VIII Warunek konieczny różniczkowalności. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodna superpozycji. Twierdzenia o wartości średniej: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego.

Twierdzenie (w-k konieczny różniczkowalności)

Jeśli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, to jest ona ciągła w tym punkcie.

Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)

Jeśli
jest ciągłą iniekcją, różniczkowalną w punkcie
oraz
, to funkcja odwrotna
jest różniczkowalna w punkcie y=f(x) oraz

.

Twierdzenie (różniczkowanie superpozycji)

Niech będą dane funkcje
oraz
, przy czym
. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
, zaś funkcja g różniczkowalna w punkcie
. Wówczas funkcja
jest różniczkowalna w punkcie x oraz

^.

Twierdzenie Rolle'a

Jeśli
jest funkcją ciągłą na [a,b] i różniczkowalną na (a,b) oraz f(a)=f(b) to istnieje punkt
taki, że
.

Twierdzenie Cauchy'ego

Jeśli
są funkcjami ciągłymi na [a,b] i różniczkowalnymi na (a,b), to istnieje taki punkt
, że

.

Twierdzenie Lagrange'a

Jeśli
jest funkcją ciągłą na [a,b] i różniczkowalną na (a,b), to istnieje punkt
taki, że

.

---