Robot: Urządzenie mechaniczne wyposażone w napęd i układ sterowania, które może być zaprogramowane do automatycznego wykonania różnorodnych operacji

Robot : Urządzenie mechaniczne wyposażone
w napęd i układ sterowania, które może być
zaprogramowane do automatycznego
wykonania różnorodnych operacji

Manipulator robota przemysłowego

Model jest teoretycznym  opisem obiektu
(procesu). Własności i charakterystyki
modelu powinny być zbieżne do
rzeczywistych  własności i charakterystyk
obiektu wg przyjętego  kryterium. Opis
powinien być uproszczony tak by mógł być
analizowany przy pomocy dostępnych metod.
Stopień uproszczenia nie powinien być jednak
zbyt  duży, żeby możliwe było uzyskanie
nowej wiedzy na temat obiektu (procesu) na
podstawie analizy zachowania się modelu.

Cele modelow ania

PROJEKTOWANIE -dobór sztywności i
wytrzymałości, -dobór napędu, -dobór
chwytaka lub narzędzia,- opis ruchu w
złączach, przestrzeni roboczej, prędkości i
przyspieszeń chwytaka, -opracowanie
technologii wykonania, -wyliczenie kosztów.
−SYMULACJ A(NUMERYCZNA)–gdy
wykonanie eksperymentu na rzeczywistym
robocie jest: niemożliwe, drogie,
niebezpieczne, złożone technicznie.
−SYNTEZA STEROWANIA–- ruchu
swobodnego chwytaka (manipulacja) -ruchu
lokalnego chwytaka/narzędzia w kontakcie z
przedmiotami znajdującymi się w przestrzeni
roboczej (np. w czasie montażu, obróbki czy
inspekcji)

Założenie:
-manipulator posiada tylko obrotowe albo
postępowe złącza
-manipulator ma otwarty łańcuch
kinematyczny
-manipulator ma prostoliniowe człony
-manipulator jest nie
nadmiarowy(DOM=DOF)
-manipulator ma sztywne człony i złącza
-zjawiska tarcia i luzu są zaniedbane w
modelu.

Schemat obiektu modelow ania

Model obiektu umożliw ia określenie:
-jakie własności będzie mieć

przebieg wyjścia dla zadanych
własności przebiegu
wejścia(zadanie proste)

-jaki przebieg wejścia odpowiada zadanemu

przebiegowi wyjścia(zadanie odwrotne).

Ruch sw obodny  efektora manipulatora
odbywa się wzdłuż zadanego toru w
przestrzeni roboczej. Modelowanie ruchu
swobodnego  prowadzi się w:
- przestrzeni współrzędnych  złączowych
względem współrzędnych złączowych  : q1,
q2,...,q n-
-przestrzeni kartezjańskiej
uogólnionej(położenia i orientacji efektora w
PR) względem współrzędnych  kartezjańskich:
x, y, z,

ϕ, θ, ψ.

Ruch efektora w przestrzeni roboczej
realizuje się poprzez
:-pozycjonowanie-gdy dokładne osiągnięcie
zadanej pozycji efektora jest wymagane tylko
dla wybranych punktów toru jego ruchu
-śledzenie toru ruchu-gdy aktualny błąd
pozycji efektora jest stale wykorzystywany w
generacji uchybu  regulacji.
Ruch sw obodny  pozycjonow anie 3 fazy
ruchu :

pozycjonow anie zderzakow e-gdy tylko
początek i koniec każdego odcinka ruchu
danej osi ruchu są określone (np. poprzez
usytuowanie zderzaków)i tylko te położenia
osi ruchu są osiągane dokładnie
pozycjonow anie dymensyjne(swobodne)-
gdy dowolne położenie osi ruchu, zawarte w
zakresie ruchu, może być osiągnięte przez
człon wykonawczy napędu.

