Bartłomiej Garda 2001
Współrzędne Kartezjańskie (x,y,z)
z
z
y
y
x
x
a
A
a
A
a
A
A
+
+
=
z
y
x
a
z
V
a
y
V
a
x
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
z
A
y
A
x
A
A
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇
z
y
x
z
y
x
A
A
A
z
y
x
a
a
a
A
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
2
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
Współrzędne walcowe (cylindryczne) (
ρ,φ,z)
z
z
a
A
a
A
a
A
A
+
+
=
φ
φ
ρ
ρ
z
a
z
V
a
V
a
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
φ
ρ
φ
ρ
ρ
1
z
A
A
A
A
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇
φ
ρ
ρ
ρ
ρ
φ
ρ
1
)
(
1
z
z
A
A
A
z
a
a
a
A
φ
ρ
φ
ρ
ρ
φ
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
2
2
2
2
2
1
1
z
V
V
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
¸¸¹
·
¨¨©
§
∂
∂
∂
∂
=
∇
φ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Współrzędne sferyczne (r,
θ,φ)
φ
φ
θ
θ
a
A
a
A
a
A
A
r
r
+
+
=
φ
θ
φ
θ
θ
a
V
r
a
V
r
a
r
V
V
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
sin
1
1
(
)
φ
θ
θ
θ
θ
φ
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇
A
r
A
r
A
r
r
r
A
r
sin
1
sin
sin
1
)
(
1
2
2
(
)
(
)
φ
θ
φ
θ
θ
φ
θ
θ
A
r
rA
A
r
a
r
a
r
a
A
r
r
sin
sin
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
1
φ
θ
θ
θ
θ
θ
∂
∂
+
¸
¹
·
¨
©
§
∂
∂
∂
∂
+
¸
¹
·
¨
©
§
∂
∂
∂
∂
=
∇
V
r
V
r
r
V
r
r
r
V
Bartłomiej Garda 2001
Układy współrzędnych
Kartezjański Cylindryczny Sferyczny
Transformacje
z
z
z
z
y
y
x
x
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
+
+
→
+
+
φ
φ
ρ
ρ
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
=
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
z
y
x
z
A
A
A
A
A
A
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
φ
φ
φ
φ
φ
ρ
z
z
x
y
y
x
=
=
+
=
−
;
tan
;
1
2
2
φ
ρ
z
z
y
y
x
x
z
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
+
+
→
+
+
φ
φ
ρ
ρ
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
=
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
z
z
y
x
A
A
A
A
A
A
φ
ρ
φ
φ
φ
φ
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
z
z
y
x
=
=
=
;
sin
;
cos
φ
ρ
φ
ρ
φ
φ
θ
θ
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
r
r
z
z
y
y
x
x
+
+
→
+
+
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
=
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
z
y
x
r
A
A
A
A
A
A
0
cos
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
sin
φ
φ
θ
φ
θ
φ
θ
θ
φ
θ
φ
θ
φ
θ
x
y
z
y
x
z
y
x
r
1
2
2
1
2
2
2
tan
;
tan
;
−
−
=
+
=
+
+
=
φ
θ
z
z
y
y
x
x
r
r
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
+
+
→
+
+
φ
φ
θ
θ
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
−
=
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
φ
θ
θ
θ
φ
φ
θ
φ
θ
φ
φ
θ
φ
θ
A
A
A
A
A
A
r
z
y
x
0
sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin
sin
cos
cos
cos
sin
θ
φ
θ
φ
θ
cos
;
sin
sin
;
cos
sin
r
z
r
y
r
x
=
=
=