METODY NUMERYCZNE
Wykład 1
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA
Wykład opracowano na podstawie podręcznika:
Steven C. Chapra, Raymond P. Canale “Numerical methods for engineers”
McGraw-Hill Book Company 1998.
METODY NUMERYCZNE
Wykład 1
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA
Wykład opracowano na podstawie podręcznika:
Steven C. Chapra, Raymond P. Canale “Numerical methods for engineers”
McGraw-Hill Book Company 1998.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
2
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
8
y
a)
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
8
y
b)
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
8
y
c)
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
8
y
d)
a) przykładowe
wyniki pomiarów
b) interpolacja
liniowa
c) interpolacja
krzywoliniowa
d) aproksymacja
liniowa
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
3
INTERPOLACJA LINIOWA
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
8
y
0
x
0
x
1
x
0
x
y
0
f
1
(x)
y
1
( )
1
0
1
0
0
1
0
f x
y
y
y
x x
x
x
−
−
=
−
−
( )
1
0
1
0
0
1
0
(
)
y
y
f x
y
x x
x
x
−
=
+
−
−
(1.1)
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
4
• Przykład 1.1
Wyznaczyć przybliżoną wartość ln 2 wykorzystując interpolację liniową.
Znamy wartość ln 2 = 0.69314718
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
5
a) Interpolacja przy wykorzystaniu punktów x
0
= 0 oraz x
1
= 6
ln1 0,
ln 6 1.7917595
=
=
Wykorzystując wzór (1.1):
( )
1
1.7917595 0
2
0
(2 1) 0.35835190
6 1
f
−
= +
− =
−
Błąd obliczeń:
0.69314718 0.35835190
100 48.3%
0.69314718
−
×
=
b) Interpolacja przy wykorzystaniu punktów x
0
= 0 oraz x
1
= 4
( )
1
1.3862944 0
2
0
(2 1) 0.46209813
4 1
f
−
= +
− =
−
Błąd obliczeń:
0.69314718 0.46209813
100 33.3%
0.69314718
−
×
=
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
6
INTERPOLACJA PARABOLICZNA
Dowolną krzywą zastępujemy parabolą (wielomianem drugiego stopnia) łączącą
trzy punkty.
( )
2
0
1
0
2
0
1
(
)
(
)(
)
f x
b
b x x
b x x
x x
= +
−
+
−
−
(1.2)
( )
2
2
0
1
1 0
2
2 0 1
2
0
2
1
f x
b
b x b x
b x
b x x
b xx
b xx
= +
−
+
+
−
−
lub
( )
2
2
0
1
2
f x
a
a x a x
=
+
+
gdzie
0
0
1 0
2 0 1
a
b
b x
b x x
= −
+
1
1
2 0
2 1
a
b b x
b x
= −
−
2
2
a
b
=
Wyznaczenie parametrów
0
1
2
,
,
b b b :
Podstawiając do (1.2)
0
x x
= otrzymamy
0
0
( )
b
f x
=
(1.3)
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
7
Podstawiając do (1.2)
1
x x
= otrzymamy
1
0
1
1
0
( )
( )
f x
f x
b
x
x
−
=
−
(1.4)
Wykorzystując policzone parametry i podstawiając
2
x x
= otrzymamy
1
0
2
1
2
1
1
0
2
2
0
( )
( )
( )
( )
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
b
x
x
−
−
−
−
−
=
−
(1.5)
Interpretacja poszczególnych parametrów:
0
b – prosta pozioma
1
b – nachylenie prostej łączącej punkty
0
x i
1
x
2
b – dodatek nieliniowy (paraboliczny)
2
0
1
(
)(
)
b x x
x x
−
−
Zwróćmy uwagę, że wzór (1.2) jest podobny do rozwinięcia w szereg Taylora.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
8
• Przykład 1.2
Wyznaczyć przybliżoną wartość logarytmu z 2 wykorzystując interpolację
paraboliczną (kwadratową). Dane są trzy punkty:
0
0
1,
( ) 0
x
f x
=
=
1
1
4,
( ) 1.3862944
x
f x
=
=
2
2
6,
( ) 1.7917595
x
f x
=
=
Rozwiązanie:
Ze wzoru (1.3):
0
0
b
=
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
9
Ze wzoru (1.4):
1
0
1
1
0
( )
( ) 1.3862944 0
0.46209813
4 1
f x
f x
b
x
x
−
−
=
=
=
−
−
Ze wzoru (1.5):
1
0
2
1
2
1
1
0
2
2
0
( )
( )
( )
( )
1.7917595 1.3862944 1.3862944 0
6 4
4 1
0.051973116
6 1
f x
f x
f x
f x
x
x
x
x
b
x
x
−
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
=
= −
−
Wstawiając obliczone parametry do (1.2) otrzymamy
( )
2
0 0.46209813(
1) 0.051873116(
1)(
4)
f x
x
x
x
= +
− −
−
−
Podstawiając x =2 mamy
( )
2
2
0.56584436
f
=
Błąd obliczeń:
0.69314718 0.56584436
100 18.4%
0.69314718
−
×
=
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
10
INTERPOLACJA WIELOMIANEM (Newtona)
Interpolacja wielomianem n-tego stopnia (do jego określenia potrzebne jest n+1
współrzędnych punktów):
( )
0
1
0
0
1
1
(
) ...