Ruch sw obodny -Śledzenie toru ruchu:

Porównanie toru ruchu w przestrzeni
złączowej i kartezjańskiej

Tor ruchu-zbiór położeń (lub dodatkowo)
orientacji efektora w przestrzeni roboczej
zadanych zbiorem krzywych płaskich w
przestrzeni współrzędnych złączowych lub
krzywą w przestrzeni kartezjańskiej
Trajektoria ruchu– zbiór krzywych lub
krzywa sparametryzowana czasem

Ruch lokalny efektora w kontakcie z
przedmiotami w przestrzeni roboczej

- wolne przemieszczenie chwytaka
mocującego w kierunku pionowym z (oś
wydłużenia sworznia)
-minimalizacja sił reakcji w kierunkach x i y
-minimalizacja momentów sił reakcji w
kierunkach osi x i y
-obrót wokół osi z o charakterze
oscylacyjnym (zmniejszanie
prawdopodobieństwa powstania ruchu
przestankowego w kierunku pionowym).

Rodzaje modeli matematycznych
manipulatorów
GEOMETRYCZNY-w postaci układu równań
algebraicznych służących określeniu pozycji
efektora manipulatora w jego PR bez
rozpatrywania przyczyn  tego ruchu
KINEMATYCZNY-w postaci układu równań
algebraicznych opisujących ruch efektora w
jego PR bez rozpatrywania przyczyn  tego
ruchu
STATYCZNY -w postaci układu równań
algebraicznych opisujących równowagę sił
czynnych  działających na manipulator oraz sił
reakcji z jakimi otoczenie działa na
manipulator
DYNAMICZNY -w postaci układu równań
różniczkowych opisujących siły
oddziaływujące na manipulator w czasie jego
ruchu.
Model matematyczny jest w postaci równania
lub układu równań: f(x)=0

Przykład schematu wykorzystania modeli
manipulatorów w procesie projektowania

Budowa i eksploatacja robotów
przemysłowych wymaga formułowania
odpowiednich modeli manipulatorów tych
robotów

-zjawiska nie uwzględnione w budowanym
modelu są traktowane jako zakłócenia
przebiegu wejścia i/lub wyjścia, a ocena
przyjętych założeń modelowych jest możliwa
jedynie poprzez przeprowadzenie
eksperymentu weryfikującego zbudowany
model
-w ogólnym przypadku struktura, a przede
wszystkim w artości parametrów
budowanego modelu są znane z ograniczoną
dokładnością, a ich wyznaczenie wymaga
przeprowadzenia eksperymentu
identyfikacyjnego

-rozwiązanie problemu generacji przebiegu
wejścia opartego na aktualnym stanie wyjścia
i mającego na celu uzyskanie zadanego
przebiegu czasowego wyjścia jest
przedmiotem syntezy sterowania robotów.

Tor ruchu-zbiór punktów -miejsc
geometrycznych, w których ma się znaleźć
efektor z pewną(zadaną lub nie) orientacją w
czasie realizacji operacji.
Parametryzacja toru ruchu w funkcji czasu
prowadzi do określenia trajektorii ruchu
efektora robota(kinematyka).

Zaplanow ana trajektoria determinuje :
-czas realizacji operacji
-wielkość zużytej energii
-jakość realizowanego  procesu
technologicznego
-skuteczność współpracy wielu
manipulatorów i urządzeń przez nie
obsługiwanych
-efektywność  omijania przeszkód.
Wprowadzenie w procedurze planowania
ograniczeń związanych  np. z siłami
napędowymi powoduje, że konieczne jest
uwzględnienie w tej procedurze modelu
dynamicznego manipulatora.
Realizacja ruchu efektora według
zaplanowanej trajektorii (pozycjonowanie lub
śledzenie trajektorii) jest problemem
sterowania ruchem manipulatora.
W praktyce w niektórych  przypadkach fazy
planowania trajektorii i jej śledzenia mogą
przebiegać równocześnie

