Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis
1
Zad. 4
MC
L
= MC
N
= 10 => TC = 10q
Q = 1000 – 20p
P = 50 – 1/20Q
Q = q
L
+ q
N
Model Stackelberga:
Tworzymy funkcję zysku naśladowcy:
Π
N
= (50 – 1/20(q
L
+ q
N
))q
N
– 10q
N
Π
N
= 50q
N
– 1/20q
L
q
N
– 1/20q
N
2
– 10q
N
∂
Π
N
/
∂
q
N
= 40 – 1/20q
L
– 1/10q
N
Przyrównując pochodną cząstkową do 0, a następnie wyznaczając q
N
znajdujemy funkcję reakcji naśladowcy:
40 – 1/20q
L
– 1/10q
N
= 0
q
N
= 400 – 1/2 q
L
=> q
N
= 200
Tworzymy funkcję zysku lidera:
Π
L
= (50 – 1/20(q
L
+ q
N
))q
L
– 10q
L
Π
L
= 50q
L
– 1/20q
L
q
N
– 1/20q
L
2
– 10q
L
W miejsce q
N
wstawiamy funkcję reakcji naśladowcy:
Π
L
= 40q
L
– 1/20q
L
(400 – 1/2q
L
) – 1/20q
L
2
Π
L
= 20q
L
– 1/40q
L
2
∂
Π
L
/
∂
q
L
= 20 – 1/20 q
L
20- 1/20 q
L
= 0
q
L
= 400
q
N
= 200
Odp. q
L
= 400
Model Cournota:
Tworzymy funkcje zysku obu firm:
Π
1
= 40q
1
– 1/20q
1
q
2
– 1/20q
1
2
Π
2
= 40q
2
– 1/20q
1
q
2
– 1/20q
2
2
∂
Π
1
/
∂
q
1
= 40 – 1/10q
1
– 1/20q
2
∂
Π
1
/
∂
q
1
= 40 – 1/10q
2
– 1/20q
1
Przyrównujemy obie pochodne do 0:
40 – 1/10q
1
– 1/20q
2
= 0
40 – 1/10q
2
– 1/20q
1
= 0
2q
1
+ q
2
= 800
q
1
+ 2q
2
= 800
q
1
= 266,(6)
q
2
= 266, (6)
Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis
2
Zad. 6
W modelu Stackelberga: Π
L
= 4000
W modelu Cournota: Π = 3555,(5)
Odp. W równowadze Stackelbera przywódca ilościowy osiąga większy zysk niŜ w
równowadze Cournota.
Zad.13
AC= 10 => TC = 10q
P = 110 – 5q
Tworzymy funkcję zysku naśladowcy:
Π
2
= (110 – 5(q
1
+ q
2
))q
2
– 10q
2
Π
2
= 110q
2
– 5q
2
2
– 5q
1
q
2
– 10q
2
Π
2
= 100q
2
– 5q
2
2
– 5q
1
q
2
∂
Π
2
/
∂
q
2
= 100 – 10q
2
– 5q
1
Przyrównując pochodną cząstkową do 0, a następnie wyznaczając q
2
znajdujemy funkcję reakcji naśladowcy:
100 – 10q
2
– 5q
1
= 0
q
2
= 10 – ½ q
1
=> q
2
= 5
Tworzymy funkcję zysku lidera:
Π
1
= (110 – 5(q
1
+ q
2
))q
1
– 10q
1
Π
1
= 110q
1
– 5q
1
2
– 5q
1
q
2
– 10q
1
W miejsce q
2
wstawiamy funkcję reakcji naśladowcy:
Π
1
= 100q
1
– 5q
1
2
– 5q
1
(10 – ½ q
1
)
Π
1
= 100q
1
– 5q
1
2
– 50q
1
+ 5/2 q
1
2
∂
Π
2
/
∂
q
2
= 50 – 5q
1
50 – 5q
1
= 0
q
1
= 10
Odp. Firma 2 wyprodukuje 5.
Zad. 5
MC
1
= 4
MC
2
= 0,1q
2
Q = 1000 – 10p
Tworzymy funkcję zysku lidera:
Π
1
= (1000 – 10p – q
N
)p – 4(1000 – 10p – q
N
)
Π
1
= (p – 4) (1000 – 10p – q
N
)
Naśladowca sprzedaje swój towar po cenie równej kosztowi krańcowemu:
MC
2
= p
p = 0,1 q
n
q
N
= 10p
Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis
3
Π
1
= (p – 4) (1000 – 10p – 10p)
Π
1
= (p – 4) (1000 – 20p)
Π
1
= 1000p – 20p
2
– 4000 – 80p
Liczymy pochodną cząstkową i przyrównujemy ją do 0, aby znaleźć cenę maksymalizującą zysk:
∂
Π
1
/
∂
p = 1000 – 40p - 80
1000 – 40p – 80 = 0
40p = 1080
p = 27
Odp. P =27.
