomoca
֒
tych sa-
mych wzor´
ow, kt´
ore otrzymali´smy w przypadku wsp´o lczynnik´ow funkcji g
−1
z tym
tylko, ˙ze liczby a
1
, a
2
, a
3
, . . . zaste
֒
pujemy kolejno liczbami |a
1
|, −Mc
−2
, −Mc
−3
, . . . .
Mamy wie
֒
c
d
1
=
1
|a
1
|
≥ |b
1
| ,
d
2
= −
1
|a
1
|
− Mc
−2
d
2
1
=
1
|a
1
|
M c
−2
d
2
1
≥
−
1
a
1
a
2
b
2
1
= |b
2
| ,
6
Funkcje analityczne
Micha l Krych
d
3
= −
1
|a
1
|
− 2Mc
−2
d
1
d
2
− 2Mc
−3
d
3
1
=
1
|a
1
|
2M c
−2
d
1
d
2
+ 2M c
−3
d
3
1
≥
≥
−
1
a
1
2a
2
b
1
b
2
+ a
3
b
3
1
= |b
3
| .
Analogicznie d
4
≥ |b
4
| itd. (INDUKCJA!). Wynika sta
֒
d, ˙ze wystarczy wykaza´c, ˙ze
promie´
n zbie˙zno´sci szeregu
P d
n
x
n
jest dodatni!* Mamy
y = h(x) = |a
1
|x − Mc
−2
x
2
− Mc
−3
x
3
− · · · = |a
1
|x −
M c
−2
x
2
1−c
−1
x
=
|a
1
|c
2
x−(|a
1
|c+M x
2
)
c
2
−cx
,
czyli (|a
1
|c + M)x
2
− (cy + a
1
c
2
)x + c
2
y = 0 . Otrzymane r´ownanie kwadratowe roz-
wia
֒
zujemy bez trudu:
x =
1
2(|a
1
|c+M )
h
(cy + |a
1
|c
2
) ±
p(cy + |a
1
|c
2
)
2
− 4c
2
y(|a
1
|c + M)
i
.
Poniewa˙z h(0) = 0 , wie
֒
c r´
ownie˙z h
−1
(0) = 0 . Oznacza to, ˙ze
x =
1
2(|a
1
|c+M )
h
(cy + |a
1
|c
2
) −
p(cy + |a
1
|c
2
)
2
− 4c
2
y(|a
1
|c + M)
i
.
Wyrazili´smy x jako funkcje
֒
zmiennej y i to funkcje
֒
analityczna
֒
, bowiem z lo˙zenie
funkcji analitycznych, suma i r´
o˙znica funkcji analitycznych sa
֒
funkcjami analitycz-
nymi, wielomian jest funkcja
֒
analityczna
֒
, pierwiastek kwadratowy te˙z, bo je´sli q > 0 ,
to
√
x =
√
q + x − q =
√
q ·
r
1 +
x − q
q
=
√
q ·
∞
X
n=0
1/2
n
x − q
q
n
— skorzystali´smy z szeregu dwumianowego Newtona, promieniem zbie˙zno´sci otrzy-
manego szeregu pote
֒
gowego jest liczba |q| .Dow´od zosta l zako´nczony.
Z udowodnionych twierdze´
n wynika od razu, ˙ze funkcje analityczne w ustalonym
punkcie tworza
֒
zbi´
or zamknie
֒
ty ze wzgle
֒
du na dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie i
dzielenie przez te, kt´
ore nie przyjmuja
֒
warto´sci 0 . Mo˙zna je te˙z sk lada´c i odwraca´c.
Wyja´snia to, dlaczego praktycznie wszystkie, kt´
orymi sie
֒
zajmujemy, sa
֒
analityczne,
czasem z wyja
֒
tkiem nielicznych punkt´
ow, jak np. funkcja x
13
|x| , kt´ora nie jest anali-
tyczna w punkcie 0 . Bardziej ambitny przyk lad to funkcja zdefiniowana r´owno´sciami
f (x) = 0 dla x ≤ 0 i f(x) = e
−1/x
dla x > 0 . Ta funkcja jest niesko´
nczenie wiele
razy r´
o˙zniczkowalna. Mamy f
(n)
(0) = 0 dla n = 1, 2, . . . . Gdyby by la analityczna w
punkcie 0 , to zachodzi laby r´
owno´s´c f (x) = 0 +
0
1!
x +
0
2
2!
x
2
+ · · · = 0 dla dostatecznie
ma lych |x| , ale tak nie jest dla ˙zadnego x > 0 .
Twierdzenie 13.7 (Zasada identyczno´
sci)
Je´sli funkcje analityczne f i g pokrywaja
֒
sie
֒
w punktach zbioru, kt´ory ma punkt
skupienia p , to pokrywaja
֒
sie
֒
w pewnym otoczeniu punktu p .