(
)(
)...(
)
n
n
n
f x
b
b x x
b x x
x x
x x
−
= +
−
+
+
−
−
−
(1.6)
Wyznaczenie parametrów
0
1
, , ...
n
b b
b
+
0
0
( )
b
f x
=
(1.7)
1
1
0
[ ,
]
b
f x x
=
(1.8)
2
2
1
0
[ , ,
]
b
f x x x
=
(1.9)
. . .
1
1
0
[ ,
, ... , ,
]
n
n
n
b
f x x
x x
−
=
(1.10)
gdzie
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
11
( )
( )
[ ,
]
i
j
i
j
i
j
f x
f x
f x x
x
x
−
=
−
(1.11)
[ ,
]
[ ,
]
[ ,
, ]
i
j
j
k
i
j
k
i
k
f x x
f x x
f x x x
x
x
−
=
−
(1.12)
oraz ostatni parametr
1
1
1
2
0
1
1
0
0
[ ,
,..., ]
[
,
,..., ]
[ ,
, ... , ,
]
n
n
n
n
n
n
n
f x x
x
f x
x
x
f x x
x x
x
x
−
−
−
−
−
=
−
(1.13)
Wielomian interpolacyjny – wzór ogólny
( )
0
0
1
0
0
1
2
1
0
0
1
1
1
0
( ) (
) [ , ] (
)(
) [ , , ]
... (
)(
)...(
) [ ,
,..., ]
n
n
n
n
f x
f x
x x f x x
x x
x x f x x x
x x
x x
x x
f x x
x
−
−
=
+ −
+
−
−
+
+ −
−
−
(1.14)
Zauważmy, że współrzędne punktów nie muszą być w żaden sposób
uporządkowane (np. rosnąco). Ponadto otrzymaliśmy pewien ciąg rekurencyjny
(wielomiany wyższego stopnia są określone przez stopnie niższe), który ułatwia
oprogramowanie.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
12
Schemat obliczania wielomianów interpolacyjnych stopnia od 1 do 3
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
1
1
2
1
3
2
1
2
2
3
2
3
3
( )
1
2
3
0
( )
[ , ]
[ , , ]
[ , , , ]
1
( )
[ , ]
[ , , ]
2
( )
[ , ]
3
( )
o
o
o
i
i
i
x
f x
x
f x
f x x
f x x x
f x x x x
x
f x
f x x
f x x x
x
f x
f x x
x
f x
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
13
• Przykład 1.3
Wyznaczyć przybliżoną wartość logarytmu z 2 wykorzystując interpolację
wielomianem trzeciego stopnia. Oprócz trzy poprzednich punktów, dany jest
kolejny:
0
0
1,
( ) 0
x
f x
=
=
1
1
4,
( ) 1.3862944
x
f x
=
=
2
2
6,
( ) 1.7917595
x
f x
=
=
3
3
5,
( ) 1.6094379
x
f x
=
=
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
14
Rozwiązanie:
Wzór interpolacyjny (wielomian 3-go stopnia):
( )
3
0
1
0
2
0
1
3
0
1
2
(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
f x
b
b x x
b x x
x x
b x x
x x x x
= +
−
+
−
−
+
−
−
−
Wykorzystujemy wzór (1.11)
1
0
1.3862944 0
[ ,
]
0.46209813
4 1
f x x
−
=
=
−
2
1
1.7917595 1.3862944
[ , ]
0.20273255
6 4
f x x
−
=
=
−
3
2
1.6094379 1.7917595
[ ,
]
0.18232160
5 6
f x x
−
=
=
−
nastepnie (1.12)
2
1
0
0.20273255 0.46209813
[ , , ]
0.051873116
6 1
f x x x
−
=
= −
−
3
2
1
0.18232160 0.20273255
[ ,
, ]
0.020410950
5 4
f x x x
−
=
= −
−
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
15
oraz ostatni parametr
3
2
1
0
0.020410950 ( 0.051873116)
[ ,
, ,
]
0.0078655415
5 1
f x x x x
−
− −
=
=
−
Ostatecznie funkcja interpolacyjna
( )
3
0 0.46209813(
1) 0.051873116(
1)(
4)
0.0078655415(
1)(
4)(
6)
f x
x
x
x
x
x
x
= +
− −
−
−
+
−
−
−
Możemy wyznaczyć ln w punkcie 2
( )
3
2
0.62876869
f
=
Błąd obliczeń wyniesie 9.3%.
