GRANICA FUNKCJI
Niech A będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru R,
.
Punkt a nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym sąsiedztwie punktu a istnieją punkty należące do zbioru A.
Tw:
Punkt a jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg 
, 
i 
.
Załóżmy, że punkt c jest punktem skupienia dziedziny funkcji f .
Definicja Heinego
Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie c, jeżeli dla każdego ciągu 
o wyrazach 
zbieżnego do c, ciąg wartości funkcji 
jest zbieżny do g.
Definicja Cauchy'ego
Tw. (rachunek granic skończonych)
Jeżeli 
i 
, to
1. 
2. 
3. 
przy założeniu, że 
, 
Twierdzenie wynika bezpośrednio z definicji Heinego granicy funkcji oraz z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych.
Granice niewłaściwe:
Definicja Heinego
Funkcja f w punkcie c ma granicę niewłaściwą 
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu 
o wyrazach 
, zbieżnego do c, ciąg 
jest rozbieżny do
.
Definicja Cauchy'ego
Napisz samodzielnie definicję 
.
Granice jednostronne:
Wprowadźmy zbiory
Jeżeli w definicji granicy (właściwej lub niewłaściwej) funkcji f w punkcie c zastąpimy dziedzinę D przez zbiór 
albo 
to otrzymamy określenie granicy jednostronnej (lewostronnej albo prawostronnej).
Napisz samodzielnie definicję np.: 
.
Tw:
Granice funkcji w nieskończoności
Niech funkcja f będzie określona w przedziale 
, gdzie a oznacza liczbę rzeczywistą.
Podobnie określamy granice w 
dla funkcji określonej w przedziale 
.
Rachunek granic nieskończonych
Zobacz odpowiednie twierdzenia dla ciągów.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
, 
Punkt x0 nie musi być punktem skupienia dziedziny funkcji.
Definicja
Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie 
, jeżeli
według Heinego
dla każdego ciągu 
o wyrazach z dziedziny D, zbieżnego do 
, ciąg 
jest zbieżny do 
.
według Cauchy'ego
Uwaga 1
Funkcja jest zawsze ciągła w punkcie izolowanym dziedziny.
Uwaga 2
Jeżeli punkt 
jest punktem skupienia dziedziny, to funkcja f jest ciągła w punkcie 
wtedy i tylko wtedy, gdy
Wówczas warunek ciągłości można równoważnie zapisać
gdzie 
Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0, jeżeli nieskończenie małemu przyrostowi argumentu odpowiada w punkcie x0 nieskończenie mały przyrost funkcji.
Definicja
Funkcję f nazywamy prawostronnie ciągłą w punkcie 
, jeżeli
według Heinego
dla każdego ciągu 
o wyrazach 
, 
, zbieżnego do 
, ciąg 
jest zbieżny do 
.
według Cauchy'ego
Analogicznie definiujemy lewostronną ciągłość funkcji w punkcie.
Funkcję f nazywamy ciągłą w przedziale 
, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie przedziału otwartego 
, prawostronnie ciągła w punkcie a, lewostronnie ciągła w punkcie b.
Funkcję f nazywamy ciągłą jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
Funkcje: wielomian, sinus, cosinus, wykładnicza są ciągłe w zbiorze R (w dziedzinie naturalnej).
Funkcja logarytmiczna jest ciągła w zbiorze liczb dodatnich.
Funkcja wymierna ( iloraz dwóch wielomianów) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny naturalnej (poza zerami mianownika)
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
1.
Suma, różnica, iloczyn funkcji ciągłych w danym punkcie są funkcjami ciągłymi w tym punkcie.
Iloraz funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie przy założeniu, że dzielnik jest różny od zera w tym punkcie.
2.
(o ciągłości funkcji odwrotnej)
Funkcja odwrotna do funkcji 
ciągłej i rosnącej (malejącej) na przedziale 
jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale 
.
3.
(o ciągłości funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja wewnętrzna h jest ciągła w punkcie x0 i funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie u0=h(x0), to funkcja złożona 
jest ciągła w punkcie 
.
Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
4.
(o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej)
Jeżeli istnieje granica właściwa 
i funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie 
, to 
.
Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz dla 
.
5.
( o lokalnym zachowaniu znaku)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie 
oraz 
, to istnieje otoczenie U punktu 
, takie że 
dla każdego
.
Funkcja ciągła w pewnym punkcie i różna od zera w tym punkcie zachowuje swój znak w pewnym otoczeniu tego punktu.
6. (Weierstrassa 1815-1897)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym 
, to jest w tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty, w których funkcja przyjmuje swoje kresy.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym 
, to jest w tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty x1, x2 takie, że
.
7. (Darboux 1842-1917)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym 
, 
oraz liczba q jest zawarta między liczbami f(a) i f(b), to istnieje co najmniej jeden punkt 
, taki że 
.
Funkcja f ciągła w przedziale 
gdzie 
przyjmuje w przedziale 
każdą wartość pośrednią między 
i 
.
Wniosek
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym 
oraz 
, to istnieje taki punkt 
, że 
.
15
Wyszukiwarka