1
00502 Kinematyka D
TEORIA
00502
Podstawy kinematyki D
Część 2
Iloczyn wektorowy i skalarny.
Wektorowy opis ruchu. Względność ruchu.
Prędkość w ruchu prostoliniowym.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 8
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9.
Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
ś
yczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Kwiecień
ROK 2008
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00502 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 5
Iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy.
1.
Iloczyn skalarny
r r
a b
⋅
jest iloczynem jednego wektora przez rzut drugiego
wektora na kierunek pierwszego wektora (rys. 1).
r
b
(1)
r r
a b
a b
⋅ = ⋅
cos
α
α
r
a
Rys. 1
Wynikiem iloczynu skalarnego jest wielkość skalarna o wartości określonej
wzorem (1). Z mnoŜeniem skalarnym wektorów mamy do czynienia w fizyce
np. przy definicji pracy mechanicznej.
2.
Iloczyn wektorowy. W wyniku mnoŜenia wektorowego dwóch wektorów,
co zapisujemy
r
a
x
r
b
,
otrzymujemy nowy wektor
r
c
prostopadły do wektorów
r
a
i
r
b
o zwrocie określonym m. in. przez regułę korkociągu i o wartości
zgodnej ze wzorem (2).
r
c
r
b
(2)
c
a b
= ⋅ ⋅
sin
α
α
r
a
3.
Wektory jednostkowe*.
Wektor prędkości moŜe być określany przez podanie jego trzech składo-
wych
(
v v v
x
y
z
,
,
). UŜywamy wówczas takiej symboliki:
(3)
r
r
r
r
v
i v
jv
kv
x
y
z
=
+
+
We wzorze (3)
r r r
i j k
, ,
są zdefiniowane jako wektory jednostkowe (wersory)
wzdłuŜ osi odpowiednio x, y, z. Analityczny sposób przedstawiania wektorów
za pomocą wersorów jest bardzo wygodny, gdyŜ upraszcza bardzo wiele działań
na wektorach i umoŜliwia łatwe przedstawianie wzoru w postaci wektorowej:
3
00502 Kinematyka D
TEORIA
(4)
F
G
M m
r
r
=
⋅
2
$
Suplement:
Przydatne wzory wynikające z twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia kosinusów:
a)
c
a
b
=
+
2
2
, gdzie c jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokąt-
nych równych a i b,
b)
c
a
b
ab
=
+ +
⋅
2
2
2
cos
α
, gdzie c jest przekątną równoległoboku utworzonego przez
wektory o długościach a i b spięte pod kątem
α
.
Temat: 6
Ruch i jego względność.
1.
Mechanika jest nauką, która bada i wyjaśnia ruchy ciał oraz warunki i przyczyny, na skutek
których ciała poruszają się lub pozostają w spoczynku.
Mechanika
statyka kinematyka dynamika
Statyka - nauka o zjawiskach równowagi sił.
Kinematyka - nauka badająca ruchy ciał niezaleŜnie od ich przyczyn.
Dynamika - nauka badająca ruchy ciał w zaleŜności od występujących sił.
2.
Ruchem mechanicznym nazywamy zmianę, w miarę upływu czasu, wzajemnego połoŜenia
ciał w przestrzeni lub jednych ich części względem innych.
3.
Podstawowymi pojęciami nie tylko w fizyce, lecz takŜe we wszystkich naukach przyrodni-
czych, są pojęcia przestrzeni i czasu. Nonsensem jest pojęcie „pustej przestrzeni” i „czyste-
go” czasu nie związanych z materią w ruchu. Związek między tymi dwoma formami istnienia
materii i zaleŜności tych form od ruchu materii wyjaśniła w duŜym stopniu teoria względno-
ś
ci.
4.
Ruch jest pojęciem względnym: badane ciało moŜe być względem jednych ciał w spoczynku
i równocześnie względem innych w ruchu. Jego opis zaleŜy od wyboru układu odniesienia
(połoŜenia obserwatora) .