Dow´
od. Niech f (x
n
) = g(x
n
) , lim
n→∞
x
n
= p i n 6= m =⇒ x
n
6= x
m
. Za l´o˙zmy,
*
Ze zbie˙zno´
sci szeregu o wie
֒
kszych, nieujemnych wyrazach wynika zbie˙zno´
s´
c szeregu o mniejszych
nieujemnych wyrazach.
7
Funkcje analityczne
Micha l Krych
˙ze f (x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − p)
n
i g(x) =
∞
X
n=0
b
n
(x − p)
n
, gdy |x| jest dostatecznie ma la
֒
liczba
֒
. Mamy a
0
= f (p) = lim
n→∞
f (x
n
) = lim
n→∞
g(x
n
) = g(p) = b
0
. Wobec tego dla
ka˙zdego j zachodzi r´
owno´s´c
∞
X
n=1
a
n
(x
j
− p)
n−1
=
∞
X
n=1
b
n
(x
j
− p)
n−1
— otrzymujemy
ja
֒
dziela
֒
c r´
owno´s´c f (x) − a
0
= g(x) − b
0
stronami przez x
j
− p . Z tej r´owno´sci
i cia
֒
g lo´sci funkcji analitycznych
∞
X
n=1
a
n
(x
j
− p)
n−1
,
∞
X
n=1
b
n
(x
j
− p)
n−1
wynika, ˙ze
a
1
= lim
j→∞
∞
X
n=1
a
n
(x
j
− p)
n−1
=
∞
X
n=1
b
n
(x
j
− p)
n−1
= b
1
. To rozumowanie indukcyjne
mo˙zna kontynuowa´c. W rezultacie r´
owno´s´c a
n
= b
n
ma miejsce dla wszystkich liczb
naturalnych n , co dowodzi, ˙ze w ca lym przedziale zbie˙zno´sci szeregu
∞
X
n=0
a
n
(x
j
− p)
n
zachodzi r´
owno´s´c f (x) = g(x) .
Przyk lad 13.2
Tangens jest funkcja
֒
analityczna
֒
we wszystkich punktach x ,
w kt´
orych cos x 6= 0 . Wynika to z tego, ˙ze tg x = sin x ·
1
cos x
. Funkcje sinus i kosi-
nus sa
֒
analityczne w ca lej prostej (w ca lej p laszczy´znie), bo promienie zbie˙zno´sci ich
szereg´
ow Maclaurina sa
֒
r´
owne +∞ . Funkcja
1
x
jest analityczna w ka˙zdym punkcie
p 6= 0 . Wynika sta
֒
d, ˙ze funkcja
1
cos x
jest z lo˙zeniem funkcji analitycznych i wobec
tego te˙z jest analityczna. Wobec tego tangens jest iloczynem dwu funkcji analitycz-
nych, zatem jest funkcja
֒
analityczna
֒
. Podkre´sli´c wypada, ˙ze od tego stwierdzenia
do uzyskania rozwinie
֒
cia tangensa np. w szereg Maclaurina droga nie jest kr´otka.
Mo˙zna natomiast wylicza´c wsp´
o lczynniki tego rozwinie
֒
cia korzystaja
֒
c z r´owno´sci
(tg x)
′
= 1 + tg
2
x : je´sli tg x = a
1
x + a
3
x
3
+ a
5
x
5
+ · · · ( 0 = a
0
= a
2
= a
4
= . . . ,
bo tg(−x) = − tg x ), to a
1
+ 3a
3
x
2
+ 5a
5
x
4
+ · · · = 1 + (a
1
x + a
3
x
3
+ a
5
x
5
+ · · ·)
2
=
=1 + a
2
1
x
2
+ 2a
1
a
3
x
4
+ +(2a
1
a
5
+ a
2
3
)x
6
+ (2a
1
a
7
+ 2a
3
a
5
)x
8
, co prowadzi do r´owno´sci
a
1
= 1 , 3a
3
= a
2
1
, 5a
5
= 2a
1
a
3
, . . . a z nich mo˙zemy kolejno obliczy´c a
1
, a
3
, a
5
, . . .
Zadanie.
Za l´
o˙zmy, ˙ze f (x) = 2x +
∞
X
n=2
a
n
x
n
, gdy |x| < r , r > 0 . Wykaza´c, ˙ze
istnieje taka funkcja h analityczna w pewnym otoczeniu punktu 0 , ˙ze h(0) = 0 ,
h
′
(0) = 1 i 2h(x) = h(f (x)) dla dostatecznie ma lych |x| .
Zache
֒
cam do zrobienia tego zadania, to niezbyt trudne ´cwiczenie, kt´orego zro-
bienia powinno u latwi´c rzeczywiste zrozumienie opisanej w dowodzie o analityczno´sci
funkcji odwrotnej metody Cauchy’ego, a jednocze´snie fragment (ma ly) dosy´c znanego
w niekt´orych kre
֒
gach twierdzenia Henri Poincar´ego.
8