GRANICA FUNKCJI

Niech A będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru R,
.

Punkt a nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym sąsiedztwie punktu a istnieją punkty należące do zbioru A.

Tw:

Punkt a jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg
,
i
.

Załóżmy, że punkt c jest punktem skupienia dziedziny funkcji f .

Definicja Heinego

Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie c, jeżeli dla każdego ciągu
o wyrazach
zbieżnego do c, ciąg wartości funkcji
jest zbieżny do g.

Definicja Cauchy'ego

Tw. (rachunek granic skończonych)

Jeżeli
i
, to

1.

2.

3.
przy założeniu, że
,

Twierdzenie wynika bezpośrednio z definicji Heinego granicy funkcji oraz z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych.

Granice niewłaściwe:

Definicja Heinego

Funkcja f w punkcie c ma granicę niewłaściwą
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
o wyrazach
, zbieżnego do c, ciąg
jest rozbieżny do
.

Definicja Cauchy'ego

Napisz samodzielnie definicję
.

Granice jednostronne:

Wprowadźmy zbiory

Jeżeli w definicji granicy (właściwej lub niewłaściwej) funkcji f w punkcie c zastąpimy dziedzinę D przez zbiór
albo
to otrzymamy określenie granicy jednostronnej (lewostronnej albo prawostronnej).

Napisz samodzielnie definicję np.:
.

Tw:

Granice funkcji w nieskończoności

Niech funkcja f będzie określona w przedziale
, gdzie a oznacza liczbę rzeczywistą.

Podobnie określamy granice w
dla funkcji określonej w przedziale
.

Rachunek granic nieskończonych

Zobacz odpowiednie twierdzenia dla ciągów.

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

,

Punkt x₀ nie musi być punktem skupienia dziedziny funkcji.

Definicja

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie
, jeżeli

według Heinego

dla każdego ciągu
o wyrazach z dziedziny D, zbieżnego do
, ciąg
jest zbieżny do
.

według Cauchy'ego

Uwaga 1

Funkcja jest zawsze ciągła w punkcie izolowanym dziedziny.

Uwaga 2

Jeżeli punkt
jest punktem skupienia dziedziny, to funkcja f jest ciągła w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy

Wówczas warunek ciągłości można równoważnie zapisać

gdzie

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x₀, jeżeli nieskończenie małemu przyrostowi argumentu odpowiada w punkcie x₀ nieskończenie mały przyrost funkcji.

Definicja

Funkcję f nazywamy prawostronnie ciągłą w punkcie
, jeżeli

według Heinego

dla każdego ciągu
o wyrazach
,
, zbieżnego do
, ciąg
jest zbieżny do
.

według Cauchy'ego

Analogicznie definiujemy lewostronną ciągłość funkcji w punkcie.

Funkcję f nazywamy ciągłą w przedziale
, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie przedziału otwartego
, prawostronnie ciągła w punkcie a, lewostronnie ciągła w punkcie b.

Funkcję f nazywamy ciągłą jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje: wielomian, sinus, cosinus, wykładnicza są ciągłe w zbiorze R (w dziedzinie naturalnej).

Funkcja logarytmiczna jest ciągła w zbiorze liczb dodatnich.

Funkcja wymierna ( iloraz dwóch wielomianów) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny naturalnej (poza zerami mianownika)

WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH

1.

Suma, różnica, iloczyn funkcji ciągłych w danym punkcie są funkcjami ciągłymi w tym punkcie.

Iloraz funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie przy założeniu, że dzielnik jest różny od zera w tym punkcie.

2.

(o ciągłości funkcji odwrotnej)

Funkcja odwrotna do funkcji
ciągłej i rosnącej (malejącej) na przedziale
jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale
.

3.

(o ciągłości funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja wewnętrzna h jest ciągła w punkcie x₀ i funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie u₀=h(x₀), to funkcja złożona
jest ciągła w punkcie
.

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

4.

(o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej)

Jeżeli istnieje granica właściwa
i funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie
, to
.

Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz dla
.

5.

( o lokalnym zachowaniu znaku)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie
oraz

, to istnieje otoczenie U punktu
, takie że

dla każdego
.

Funkcja ciągła w pewnym punkcie i różna od zera w tym punkcie zachowuje swój znak w pewnym otoczeniu tego punktu.

6. (Weierstrassa 1815-1897)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
, to jest w tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty, w których funkcja przyjmuje swoje kresy.

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
, to jest w tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty x₁, x₂ takie, że

.

7. (Darboux 1842-1917)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
,
oraz liczba q jest zawarta między liczbami f(a) i f(b), to istnieje co najmniej jeden punkt
, taki że
.

Funkcja f ciągła w przedziale
gdzie
przyjmuje w przedziale
każdą wartość pośrednią między
i
.

Wniosek

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
oraz
, to istnieje taki punkt
, że
.

15