Zad. 16
P = 200 – Q Q = q
D
+ Q
N
,Q
N
- produkcja 100 małych firm
q
N
- produkcja 1 małej firmy
MC
N
= 50q + 1
MC
D
= q – 15
TC
D
= 1/2q
2
– 15q
Tworzymy funkcję zysku firmy dominującej:
Π
D
= (200 – p – q
N
)p – ½(200 – p – q
N
)
2
– 15(200 – p – q
N
)
Π
D
= (200 – p – q
N
)(p - ½(200 – p – q
N
) – 15)
Π
D
= (200 – p – q
N
)(p – 100 + 1/2q
N
– 115)
Naśladowca sprzedaje swój towar po cenie równej kosztowi krańcowemu:
P=MC
N
P= 50q
N
+ 1
Q
N
= (p – 1)/50*100
(poniewaŜ na rynku znajduje się 100 małych firm)
Q
N
= 2p – 2
Π
D
= (200 – p – q
N
)(p – 100 + 1/2q
N
– 115)
Π
D
= (202 – 3p)(5/2p – 116)
∂
Π
D
/
∂
p = 853 – 15p
853 – 15p = 0
p = 57
P = 200 – (q
D
+ q
N
)
57 = 200 – q
D
– 112
Q
D
= 31
Π
D
= 821,5
Odp. Q
D
= 31, Π
D
= 821,5 , p = 57
Zad. 17
p = 1 – Q
MC = c => TC = cq
Tworzymy funkcje zysków poszczególnych firm:
Π
L
= (1 – (q
1
+ q
2
+ q
3
))q
1
– cq
1
Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis
4
Π
2
= (1 – (q
1
+ q
2
+ q
3
))q
2
– cq
2
Π
3
= (1 – (q
1
+ q
2
+ q
3
))q
3
– cq
3
∂
Π
2
/
∂
q
2
= 1 – 2q
2
– q
1
– q
3
- c
1 – 2q
2
– q
1
– q
3
– c = 0
ZauwaŜamy, Ŝe firmy działające w modelu Cournot`a mają taką samą wielkość produkcji q
2
= q
3
1 – 2q
2
– q
1
– q
2
– c = 0
q
2
= (1 – q
1
– c)/3 = q
3
→
funkcja reakcji firmy 2 i 3
Funkcję reakcji firmy 2 i 3 wstawiamy do funkcji zysku lidera
Π
L
= (1 – (q
1
+ ((2- 2q
1
– 2c)/3))q
1
– cq
1
Π
L
= q
1
– q
1
2
– (2q
1
– 2q
1
2
– 2cq
1
)/3 – cq
1
Π
L
= -q
1
2
+ q
1
+ cq
1
∂
Π
1
/
∂
q
1
= -2q
1
+ 1 + c
-2q
1
+ 1 - c = 0
q
1
= (1-c)/2
q
2
= q
3
= (1-c)/6
Odp. q
1
= (1-c)/2, q
2
= q
3
= (1-c)/6
Zad. 5.4.14.
TC
1
= 4q
1
2
TC
2
= q
2
2
P = 140 – 2Q Q = q
1
+ q
2
Wyznaczamy jedną funkcję zysku dla obu firm:
Π = (140 – 2(q
1
+ q
2
))( q
1
+ q
2
) – 4q
1
2
– q
2
2
Π = 140q
1
+ 140q
2
– 2q
1
2
– 2q
1
q
2
– 2q
1
q
2
– 2q
2
2
– 4q
1
2
– q
2
2
Π = 140q
1
+ 140q
2
– 6q
1
2
– 3q
2
2
– 4q
1
q
2
Obliczamy pochodne cząstkowe i przyrównujemy je do 0, aby znaleźć wartości maksymalizujące produkcję:
∂
Π/
∂
q
1
= 140 – 12q
1
– 4q
2
∂
Π/
∂
q
2
= 140 – 6q
2
– 4q
1
140 – 12q
1
– 4q
2
= 0
140 – 6q
2
– 4q
1
= 0
4q
1
+ 6q
2
= 140
12q
1
+ 4q
2
= 140
q
1
= 5
q
2
= 20
p = 140 – 50 = 90
Odp. q
1
= 5, q
2
= 20, p = 90
Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis
5
Zad. 5.4.17.
TC
1
= 1,5q
1
2
=> MC
1
= 3q
1
TC
2
= 2q
2
2
=> MC
2
= 4q
2
p
1
= 8 – 5q
1
– q
2
p
2
= 7
– q
1
– 2q
2
Sumujemy obie funkcje popytu:
P = 15 – 6q
1
– 3q
2
Obliczamy całkowity łączny przychód obu firm:
TR = (15 – 6q
1
– 3q
2
)(q
1
+ q
2
)
TR = 15q
1
+ 15q
2
-6q
1
2
– 9q
1
q
2
– 3q
2
2
MR
1
= 15 – 12q
1
– 9q
2
MR
2
= 15 – 9q
1
– 6q
2
Przyrównujemy koszty krańcowe z krańcowymi przychodami, aby znaleźć optymalny poziom produkcji:
MC
1
= MR
1
MC
2
= MR
2
15 – 12q
1
– 9q
2
= 3q
1
15 – 9q
1
– 6q
2
= 4q
2
q
2
= 30/23
q
1
= 5/23
p
1
= 5,6
p
2
= 4,2
Odp. q
1
= 5/23; p
1
= 5,6; q
2
= 30/23; p
2
= 4,2