Przykład
: Człowiek w windzie, która się wznosi, jest w spoczynku względem windy,
natomiast porusza się po linii prostej względem domu, w którym jest zain-
stalowana winda.
4
00502 Kinematyka D
TEORIA
5.
Ruch ciała opisujemy w ten sposób, Ŝe podajemy połoŜenie tego ciała w kaŜdej chwili wzglę-
dem jakiegoś innego ciała (lub zbioru ciał względem siebie nieruchomych). Z ciałem lub zbio-
rem ciał, względem których opisujemy ruch, wiąŜemy zwykle w kinematyce jakiś układ
współrzędnych, najczęściej jest to układ współrzędnych prostokątnych
6.
Układ współrzędnych związany z ciałem (lub zbiorem ciał), względem którego opisuje-
my ruch innych ciał, nazywamy układem odniesienia
7. Układ współrzędnych prostokątnych (płaski) przedstawia rys. 1:
y
y
p
•
P(x
p
,y
p
)
Rys. 1
0 x
p
x
8.
Opisując zjawiska posługujemy się zwykle pewnymi abstrakcyjnymi modelami, gdyŜ uzysku-
jemy przez to większą prostotę opisu. Jednym z takich modeli jest punkt materialny
Punktem materialnym nazywamy ciało, którego rozmiary są małe w porównaniu z
pokonywanymi przez nie odległościami.
9.
Podczas swojego ruchu punkt materialny przemieszcza się do coraz to dalszych punktów
przestrzeni. Zbiór tych punktów stanowi tor ruchu, który moŜe być linią prostą lub krzywą.
10.
W zaleŜności od kształtu toru moŜemy rozróŜnić:
Ruch
prostoliniowy krzywoliniowy
Ruch krzywoliniowy moŜe być płaski lub przestrzenny. Przykładem ruchu płaskiego jest ruch po
elipsie, po okręgu itp., przykładem ruchu przestrzennego (trójwymiarowego) - ruch po linii śru-
bowej.
Długość odcinka toru zakreślonego przez punkt materialny stanowi drogę.
5
00502 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 7
Wektorowy opis ruchu.
1.
PołoŜenie punktu materialnego względem układu odniesienia jest opisane poprzez poda-
nie co najwyŜej trzech współrzędnych tego punktu. Fakt ten wyraŜa właśnie podstawową
zaletę punktu materialnego jako modelu ciała.
2.
Aby zaobserwować ruch, musimy zatem wybrać układ odniesienia oraz stwierdzić zmianę
połoŜenia poruszającego się punktu materialnego względem tego układu. Zmiana połoŜe-
nia oznacza, Ŝe w momencie rozpoczęcia obserwacji (chwila t
o
) punkt znajdował się w
połoŜeniu A (rys.1), a w momencie jej zakończenia (chwila t) - w punkcie B.
y
A s
1
y
1
∆
r
r
r
r
0
s
2
r
r
∆
r
r
s
3
0 x
1
x
2
x
s
4
Rys. 1 Rys. 2
Na rysunku 1 mamy:
Wektor r
o
= OA nazywany wektorem połoŜenia początkowego,
Wektor r = OB nazywany wektorem połoŜenia końcowego,
3.
Wektor
∆
r zwany przesunięciem (przemieszczeniem), określa zmianę połoŜenia punktu
materialnego w danym układzie, która zaszła w czasie
∆
t = t - t
0
, a więc nie tylko odle-
głość od punktu B do punktu A, ale równieŜ kierunek, w którym przesunął się dany punkt
materialny w czasie
∆
t i zwrot. Początek wektora
∆
r leŜy w punkcie A, a koniec w punk-
cie B.
4.
Przesunięcie (przemieszczenie) dodaje się równieŜ wektorowo stosując np. regułę równo-
ległoboku, czy teŜ wieloboku sił.
5.
Przesunięcie świadczy o ruchu i określa jego wektorowy charakter, ale nie opisuje tego
ruchu (rys.2).
6.
