Matematyka A, kolokwium dodatkowe, 23 kwietnia 2007, 16:15 – 17:35

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Obliczy´c

R

x

3

√

1 + 4x

2

+ x cos(x

2

)

dx .

2. Obliczy´c

R

π/2

0

cos t sin t

cos 2t+5

dt.

3. Obliczy´c ´srodek cie

,

˙zko´sci jednorodnego obszaru, kt´ory jest ograniczony wykresami funkcji

f (x) = cos

πx

2

i

g(x) = x

2

− 1 .

4. Obliczy´c obje

,

to´s´c bry ly powsta lej w wyniku obrotu p´o lokre

,

gu

(x, y):

(x−10)

2

+y

2

= 4 i 0 ≤ y

,

wok´o l osi OY .

5. Znale´z´c d lugo´s´c wykresu funkcji y = ln(cos x), gdzie 0 ≤ x ≤

π

4

.

6. Znale´z´c wszystkie takie funkcje x: R −→ R , ˙ze tx

0

(t) + 2x(t) = 0 i x(1) = 1 .