Podsumowanie: interpolacja polegała na sformułowaniu równania, które
będzie przechodzić przez wszystkie znane punkty. Jeżeli dane (punkty)
wyznaczone są z błędami (a takimi zazwyczaj są dane pomiarowe) takie
postępowanie prowadzi do sfałszowania obrazu.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
16
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
f (x)
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
8
f (x)
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
8
f (x)
Zbiór siedmiu punktów oraz interpolacja wielomianem (6 stopnia) oraz
aproksymacja prostą
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
17
APROKSYMACJA – REGRESJA LINIOWA
Chcemy narysować prostą, która ma jak najlepiej odwzorować dany zbiór
punktów (obserwacji).
Przyjmujemy równanie prostej:
0
1
y a
a x e
=
+
+ (1.15)
gdzie e jest błędem pomiędzy przyjętym
równaniem prostej a danym punktem.
W celu dopasowania jak najlepszego
równani (współczynniki
0
a i
1
a ) będziemy
minimalizowali sumę błędów
e.
Możemy to zrobić następująco:
0
1
1
1
(
)
n
n
i
i
i
i
i
e
y
a
a x
=
=
=
− −
∑ ∑
gdzie n jest liczbą punktów.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
18
Rysunek obok wyjaśnia dlaczego tego typu wybór będzie jednak błędny. Linia
czerwona (przechodząca przez punkt środkowy) także spełnia minimum.
Inna możliwość:
0
1
1
1
n
n
i
i
i
i
i
e
y
a
a x
=
=
=
− −
∑
∑
Powyższe równanie także jest niewłaściwe (rysunek), gdyż wszystkie proste
pomiędzy prostymi przerywanymi obarczone są takim samym błędem.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
19
Kolejna możliwość to tzw.
kryterium minimax, które minimalizuje największe
odległości pomiędzy punktami. Wpływ punktów o dużych błędach jest
niewłaściwy.
Najwłaściwszym kryterium jest minimalizacja sumy kwadratów błędów
(metoda najmniejszych kwadratów):
(
)
2
2
0
1
1
1
n
n
r
i
i
i
i
i
S
e
y
a
a x
=
=
=
=
− −
∑
∑
(1.16)
W tym celu należy obliczyć odpowiednie pochodne
(
)
0
1
1
0
2
n
r
i
i
i
S
y
a
a x
a
=
∂
= −
− −
∂
∑
(
)
0
1
1
1
2
n
r
i
i
i
i
S
y
a
a x x
a
=
∂
⎡
⎤
= −
− −
⎣
⎦
∂
∑
i przyrównać je do zera:
0
1
0
i
i
y
a
a x
=
−
−
∑ ∑
∑
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
20
2
0
1
0
i i
i
i
y x
a x
a x
=
−
−
∑
∑
∑
Podstawiając
0
0
a
na
=
∑
otrzymamy układ równań z dwiema niewiadomymi
0
1
i
a
a
0
1
i
i
na
x a
y
+
=
∑
∑
2
0
1
i
i
i i
x a
x a
y x
+
=
∑
∑
∑
Po rozwiązaniu otrzymamy
(
)
1
2
2
i i
i
i
i
i
n
x y
x
y
a
n
x
x
−
=
−
∑
∑ ∑
∑
∑
(1.17)
0
1
1
1
1
i
i
a
y
a
x
y a x
n
n
=
−
= −
∑
∑
(1.18)
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
21
Gdzie
x oraz
y
są średnimi
x i y.
• Przykład 1.4
Wyznacz prostą aproksymującą dane z dwóch pierwszych kolumn tabeli
i
x
i
y
1.0 0.5
2.0 2.5
3.0 2.0
4.0 4.0
5.0 3.5
6.0 6.0
7.0 5.5
Rozwiązanie:
Obliczamy kolejno:
7
n
= ,
119.5
i i
x y
=
∑
,
2
140
i
x
=
∑
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
22
28
i
x
=
∑
,
28
4
7
x
=
=
24
i
y
=
∑
,
24
3.428571429
7
y
=
=
1
2
7(119.5) 28(24)
0.839285714
7(140) 28
a
−
=
=
−
0
3.428571429 0.839285714(4) 0.07142857
a
=
−
=
Ostateczne równanie prostej uzyskane metodą najmniejszych kwadratów:
0.07142857 0.839285714
y
x
=
+
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
8
f (x)
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
23
REGRESJA LINIOWA – BŁĘDY OBLICZEŃ
Metoda najmniejszych kwadratów wyznacza równanie prostej w sposób
jednoznaczny.
Poszukujemy dodatkowych własności wyznaczonego równania.
Wracamy do równania błędów:
(
)
2
2
0
1
1
1
n
n
r
i
i
i
i
i
S
e
y
a
a x
=
=
=
=
− −
∑
∑
(1.19)
Wyrażenie
0
1
(
)
i
i
y
a
a x
− −
jest odległością pomiędzy punktem z doświadczenia
(np. pomiarem) a punktem na prostej regresji (rysunek poniżej).
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
24
Zauważmy ponadto, że:
1) rozproszenie punktów danych jest podobne w całym zakresie,
2) to rozproszenie może być opisane
rozkładem normalnym
Wtedy możemy wykorzystać znane wzory z
rachunku prawdopodobieństwa
.
Odchylenie standardowe
(standardowy błąd) linii regresji można wyznaczyć
następująco
/
2
r
y x
S
S
n
=
−
(1.20)
Oznaczenie
/
y x
S oznacza, że błąd dotyczy przewidywanej wartości y dla danej
wartości
x.
W mianowniku mamy (
2
n
− ), gdyż do wyznaczenia
r
S wykorzystywaliśmy dwa
parametry
0
a i
1
a .
Ponadto zauważmy, że nie istnieje „rozproszenie danych” dookoła prostej
poprowadzonej przez dwa punkty. A więc po wstawieniu
2
n
= mamy dzielenie
przez 0.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
25
Porównanie rozproszenia (rozkładu)
Powinniśmy także porównać jakość naszego dopasowania krzywej, które np.
będzie różne dla różnych danych opisanych tą samą prostą regresji (rysunek).
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
26
Pozwala na to
współczynnik determinacji
:
2
t
r
t
S
S
r
S
−
=
(1.21)
gdzie
t
S jest sumą kwadratów dookoła wartości średniej
2
(
) ,
i
t
i
y
S
y
y
y
n
=
−
=
∑
∑
Można też wyznaczyć
współczynnik korelacji
:
2
r
r
=
(1.22)
Dla 0
r
S
= ,
2
1
r r
=
=
mamy 100% odwzorowanie wyników.
Alternatywny wzór pozwalający wyznaczyć
współczynnik korelacji
:
(
)
(
)
2
2
2
2
i i
i
i
i
i
i
i
n
x y
x
x
r
n
y
y
n
y
y
−
=
−
−
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
(1.23)
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
27
• Przykład 1.5
Wyznacz odchylenie standardowe,
7
2
1
(
)
22.7143
t
i
i
S
y
y
=
=
−
=
∑
(
)
7
2
0
1
1
2.9911
r
i
i
i
S
y
a
a x
=
=
− −
=
∑
/
2.9911
0.7735
2
7 2
r
y x
S
S
n
=
=
=
−
−
2
22.7143 2.9911
0.868
22.7143
t
r
t
S
S
r
S
−
−
=
=
=
0.868 0.932
r
=
=
Uzyskana wielkość
2
0.868
r
=
oznacza, że 86.8% oryginalnego rozproszenia
danych zostało uwzględnione w modelu.
Dodatkowo można wyznaczyć
globalne odchylenie standardowe
22.7143
1.9457
1
7 1
t
y
S
S
n
=
=
=
−
−
. Zauważmy, że
/
y x
y
S
S
<
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
28
REGRESJA WIELOMIANOWA
Często nie jest możliwe przyjęcie prostej, jako funkcji odwzorowującej dane.
Można wtedy zastosować regresję wielomianową.
2
0
1
2
...
m
m
y a
a x a x
a x
e
=
+
+
+ +
+
Suma błędów
2
2
0
1
2
1
(
...
)
n
m
r
i
i
i
m i
i
S
y
a
a x
a x
a x
=
=
− −
−
− −
∑
(1.24)
Obliczamy kolejne pochodne:
2
0
1
2
1
0
2
(
...
)
n
m
r
i
i
i
m i
i
S
y
a
a x
a x
a x
a
=
∂
= −
− −
−
− −
∂
∑
2
0
1
2
1
1
2
(
...
)
n
m
r
i
i
i
i
m i
i
S
x y
a
a x
a x
a x
a
=
∂
= −
− −
−
− −
∂
∑
…
2
0
1
2
1
2
(
...
)
n
m
m
r
i
i
i
i
m i
i
m
S
x y
a
a x
a x
a x
a
=
∂
= −
− −
−
− −
∂
∑
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
29
Po przyrównaniu do zera otrzymamy
2
0
1
2
...
m
i
i
m
i
i
a n a
x
a
x
a
x
y
+
+
+ +
=
∑
∑
∑
∑
2
3
1
0
1
2
...
m
i
i
i
m
i
i i
a
x
a
x
a
x
a
x
x y
+
+
+
+ +
=
∑
∑
∑
∑
∑
2
3
4
2
2
0
1
2
...
m
i
i
i
m
i
i
i
a
x
a
x
a
x
a
x
x y
+
+
+
+ +
=
∑
∑
∑
∑
∑
…
1
2
2
0
1
2
...
m
m
m
m
m
i
i
i
m
i
i
i
a
x
a
x
a
x
a
x
x y
+
+
+
+
+ +
=
∑
∑
∑
∑
∑
Mamy (m + 1) niewiadomych
0
1
2
, ,
, ... ,
m
a a a
a .
Należy rozwiązać układ (m + 1) liniowych równań.
Błąd wyznaczamy z następującego wzoru
/
(
1)
r
y x
S
S
n
m
=
−
+
Gdzie m jest stopniem wielomianu.
Stopień swobody: (m + 1).
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
30
• Przykład 1.5
Wyznacz wielomian drugiego stopnia opisujący dane z tabeli.
i
x
i
y
0.0 2.1
1.0 7.7
2.0 13.6
3.0 27.2
4.0 40.9
5.0 61.1
Rozwiązanie:
Obliczamy kolejno:
2
m
= ,
6
n
= ,
2.5
x
=
,
25.433
y
=
15
i
x
=
∑
,
152.6
i
y
=
∑
,
2
55
i
x
=
∑
,
3
225
i
x
=
∑
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
31
4
979
i
x
=
∑
,
585.6
i i
x y
=
∑
,
2
2488.8
i
i
x y
=
∑
Układ równań liniowych
0
1
2
0
1
2
0
1
2
6
15
55
152.6
15
55
255
585.6
55
225
979
2488.8
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Po rozwiązaniu
0
2.47857
a
=
1
2.35929
a
=
2
1.86071
a
=
Ostateczne równanie krzywej regresji:
2
2.47857 2.35929
1.86071
y
x
x
=
+
+
0
1
2
3
4
5
x
0
20
40
60
80
y
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
32
Błędy:
6
2
1
(
)
2513.39
t
i
i
S
y
y
=
=
−
=
∑
(
)
6
2
2
0
1
2
1
3.74657
r
i
i
i
i
S
y
a
a x
a x
=
=
− −
−
=
∑
Odchylenie standardowe
/
3.74657
1.12
(
1)
6 (2 1)
r
y x
S
S
n
m
=
=
=
−
+
− +
Współczynnik determinacji
2
2513.39 3.74657
0.99851
2513.39
r
t
t
S
S
r
S
−
−
=
=
=
Współczynnik korelacji
2
0.99851 0.99925
r
r
=
=
=
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
33
• Przykład 1.6
Dokonaj aproksymacji mając dany zbiór danych empirycznych przedstawione w
tabeli (zatrudnienie w przemyśle w zależności od dochodu).
i
x
i
y
2.0 12.0
1.2 8.0
14.8 76.4
8.3 17.0
8.4 21.3
3.0 10.0
4.8 12.5
15.6 97.3
16.1 88.0
11.5 25.0
14.2 38.6
14.0 47.3
0
4
8
12
16
20
x
0
20
40
60
80
100
f (x)
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
34
0
4
8
12
16
20
x
0
20
40
60
80
100
f (x)
0
4
8
12
16
20
x
0
20
40
60
80
100
f (x)
a) b)
a) Aproksymacja prostą oraz wielomianami stopnia 2 (kolor niebieski), 3 (kolor
pomarańczowy) oraz 4 (kolor zielony)
b) Aproksymacja
funkcją wykładniczą
x
y ab
=
. Jak zostały obliczone parametry
a i b.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
35
Jeżeli zapiszemy logarytm funkcji
wykładniczej
x
y ab
=
otrzymamy:
log
log
log
y
a x
b
=
+
czyli równanie prostej
Y = A + x B
Możemy zastosować standardowe
działania wyznaczając A = loga oraz
B = logb.
Równanie prostej
log
0.8063 0.0653
y
x
=
+
Należy sprawdzić czy współczynnik
korelacji jest dostatecznie bliski 1.0.
Będzie to świadczyć o dobrym lub
złym odwzorowaniu funkcji:
log ,
0.959
y x
r
=
Ostatecznie funkcja aproksymująca
6.401 1.162
x
y
=
×
0
4
8
12
16
20
x
0.8
1.2
1.6
2
log y
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
36
• Przykład 1.7
Dokonaj aproksymacji mając dany zbiór danych empirycznych przedstawione w
tabeli.
i
x
i
y
5.8 48.8
6.3 58.2
6.5 59.9
6.8 62.7
7.6 72.3
8.0 82.1
8.0 82.5
8.5 93.5
8.7 99.1
8.6 100.0
9.0 114.6
9.1 115.2
5
6
7
8
9
10
x
40
60
80
100
120
y
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
37
Rozpatrzmy inną funkcję:
b
y ax
=
W celu wykorzystania wzorów regresji liniowej zapiszemy ją następująco
log
log
log
y
a b
x
=
+
(
Y
A bX
= +
, Y=log y, X=log x)
log y
log x
0.7634 1.6884
0.7993 1.7649
0.8129 1.7774
0.8325 1.7973
0.8808 1.8591
0.9031 1.9143
0.9031 1.9165
0.9294 1.9708
0.9395 1.9961
0.9345 2.0
0.9542 2.0591
0.9590 2.0614
0.76
0.8
0.84
0.88
0.92
0.96
log x
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
log y
log ,log
0.985
y
x
r
=
log
0.2881 1.8233log
y
x
=
+
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
38
Ostatecznie otrzymamy:
1.823
1.941
y
x
=
5
6
7
8
9
10
x
40
60
80
100
120
y
5
6
7
8
9
10
x
40
60
80
100
120
y
Jednak stosując w tym przypadku funkcję
x
y ab
=
(linia czerwona) uzyskamy
podobny przebieg.
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
39
UWAGA:
Od nas zależy jakie funkcje przyjmiemy jako funkcje aproksymujące nasze
dane.
Rozpatrzmy jeszcze raz funkcję:
b
y ax
=
Warto jednak wiedzieć jakiego wykresu aproksymującego możemy się
spodziewać dobierając odpowiednio parametry .
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
40
b
y ax
−
=
Inne liniowe transformacje:
1
a bx
y
= −
b < 0
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
41
1
a bx
y
= −
b
y a
x
= −
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
42
Programy komercyjne
Inne możliwości dostępne w wielu komercyjnych programach, np. Statistica,
Grapher, Excel, Matlab.
5
6
7
8
9
10
x
40
60
80
100
120
y
5
6
7
8
9
10
x
40
60
80
100
120
y
Spline smoothing Running average i Weighted average
Metody Numeryczne
• 1. Interpolacja i aproksymacja • Jarosław Górski
•
Politechnika Gdańska
•
WILiŚ
•
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wykład opracowano na podstawie podręcznika: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Book Company 1998
43
REGRESJA WIELOWYMIAROWA
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
w/c
0.2
0.4
0.6
mos
0
20
40
R28
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
w/c