WSTĘP TEORETYCZNY

1. Własności sprężyste ciał

Jeśli na jakieś nieruchome ciało wywierana jest pewna siła, to znaczy, jeśli doznaje ono pewnego ciśnienia p, to w ciele tym występują odkształcenia, czyli deformacje. Odkształcająca siła powoduje zmianę odległości międzycząsteczkowych. Tej zmianie przeciwstawiają się siły międzycząsteczkowe ciała, dzięki którym powstaje tzw. opór sprężysty, albo siła sprężystości; siła ta jest skierowana przeciwnie względem siły odkształcającej, a co do wartości jest jej równa. Siła oporu spręzystego jest tym większa, im większe jest odkształcenie; rośnie ona liniowo wraz z odkształceniem. Z chwilą gdy ustaje działanie zewnetrznej siły odkształcającej, ciało powraca do pierwotnego stanu; siły napięć sprężystych, które powstały we wnętrzu ciała, sprawiają, że cząsteczki powracają do pierwotnych położeń. Oczywiście następuje to tylko wówczas, gdy siła odkształcająca nie przekracza pewnej granicy, tzw. sprężystości, w przeciwnym bowiem razie doznane odkształcenia ciała nie ustępują z chwilą zniknięcia siły zewnętrznej. Takie odkształcenia nazywamy plastycznymi.

2. Rodzaje odkształceń.

• objętościowe

• postaciowe

• względne

• bezwzględne

• plastyczne

• sprężyste

• normalne

3. Prawo Hooke'a

Prawo Hooke'a jest to stosunek naprężenia do związanego z nim odkształcenia jest wielkością stałą dla danego materiału. Stosunek ten nazywamy modułem sprężystości. Prawo to obowiązuje dla małych odkształceń sprężystych.

Prawo Hooke'a:

• przy wydłużeniach: , G - odkształcenie normalne, E - moduł sprężystości

• przy odkształceniach objętościowych: , K - moduł spręż. obj.,

• przy odkształceniach postaciowych:

• prawo Hooke'a wyraża się także równaniem: , gdzie

p - ciśnienie, α - odkształcenie względne, k - współczynnik proporcjonalności zwany modułem sprężystości

• równanie: jest zależnością empiryczną znaną jako prawo Hooke'a

• prawo Hooke'a wyraża się również równaniem: , gdzie G - naprężenie

4. Moduł sztywności

τ - oznacza współczynnik stały dla danego materiału, charakteryzujący jego sprężystość w tego rodzaju odkształceniach, zwany modułem sztywności. Jego odwrotność nosi nazwę liczby poślizgowej materiału.

5. Skręcenie pręta.

W zastosowaniach technicznych i naukowych najczęściej spotykamy współczynnik sztywności wtedy, gdy ciało cylindryczne, np. drut o średnicy 2r i długości l, umocowane jest górnym końcem, a na dolnym końcu poddane działaniu sił w płaszczyźnie prostopadłej do osi walca. Siły te działają równolegle do powierzchni przekroju poprzecznego, są rozłożone równomiernie na całej powierzchni, a kierunek ich jest styczny do koła przekroju. Para sił o sumie równej 2F wywiera ciśnienie styczne do danego przekroju równe:

Pod działaniem tego ciśnienia zachodzi w elementach całego pręta odkształcenie polegające na skręceniu, którego miarą jest kąt Δα:

Nie dla wszystkich elementów pręta odkształcenie jest jednakowe, w środku pręta wzdłuż osi OO₁ równa się ona zeru, a w miarę zbliżania się ku zewnętrznemu obwodowi przekroju odkształcenie rośnie proporcjonalnie do promienia. Zatem wzór określa odkształcenie warstw zewnętrznych. Odkształcene średnie będzie równe połowie odkształcenia zewnętrznego, więc:

Podstawając do wzoru: i mnożąc obie strony tej równości przez r otrzymujemy:

Lewa strona równania przedstawia moment skręcający pary sił, który jest proporcjonalny do kąta skręcenia Δϕ(Δϕ=ϕ). Równanie ma postać M=Δϕ , gdzie M oznacza moment skręcający sił zewnętrznych - D - jest to moment kierujacy, który jest stałą charakteryzującą dany materiał i dane wymiary ciała. Moment kierujący jest równy momentowi skręcającemu, który odpowiada skręceniu jednostkowemu, ponieważ:

6. Prawo Steinera.

gdzie:

h - odległość między osiami

J_śr.m. - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciała

J - moment bezwładności względem dowolnej osi równoległej do niej

M - całkowita masa ciała

Wyprowadzenie twierdzenia Steinera.

Dowód tej tezy jest następujący: niech punkt C będzie środkiem masy ciała o dowolnym kształcie. wybieramy płaszczyznę xy tak, że z_śr.m.=0, czyli że C leży na tej płaszczyźnie. Odległość punktu P(x_śr.m.+a, y_śr.m.+b) wynosi . Kwadrat odległości elementu masy m_i od osi przechodzącej przez punkt , gdzie x_i, y_i są współrzędnymi tego elementu. Natomiast kwadrat odległości tego samego elementu m_i od osi przechodzącej przez punkt P zapiszemy w postaci:

Z definicji środka masy mamy:

Pierwszy wyraz jest momentem bezwładności J_śr.m. względem osi przechodzącej przez środek masy, a drugi wyraz równa się .

7. Ruch harmoniczny.

Ruch harmoniczny jest to ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu. Ruch ten można zawsze wyrazić przy pomocy funkcji sinus i cosinus. Równanie drgań harmonicznych ma postać: x=Asin(ωt+ϕ).

• okresem ruchu harmonicznegot T jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia:

• częstością ruchu harmonicznego f jest liczba drgań na jednostkę czasu:

• amplitudą ruchu harmonicznego A nazywamy największe wychylenie od położenia równowagi

• częstość kątową ruchu harmonicznego ω wynosi

• prędkość ruchu harmonicznego jest wielkością zmienną i okresową:

• energia kinetyczna i potencjalna są zmienne i wynoszą:

1

---