•

 

Wartość oczekiwana 
  ∑ 

∙   

  

wartość oczekiwana to przeciętna wartość zmiennej losowej 

•

 

Moment zwykły rzędu K 

 ∑ 

∙   

  

•

 

Wariancja zmiennej losowej

 

  ∑

 

∙   

   

•

 

Odchylenie standardowe 

  

 

Odchylenie standardowe wyraża przeciętną różnicą pomiędzy wartościami 

zmiennej losowej a wartością oczekiwaną 

Właściwości parametrów rozkładu prawdopodobieństwa 

1.

 

       

2.

 

 ∙    ∙ , ∈  

3.

 

  , ∈  

4.

 

 0 

5.

 

    

 

 2 ∙  ∙   

  

 2 ∙

  

 

 2

 

 

 

 

6.

 

  0

  0,   ł 

Typowe rozkłady dyskretne 

•

 

Rozkład dwupunktowy (0-1, binarny) 
  1  !! ∈ 0,1  0  1  ! 

  !

 ! 

  !  !

 !1  ! 

•

 

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) 

Zmienna losowa X określona jako liczba „sukcesów” w n niezależnych 

próbach, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest identyczne i wynosi p 

(

! ∈ 0,1) ma rozkład prawdopodobieństwa określony wzorem: 

  "  #

$

"% ∙ !

∙ 1  !

, "  1,2,3, … , $ 

 1  !1  ($)"

 0  1  ! 

  $ ∙ !

  $ ∙ ! ∙ 1  ! 

•

 

Rozkład Poissona 

  " 

*

"! ∙ 

, "  0,1,2,3, …, * , 0 

•

 

Rozkład geometryczny 

Zmienna losowa X określona jako liczba prób, które wykonano do momentu 

uzyskania pierwszego „sukcesu” w schemacie Bernoulliego (próby 

niezależne, prawdopodobieństwo sukcesu identyczne w każdej próbie i 

wynosi p) ma rozkład prawdopodobieństwa określany przez funkcję 

prawdopodobieństwa 

  "  1  !

∙ !, -"  1,2,3, … 

 

1

!

 

 

1  !

!

 

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X typu ciągłego  
  .  ∙ /

o ile . || ∙ /

1 ∞  

Moment zwykły rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego 

 

 . 

∙ /

o ile . || ∙ /

1 ∞ 

Wariancja i odchylenie standardowe:  

  

 

  

 

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną wzorem 
3   1 - ∈  

Wyznaczanie dystrybuanty na przykładzie 

/  4- ∈ 0, √2

0- ∉ 0, √2

 

 1   . /

 Wstawiamy f(t) zamiast f(x) ponieważ nie możemy 

całkować po x-sie w granicach zależnych od x 

3  7 /

 

Dla 

 8 0 

3  7 0

 0 

Dla

 ∈ 0, √2 

3  7 0

 7 

 0  9

2 :

2 

0

2 

2

 

Dla 

  √2 

3  7 0

 7 

√

 7 0

√

 9

2 :

√

 √

2

2 

0

2 

2

2  1

 

3  ;

0- 8 0

2 - ∈ 0, √2

1-  √2

 

Właściwości dystrybuanty: 

1)

 

lim

→

3  1, lim

→

3  0 

2)

 

Funkcja F(x) jest niemalejąca 

3)

 

Funkcja F(x) jest lewostronnie ciągła 

4)

 

Jeżeli  pewna  funkcja  G(x)  spełnia  powyższe  warunki  to  jest  ona 

dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej 

5)

 

 8  8 ?  3?  3, 1 ? 

W  przypadku  rozkładu  typu  ciągłego  dodatkowo  występują  następujące 

własności: 

6)

 

F(x) jest funkcją ciągłą 

7)

 

3

  //  ę(śćC("ł)!CD(!((?ńD 

8)

 

 1  1 ? 

 8  8 ? 

 1  8 ? 

 8  1 ? 

F 3?  3- 1 ? 

 

Typowe rozkłady ciągłe 

•

 

Rozkład jednostajny 

~H, ? 

/  I

1

?   - ∈ , ?

0- ∉ , ?

 

 

  ?

2 

 

?  

12

 

3  ;

0- ∈ ∞,  ,

  

?   - ∈ , ?

1- ∈1 ?, ∞

 

•

 

Rozkład wykładniczy 

/  J* ∙ 

-  0

0- 1 0

 

  *

  *

 

3  K

0- 1 0

1  

-  0

 

•

 

Rozkład normalny (Gaussa)

~, 

 

/ 

1

√2L ∙ M

∙ 

మ

మ

 

•

 

Standardowy rozkład normalny 

~N0,1 

/ 

1

√2L

∙ 

మ

 

Proces standaryzacji: 

O P   Q

  R

  R

S   #H

  R

% 

w kwadracie odpowiedni znak nierówności 

,, 1, , 8 

by odczytać wartości z tablic musi być nierówność 

1 -)? 8 

 #H ,

  R

%  1   #H 8

  R

% 

 #H 8

  R

%  T #

  R

%  DC(ść?- 

T #

  R

%  1  T #

  R

% 

 1 H 1 ?  T?  T