Zastosowana technika programowania pracy
robota decyduje o stopniu złożoności
algorytmu planow ania trajektorii:
-programowanie przez uczenie
-programowanie bezpośrednie
Punkt trajektorii ruchu może być określony
przez:
-wektor położenia P-wektor orientacji Φ-
wektor prędkości liniowej v-wektor prędkości
kątowej ω-wektor przyspieszenia liniowego a-
wektor przyspieszenia kątowego ε.
Najczęściej zadaje się tylko położenie.
Rzadziej dodatkowo orientację i prędkość
liniową efektora.

Schemat planow ania trajektorii ruchu

Wynikiem procedury planowania trajektorii
jest opis toru ruchu we współrzędnych
złączowych  q(t)lub rzadziej we
współrzędnych  kartezjańskich: P(t), Φ(t),
v(t), ω(t), a(t), ε(t).
Ograniczenia geometryczne określają  :
-miejsca geometryczne punktów toru ruchu
efektora
-lokalizację przeszkód  w przestrzeni roboczej
manipulatora.

Ograniczenia kinematyczne dotyczą:
-przebiegów wartości współrzędnych
wektorów: prędkości, przyspieszenia, dżerku i
wyższych pochodnych przemieszczenia po
czasie.
-parametrów napędów (prędkość i
przyspieszenie)w postaci charakterystyk
zależności prędkości od momentu/siły
napędowej.

Ograniczenia dynamiczne:
-wartości momentów/ sił napędowych
-obciążeń dynamicznych struktury
manipulatora

Stosowane ograniczenia geometryczne  i
kinematyczne  mają charakter warunków:
*ciągłości *różniczkowalności *ograniczeń
ekstremalnych wartości parametrów
trajektorii.

Gwałtowne zmiany wartości parametrów
kinematycznych  odpowiadające
nieróżniczkowalności i nieciągłości ich
przebiegów:
-są przyczynami powstawania drgań
manipulatora
-wpływają na ograniczenie dokładności
operacji
-powodują wydłużenie czasu operacji
-wywołują przyspieszenie zużycia  elementów
i podzespołów.

W przypadku równoczesnego planowania i
śledzenia trajektorii w każdym takcie
sterownia generowana jest korekta
parametrów zaplanowanej trajektorii
Wymaga to dużych mocy obliczeniowych i
dla większości klas operacji wykonywanych
przez manipulatory nie jest konieczne

Najczęściej etap planowania jest
przeprowadzany oddzielnie i poprzedza
śledzenie trajektorii:
-w czasie śledzenia zaplanowane wartości
parametrów trajektorii nie mogą być
aktualizowane
-błędy śledzenia są minimalizowane poprzez
zastosowanie odpowiedniego typu regulatora.

Główna techniczna przeszkoda zastosowania
w praktyce trajektorii kartezjańskich : brak
czujników wyznaczających położenie i
orientację efektora w przestrzeni
kartezjańskiej pracujących niezawodnie w
warunkach przemysłowych.
Śledzenie trajektorii kartezjańskiej wymaga
transformacji parametrów geometrycznych i
kinematycznych
-z przestrzeni współrzędnych złączowych do
przestrzeni kartezjańskiej w celu wyznaczenia
uchybu
-z przestrzeni kartezjańskiej do przestrzeni
współrzędnych złączowych dla wyznaczenia
korekty sterowania.
Jest to postępowanie:
-złożone
-wymagające odpowiedniej mocy
obliczeniowej
-zwykle nieuzasadnione ekonomicznie.
Najczęściej stosowane w praktyce jest
planowanie trajektorii w przestrzeni
współrzędnych złączowych

Do planowania przebiegów współrzędnych
złączowych wykorzystuje się najczęściej
funkcje sklejane :*wielomianowe
*trygonometryczne