Tylko w ruchu prostoliniowym moŜna przyjąć równość drogi, którą się zawsze mierzy
wzdłuŜ toru
, i wartości wektora przesunięcia:
∆∆∆∆
s =
∆∆∆∆
r
7.
W ruchach krzywoliniowych trzeba dokonać bardziej złoŜonej operacji, która bywa
analizowana na zajęciach z matematyki.
6
00502 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 8 Prędkość w ruchu prostoliniowym.
1.
W naszym wieku - w dobie samochodów - prędkość jest pojęciem, które poznajemy juŜ w dzie-
ciństwie. Prędkościomierz samochodu wskazuje wielkość chwilowej prędkości. w kilometrach na
godzinę (
km
h
) Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu.
2.
Prędkość stała. Jeśli samochód porusza się ze stałą prędkością v, to odległość jaką przebywa w
czasie t jest x = vt. JeŜeli w czasie t
0
znajdował się w punkcie x
0
, to
(1)
x - x
0
= v(t - t
0
), czyli
(2)
v
x
x
t
t
=
−
−
0
0
(stała prędkość)
ZaleŜność między x i t przedstawia rysunek 1a i 1 b:
y x
x
0
0 x
0
x 0
t
0
t
Rys. 1 a
Rys. 1 b
Wielkość v moŜe być dodatnia lub ujemna, jej znak wskazuje kierunek ruchu. Jeśli prędkość v jest
ujemna, to ruch odbywa się w stronę malejących x.
3.
Prędkość chwilowa. JeŜeli samochód zwalnia albo przyspiesza, to wskazania szybkościomierza
nie zgadzają się ze wzorem (2), chyba Ŝe uŜyjemy bardzo małych wartości x - x
0
. Takie bardzo
małe wartości x - x
0
oznaczać będziemy przez
∆
x, a bardzo małe odstępy czasu, w których samo-
chód przebył drogę
∆
x, jako
∆
t. Wtedy prędkość chwilowa jest granicą
∆
∆
x
t
, gdy
∆
t dąŜy do ze-
ra.
(3)
v
x
t
t
=
→
∆
∆
∆
0
lim
Właśnie tak dokładnie definiuje się w rachunku róŜniczkowym pierwszą pochodną x względem czasu t co zapisujemy:
(4)
dt
dx
v
=
7
00502 Kinematyka D
TEORIA
Nachylenie krzywej przedstawiającej zaleŜność x od t jest prędkością chwilową. Interpretację geometryczną prędkości
chwilowej przedstawia rysunek 2.
x
Krzywa na rys. 2 ma nachylenie
x
1
(5)
v
x
x
t
t
tg
=
−
−
=
2
1
2
1
α
x
2
które w granicy, gdy t
2
zbliŜa się do t
1
jest
0 t
1
t
2
t
nachyleniem krzywej.
Rys. 2 Wykres przedstawia zaleŜność połoŜenia x od czasu t w dowolnym ruchu.
4.
Prędkość średnią określamy zgodnie ze wzorem (6):
(6)
v
x
x
t
ś
r
=
−
0
W kinematyce przyjmuje się, Ŝe termin prędkość średnia oznacza prędkość średnią względem czasu (uśrednioną po cza-
sie). Zatem prędkość średnia nie zawsze oznacza średnią matematyczną
Zadania:
1.
Korzystając ze wzoru (6) wykaŜ, Ŝe ciało, które w czasach t
1
i t
2
przebyło jednakowe drogi wynoszące za kaŜdym razem
s, poruszało się z prędkością średnią, zgodną ze wzorem (7).
(7)
2
1
2
1
2
v
v
v
v
v
úr
+
⋅
=
,
v
1 i
v
2
to prędkości ciała odpowiednio w chwilach t
1
i t
2.
2.
Kiedy prędkość średnią moŜemy policzyć jako średnią matematyczną, czyli:
(8)
v
v
v
ś
r
=
+
1
2
2
.
Koniec
8
00502 Kinematyka D
TEORIA
Notatki: