Przyrosty i Różniczki
Def: Iloczyn
nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu argumentu 
.
Różniczkę oznaczamy symbolem df(x0) lub krótko df lub dy
Symbolika różniczkowa
Oznaczając dowolny przyrost argumentu x symbolem dx i nazywając go różniczką argument x otrzymujemy
zatem 
dla dx≠0
Pochodna funkcji jest ilorazem różniczki funkcji przez różniczkę argumentu.
Zamiast symbolu 
można pisać
Tw:Jeśli funkcja f , określona w otoczeniu U punktu x0, ma pochodną 
, to dla każdego przyrostu 
takiego, że 
zachodzi równość
przy czym 
.
W symbolice różniczkowej tezę twierdzenia można zapisać
gdzie 
.
Jeżeli 
to 
Reszta dąży do 0 szybciej niż różniczka funkcji, co wyrażamy mówiąc, że różniczka funkcji jest częścią główną przyrostu funkcji.
Różniczkę można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości funkcji.
Jeśli opuścimy resztę to otrzymamy równość przybliżoną
a stąd 
WZÓR TAYLORA z n-tą pochodną
Tw.
Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu U punktu x0 n-tą pochodną, to dla dowolnego punktu xU, istnieje punkt 
leżący między x0 i x taki, że zachodzi równość
gdzie 
, 
.
nazywamy resztą wzoru Taylora w postaci Lagrange'a.
Dla x0=0 wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina, przyjmuje on postać
, 
.
WZÓR TAYLORA z drugą pochodną 
Tw.
Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu U punktu x0 drugą pochodną, to dla dowolnego punktu xU, istnieje punkt 
leżący między x0 i x taki, że zachodzi równość
gdzie 
, 
.
Dla x0=0 wzór Maclaurina
ASYMPTOTY UKOŚNE (POCHYŁE ) I POZIOME
Zakładamy, że funkcja f jest określona w przedziale (-∞, a).
Prostą o równaniu 
nazywamy asymptotą ukośną ( gdy m=0 asymptotą poziomą) lewostronną krzywej 
wtedy i tylko wtedy, gdy
Analogicznie określamy asymptotę ukośną (albo poziomą) prawostronną dla funkcji f określonej w przedziale (a,∞).
Jeżeli prosta 
jest asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną krzywej 
to nazywamy ją asymptotą ukośną obustronną tej krzywej.
Tw.
Prosta 
jest asymptotą ukośną lewostronną krzywej 
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice
.
Prosta 
jest asymptotą ukośną prawostronną krzywej 
, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice
.
Zauważ, że jeżeli f jest różniczkowalna i ma asymptotę ukośną to z reguły H