Główna zaleta trajektorii złączowych  :
prostota algorytmów planowania i łatwość
śledzenia trajektorii złączowych przez układy
sterowania większości robotów
przemysłowych.  Główna wada trajektorii
złączowych   :brak  koordynacji ruchów
poszczególnych złącz(nieprzewidywalny
przebieg powstałego ze złożenia zbioru
trajektorii złączowych  toru ruchu efektora w
przestrzeni kartezjańskiej)

Ze względu na dużą zmienność
wartości wielomianów
wysokiego stopnia oraz
trudności w wyznaczeniu ich
ekstremów lokalnych nie
stosuje się wielomianów o
stopniu większym
niż7(najczęściej stosowany jest
stopień z zakresu: 3-5).

Bezpieczeństwo ruchu efektora wymaga
użycia, nawet w przypadku pozycjonowania
przynajmniej 4 punktów toru ruchu.

Przykład trajektorii typu 5-5-5-5-5-5-5

Przykład trajektorii 4-3-3-3-3-3-4

Przykład trajektorii trygonometrycznej:

Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń

Szeregowa struktura mechanizmu
manipulatora wskazuje rekursywną postać
algorytmu wyznaczania parametrów
kinematycznych. Algorytm oparty na definicji
prędkości i przyspieszenia oraz na opisie
kinematyki ruchu złożonego. Postać
algorytmu:

Parametry kinematyczne i-tego członu są
wyznaczone kolejno zaczynając od
nieruchomej podstawy robota, dla której
zakłada się ich zerowe wartości:

Dla każdego następnego (i-tego i=1,...,n)
członu: wektor prędkości kątowej członu i-
tego:

wektor prędkości liniowej członu i-tego:

-prędkość, przyspieszenie i-tego złącza

pryzmatycznego (postępowego), nie zerowe
tylko w przypadku złącza pryzmatycznego

-prędkość, przyspieszenie i-tego

złącza obrotowego, niezerowe tylko w
przypadku złącza obrotowego

-wersor i-tej osi ruchu wyrażony w

układzie odniesienia

-wektor o początku w środku i-1

lokalnego układu współrzędnych i końcu w
środku i-tego lokalnego układu
współrzędnych wyrażony w układzie
odniesienia

wektor przyspieszenia kątowego członu i-
tego:

wektor przyspieszenia liniowego członu i-
tego:

Uwaga:
wyznaczane wektory prędkości liniowej i
przyspieszenia liniowego środków lokalnych
układów współrzędnych związanych z i-tym
człon

Zależności różniczkow e Określają
nieskończenie małe (różniczkowe) zmiany
położenia i orientacji efektora odpowiadające
nieskończenie małym zmianom wartości
współrzędnych złączowych
Różnica między przemieszczeniem
skończonym i różniczkowym

Więzy geometryczne, holonomiczne –
kierunek przemieszczenia możliwego δp
styczny do więzów f

Różniczkowa transformacja jednorodna
kdT

Wektor przemieszczenia różniczkowego
wyrażony w układzie k:

Nowe położenie i orientacja efektora:

Zmiana położenia i orientacji:

Macierz różniczkowego przemieszczenia :

Różniczkowa transformacja jednorodna

Wektor przemieszczenia różniczkowego
wyrażony w układzie l:

Nowe położenie i orientacja efektora:

Zmiana położenia i orientacji:

Macierz różniczkowego przemieszczenia:

Strategie planow ania pracy manipulatora
robota przemysłow ego:
-przez opisanie ruchów we wszystkich
złączach
-przez opisanie ruchu efektora w przestrzeni
kartezjańskiej
-przez opisanie operacji
-przez opisanie zadania

Opisanie ruchów we wszystkich złączach:
-pozycjonowanie lub śledzenie toru ruchu we
współrzędnych
złączowych
-programowanie pracy przez uczenie
-sterowanie lokalne –uchyb regulacji
wyznaczany dla każdej
współrzędnej złączowej osobno

opisanie ruchu efektora w przestrzeni
kartezjańskiej:

-programowanie pracy bezpośrednie w
przestrzeni kartezjańskiej
-śledzenie toru ruchu we współrzędnych
kartezjańskich
-sterowanie kartezjańskie –uchyb regulacji
wyznaczany obliczeniowo w przestrzeni
kartezjańskiej –konieczna jest w każdym
takcie sterowania transformacja z przestrzeni
współrzędnych
złączowych do przestrzeni kartezjańskiej i
odwrotnie

Transformacji podlegają pary:
-pozycja efektora –współrzędne złączowe
-wektory prędkości i przyspieszeń –prędkości
ruchów w złączach
-siły/ momenty sił oddziaływania efektora na
otoczenie – siły/momenty sił napędowych

Zależności różniczkowe pozwalają opisać
transformację prędkości, przyspieszeń w
oparciu o macierz jakobianu manipulatora

Różniczkowanie modelu geometrycznego
(funkcje trygonometryczne) jest uciążliwe

Macierz jakobianu manipulatora

l-określa numer układu współrzędnych
definiujących orientację osi, na które
rzutowane są składowe wektorów prędkości
członów manipulatora lub efektora m-określa
numer układu współrzędnych, dla którego
środka wektory prędkości i przyspieszenia są
wyznaczane poprzez przemnożenie macierzy
jakobianu przez wektor prędkości złączowych

W praktyce najczęściej wykorzystuje się dwa
rodzaje macierzy jakobianu manipulatora:

-gdy wektory prędkości są rzutowane na

kierunki osi układu odniesienia (0), macierz
ta pozwala wyznaczyć wartości
współrzędnych wektorów prędkości
kartezjańskich efektora na podstawie
zadanych wartości prędkości złączowych (e-
to nr lokalnego układu współrzędnych
związanego z efektorem)

– gdy wektory prędkości są rzutowane na

osie równoległe do osi układu związanego z
efektorem, macierz ta służy do określenia
wartości prędkości złączowych
odpowiadających ruchowi efektora w pewnym
kierunku z zadaną prędkością

-Elementy macierzy jakobianu manipulatora
zależą w sposób nieliniowy (funkcje
trygonometryczne) od współrzędnych
złączowych qi i w czasie ruchu manipulatora
zmieniają wartości.
-wiersze macierzy jakobianu są
współczynnikami kombinacji liniowej
prędkości złączowych tworzącymi dany
składnik wektora prędkości kartezjańskiej
-kolumny macierzy jakobianu określają
wektory prędkości liniowej i kątowej dla
ruchu pojedynczego złącza z jednostkową
prędkością.

Wyznaczenie macierzy jakobianu

manipulatora poprzez operacje algebraiczne
na podstawie zależności różniczkowych

Zmiana pozycji efektora jest superpozycją
zmian położeń wzajemnych par członów w
każdym złączu. Jeśli ruch zachodzi w złączu i

to równoważna zmiana pozycji efektora może
być wyznaczona jako:

Wyznaczenie macierzy jakobianu

manipulatora:

Wektory przemieszczeń różniczkowych
(prędkości) maja być wyrażone w układzie
odniesienia (0)

Orientacja układu odniesienia, w którym
zachodzi przemieszczenie różniczkowe , w
układzie i-tym

Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy 0Ti-1:

Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora

Odwracanie macierzy jakobianu
manipulatora i analiza osobliw ości
Wyznaczanie wektora prędkości złączowych
DANE:
T e określające położenie i orientację efektora
w PR
Wartości składowych wektora prędkości
efektora

SZUKANE
Wektor prędkości złączowych q

CEL
Sterowanie prędkością ruchu efektora
(poruszyć efektor w zadanym kierunku z
zadaną prędkością)

Metody wyznaczania wektorów prędkości
złączowych na podstawie wektorów prędkości
kartezjańskich

1. Odwracanie numeryczne  macierzy
Jakobianu
-wynik ważny tylko dla rozważanej
konfiguracji
-brak wyniku w osobliwościach lokalnych,
błędy numeryczne w ich otoczeniu
2. Różniczkowanie zadania odwrotnego
kinematyki prowadzi do wyznaczenia
prędkości złączowych  bez formułowania
macierzy jakobianu
3. Wykorzystanie zależności różniczkowych
Wyznaczenie na podstawie De wektorów
przemieszczenia różniczkowego  D1,..,De-1z
zależności różniczkowych  iDiTe= iTeeD przy
uwzględnieniu ruchliwości złącz, macierz
jakobianu nie jest formułowana
4. Wyznaczanie analityczne –symboliczne

Odwracanie macierzy jakobianu
manipulatora

W przypadku manipulatora o 6 DOMi 6 DOF
macierz Jakobianu manipulatora jest
kwadratowa i daje się odwrócić we
wszystkich pozycja chz wyjątkiem pozycji
osobliwych (detJ=0)

Lokalna osobliwość macierzy Jakobianu
manipulatora:
-z matematycznego punktu widzenia –liniowa
zależność wierszy Moc serdeczności acierzy
Jakobianu
-z fizycznego punktu widzenia –istnienie
przynajmniej jednego kierunku, w którym nie
można przemieścić efektora bez względu na
zadane wartości prędkości złączowych

Macierz jakobianu manipulatora obniża rząd.
Efektor może być przemieszczony tylko w
kierunku prostopadłym do obu członów

W okolicy q2=0, nawet jeśli macierz
Jakobianu nie jest osobliwa, przy odwracaniu
mogą wystąpić błędy numeryczne
Przypadki zależne od ruchliwości
manipulatora
DOM=DOF=6Odwrócenie symetrycznej
macierzy jakobianu manipulatora poza
lokalnymi pozycjami osobliwymi jest
możliwe
DOM>DOF=1,2,...Manipulatory nadmiarowe
wyznaczenie macierzy pseudo
odwrotnej(najlepsze –optymalne rozwiązanie
w sensie kryterium błędu
średniokwadratowego):

DOM=DOF<6
W przypadku manipulatorów nie
nadmiarowych:
-należy sformułować równania więzów
kinematycznych
-rozwiązanie układu równań prowadzi do
warunków więzów kinematycznych
-skreślić zależne wiersze macierzy jakobianu
-odwrócić kwadratową macierz jakobianu
manipulatora

Problem stanowi określenie, które ze
składowych wektorów prędkości
kartezjańskich są zależne i w jaki sposób od
siebie zależą .Warunki wzajemnej zależności
składowych wektorów prędkości vi ω są
nazywane warunkami więzów
kinematycznych .

Manipulator SCARA

Rząd macierzy jakobianu manipulatora 4.
Przynajmniej 2 składowe (6-4=2)
kartezjańskich wektorów prędkości są zależne
od pozostałych ich składowych
Z matematycznego punktu widzenia
przynajmniej 2 wiersze macierzy
4J4sąliniowo zależne od pozostałych.
Z fizycznego punktu widzenia realizacja
zaplanowanej operacji:
- nadanie położenia efektorowi
-następnie nadanie efektorowi orientacji
Poszukujemy 2 zależnych składowych
wektora prędkości kątowej ω.

Osobliw ość konfiguracji efektora oznacza:
-utratę ruchliwości (nie można poruszyć
efektora w kierunku osi podłużnej członów 1
i 2)
-utratę sterowalności(nie można sterować
prędkością ruchu efektora, składowa
prędkości w kierunku osi podłużnej członów
1 i 2 manipulatora jest zerowa dla dowolnie
dużych wartości prędkości złączowych).

Zerowanie się wyznacznika macierzy
jakobianu manipulatora nie zawsze oznacza
osiągnięcie przez jego efektor pozycji
osobliwej(przykład manipulatora PPPRR).
*Może ono wystąpić również jako skutek
ograniczonej ruchliwości łańcucha
kinematycznego mechanizmu manipulatora do
wartości mniejszej niż6, która odpowiada
ilościom stopni swobody bryły swobodnej w
przestrzeni trójwymiarowej.

Osobliw ości pozycji efektora :
Warunek konieczny  : zerowanie się
wyznacznika macierzy jakobianu
manipulatora.
Własności pozycji osobliwej
-utrata ruchliwości –nie można poruszyć
efektora w pewnym  kierunku
-utrata sterowalności –bez względu na
wartości prędkości złączowych prędkość
kartezjańska w danym kierunku jest zerowa
-rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki
jest nieoznaczone –nieskończona ilość
rozwiązań.
Rodzaje osobliwości pozycji
-Wewnątrz przestrzeni roboczej – trudniej
wyznaczyć,  utrudniają śledzenie toru ruchu
-Na granicy przestrzeni roboczej – łatwiej
wyznaczyć,  rzadko osiągane przez efektor

Transformacja obciążeń statycznych
Realizacja niektórych operacji wymaga
kontaktu efektora z przedmiotami
znajdującymi się w przestrzeni roboczej.
Stan obciążenia manipulatora w takim
przypadku odpowiada (lub prawie odpowiada)
równowadze statycznej. Realizacja sterowania
manipulatorem wymaga opisu transformacji
sił i momentów sił wzdłuż manipulatora
robota, poszukiwany jest ekwiwalentny
wektor sił Reprezentacja sił uogólnionych
działających na manipulator w układzie l:

Wektor przemieszczenia różniczkowego
efektora w układzie l:

Porównanie prac przygotowanych wektorów
sił uogólnionych  na przemieszczeniach
przygotowanych (różniczkowych)  w układach
współrzędnych  ki l

Uwzględniając zależności różniczkowe
między wektorami przemieszczeń
różniczkowych :

D i

Transformacja wektora sił od efektora do
złącz:
Wektor sił napędowych:

Wektor przemieszczeń złączowych
przygotowanych:

W stanie równowagi:

*Momenty siły transformują się jak prędkości
liniowe
*Siły transformują się jak prędkości kątowe

Dla zadanego wektora eF nie zawsze istnieje
wektor qF. W kierunkach, w których
manipulator nie może nadać efektorowi
prędkości (liniowej lub obrotowej)
siły/momenty napędowe nie mogą
zrównoważyć siły/momentu zewnętrznego –
przenosi je struktura manipulatora.
W tych kierunkach efektor nie może też
działać siłą/momentem siły.

Do wyznaczenia układu dynamicznych równań ruchu
zostanie wykorzystana następująca
postać równań Lagrange’a II rodzaju:

gdzie: L -Ek-Ep - potencjał kinetyczny
Ek - energia kinetyczna
Ep - energia potencjalna
qj - współrzędna uogólniona
Qi – siła uogólniona.
Równania dynamiczne ruchu manipulatora
rozpatrywanego jako zbiór brył sztywnych
stanowi układ równań różniczkowych zwyczajnych,
który można zapisać w postaci
macierzowej jako:

gdzie:
Q - wektor sił uogólnionych
D - macierz bezwładności
H - wektor nieliniowych sprzężeń bezwładnościowych
C - wektor sił/momentów sił od sił ciężkości
q - wektor współrzędnych uogólnionych
t - czas
Główną konsekwencją nieliniowości modelu
dynamicznego jest, poza prostymi przypadkami,
niemożność analitycznego rozwiązania tego układu
równań różniczkowych. W takim przypadku
wykorzystuje się metody numeryczne.
Model dynamiczny może być wykorzystany na dwa
sposoby.
ZADANIE PROSTE
W pierwszym z nich dane są przebiegi czasowe sił
napędowych a poszukuje się przebiegów czasowych
współrzędnych złączowych. Tak sformułowane
zagadnienie jest nazywane prostym zadaniem
dynamiki i wymaga rozwiązania układu równań
różniczkowych zwyczajnych.
ZADANIE ODWROTNE
W drugim dane są przebiegi czasowe współrzędnych
złączowych a poszukuje się odpowiadających im
przebiegów czasowych sił napędowych. Zagadnienie
to nazywa się zadaniem odwrotnym dynamiki i
stanowi problem algebraiczny, który można w
zależności od potrzeb rozwiązać zarówno analitycznie
(symbolicznie) jak i numerycznie. Skomplikowana
postać układu dynamicznych równań ruchu, nawet dla
mało złożonych struktur manipulatorów oraz
wymagania niektórych metod całkowania równań
różniczkowych, powodują, że często dla celów
przeprowadzenia symulacji numerycznej układ ten
przedstawia się w postaci równań stanu. W przypadku
n złącz układ n równań 2 rzędu przekształca się do
układu 2n równań pierwszego rzędu. Procedurę
przekształcenia rozpoczyna przedstawienie zależności
(2) w postaci:

Przyjęcie następującego nowego zestawu
współrzędnych (określenie wektora stanu

pozwala wyznaczyć równania dynamiczne ruchu
manipulatora w postaci równań stanu:

W przypadku n złącz macierz A ma wymiar 2nx2n i
jest postaci:

macierz B ma wymiar 2nxn i jest postaci:

przy czym macierz 0n jest macierzą zerową a macierz
In macierzą jednostkową o wymiarze nxn.

Wyznaczenie macierzy jakobianu

manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstaw ie zależności
różniczkow ych

1) Obrót wokół osi z o kat teta

2) Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

3) Przemieszczenie wzdłuż osi x

o a

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

manipulatora:
Wektory przemieszczeń różniczkowych
(prędkości) maja być wyrażone w układzie
odniesienia (0)
Orientacja układu odniesienia, w którym
zachodzi przemieszczenie różniczkowe, w
układzie i-tym

Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy

- 1

Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

2) Przemieszczenie wzdłuż osi x

a i + 1

Obrót wokół osi z

o kąt θ

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstaw ie zależności
różniczkow ych

1) Obrót wokół osi z o kat teta

2) Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

3) Przemieszczenie wzdłuż osi x

o a

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy

- 1

Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

2) Przemieszczenie wzdłuż osi x

a i + 1

Obrót wokół osi z

o kąt θ

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstawie zależności
różniczkowych

1) Obrót wokół osi z o kat teta

2) Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

3) Przemieszczenie wzdłuż osi x

o a

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy

- 1

Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

2) Przemieszczenie wzdłuż osi x

a i+ 1

Obrót wokół osi z

o kąt θ

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstaw ie zależności
różniczkow ych

1) Obrót wokół osi z o kat teta

2) Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

3) Przemieszczenie wzdłuż osi x

o a

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy

- 1

Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

2) Przemieszczenie wzdłuż osi x

a i + 1

Obrót wokół osi z

o kąt θ

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

manipulatora poprzez operacje
algebraiczne na podstawie zależności
różniczkowych

1) Obrót wokół osi z o kat teta

2) Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

3) Przemieszczenie wzdłuż osi x

o a

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1

Wyznaczenie macierzy jakobianu

Wprowadzenie orientacji układu odniesienia
(0) w układzie i-tym do macierzy

- 1

Wykorzystanie zależności różniczkowych
pozwala wyznaczyć kolumnę macierzy
jakobianu manipulatora
1)Przemieszczenie wzdłuż osi z

o d

i + 1

2) Przemieszczenie wzdłuż osi x

a i+ 1

Obrót wokół osi z

o kąt θ

i + 1

4) Obrót wokół osi x

o kąt α

i + 1