Równania różniczkowe rzędu drugiego

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci

gdzie F oznacza znaną funkcję, niewiadomą jest funkcja
jednej zmiennej x i w

którym występuje druga pochodna tej funkcji.

Rozwiązać równanie z podanymi warunkami początkowymi

Równanie liniowe rzędu drugiego

Równanie liniowe rzędu drugiego zapisujemy w postaci

( skrót RL)

gdzie p, q i f są to dane funkcje ciągłe, określone w przedziale X.

Równanie nazywamy

jednorodnym jeśli
na przedziale X (skrót RJ),

niejednorodnym jeśli f(x)≠0 (skrót RN).

RJ

RN

Dla dowolnych wartości początkowych
gdzie
równanie linowe ma dokładnie jedno rozwiązanie spełniające zadany warunek początkowy

,
.

Wszystkie rozwiązania istnieją w całym przedziale X.

Równanie liniowe jednorodne rzędu drugiego

RJ

TW.

Całka ogólna równania liniowego jednorodnego jest funkcją postaci

RORJ

gdzie
są dowolnymi stałymi, a funkcje
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania jednorodnego tzn.

. lub

Mówimy wówczas, że funkcje
tworzą układ podstawowy całek równania jednorodnego. Wyznacznik W nazywamy wrońskianem (wyznacznikiem Wrońskiego).

Uwaga

Jeżeli znamy niezerowe rozwiązanie równania jednorodnego
, to drugiego rozwiązania poszukujemy w postaci
gdzie
jest szukaną funkcją.

Równanie liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach

RJ

Przewidujemy RSRJ w postaci
, gdzie r jest pewną stałą. W celu wyznaczenia stałej r podstawiamy funkcję i jej pochodne

do RJ. Otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne

.

Możliwe są trzy sytuacje

1.

Równania charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
. Odpowiadają im dwie liniowo niezależne funkcje

,

które tworzą układ podstawowy całek RJ. Ich kombinacja liniowa o dowolnych współczynnikach
tworzy RORJ.

RORJ

2.

Równania charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty
. Odpowiada mu rozwiązanie RJ
. Drugą funkcję wyznaczamy metodą uzmiennia stałej. Otrzymujemy

.

Zatem funkcja

jest RORJ.

3.

Brak pierwiastków rzeczywistych. Rozwiązania zespolone

,

Funkcje

tworzą układ podstawowy całek RJ.

RORJ.

RORJ o stałych współczynnikach

Zadanie

Wyznaczyć RO równania

a)

b)

c)

Równanie liniowe niejednorodne rzędu drugiego

RN

RORN=RORJ+RSRN

W przypadku równania o stałych współczynnikach z prawą stroną postaci

wielomianu

funkcji

funkcji typu

suma lub iloczyn funkcji wymienionych typów

tak jak dla równania liniowego rzędu pierwszego, w celu wyznaczenia RSRN można stosować metodę przewidywania.

zadanie

Metoda uniwersalna

RSRN wyznaczamy metodą uzmienniania stałych w RORJ
.

RSRN poszukujemy w postaci
,gdzie
szukane funkcje.

Pochodne
szukanych funkcji wyznaczamy z układu równań

W przypadku równania o stałych współczynnikach z prawą stroną jak dla równania liniowego rzędu pierwszego w celu wyznaczenia RSRN można stosować metodę przewidywania.

Zadanie

Wyznaczyć RORJ

jeżeli funkcja
jest całką tego równania.

Zadanie

odp.

Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

1. Jeżeli w równaniu nie występuje funkcja

podstawiamy
.

Zatem
, po podstawieniu do równania dostajemy

równanie rzędu pierwszego dla funkcji
.

Po wyznaczeniu funkcji u, obliczamy funkcję y

2. Jeżeli w równaniu nie występuje zmienna niezależna x

podstawiamy
.

Zatem
, po podstawieniu do równania dostajemy

równanie rzędu pierwszego dla funkcji
.

Po wyznaczeniu funkcji u, obliczamy funkcję y z równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych

dla
,

(sprawdzamy czy kładąc
dostajemy rozwiązania równania).

---