Przykład 15 - 14 -

Końce sztywnego pręta AB mogą ślizgać się po dwóch leżących w jednej płaszczyźnie prostych, przecinających się pod kątem β = 41⁰. Należy wyznaczyć chwilową prędkość końca B pręta w położeniu określonym kątem α = 17.5⁰ mierzonym tak jak na rys.15, jeśli wiadomo, że w rozpatrywanej chwili prędkość końca A równa jest V_A = 3 m/s.

B

β

0 α A V_A Rys.15

Rozwiązanie

B

V_B cos(β-α)

V_B

β-α

β

0 α A V_A Rys.15.1

V_Acosα

Z warunku że:

Przykład 16

Przedstawiony na rysunku 16 mechanizm składa się z trzech sztywnych prętów połączonych ze sobą przegubowo w punktach A i B. Pręt 0₁A obraca się wokół nieruchomego punktu 0₁, a pręt 0₂B wokół punktu 0₂, przy czym osie wszystkich punktów pozostają w jednej płaszczyźnie. Należy wyznaczyć prędkość punktu B w chwili, gdy pręty zajmują położenie jak na rysunku, jeżeli wiadomo, że prędkość końca A pręta 0₁A wynosi V_A = 7 m/s.

Rozwiązanie - 15 -

V_A α_A = 0

A

90⁰ 30⁰

60⁰ α_B B

V_B

90⁰

60⁰ 60⁰

0₁ 0₂ Rys.16

Z warunku że:
;
(16.1)

niewiadomy kąt α_B określamy z warunku że suma kątów w czworoboku równa się 360⁰ czyli

;

Wstawiając α_B do (16.1)

Przykład 17

Pręt AB o długości l = 3 m ślizga się końcem A po poziomej płaszczyźnie z prędkością V_A = 3 m/s, koniec B zaś po płaszczyźnie tworzącej z poziomem kąt β = 41⁰ (rys.17). Wyznaczyć prędkość punktu B dla t = 0,3 s.

Dane: dla t = 0, s = 0.

B

V_B cos(β-α)

V_B

β-α l

β

0 α A V_A Rys.17

s

V_Acosα

Rozwiązanie

stąd
(17.1)

Aby określić V_B musimy określić kąt α jako funkcję czasu t

Określenie s;
;
;
;

dla t = 0, s = 0 stąd C = 0 a wiec s =V_A t

Określenie cos(β - α) - 16 -

z twierdzenia Snelliusa:

stąd

Określenie cosα

Z wzoru Carnota:
(17.2)

z twierdzenia Snelliusa:

wstawiamy 0B² do (17.2)

(17.3)

; oznaczmy:
;

;

wstawiamy a, b i c do (17.3) otrzymujemy:
(17.4)

- 17 -

rozwiązanie równania (17.4)

Wyznaczenie prędkości V_B ze wzoru (17.1)

Odpowiedz:

dla t = 0; s = 0; V_B = V_Acosβ =3 m/s cos41⁰ = 2,26 m/s

dla
;

Przykład 18

Znając równanie ruchu postępowego prostoliniowego bryły A w postaci

s = 8 + 20t² m (rys.18) wyznaczyć w ruchu obrotowym tarcz kołowych następujące prędkości i przyśpieszenia (kątowe i liniowe): ω₁, ω₂, V_A, V_M, V_N, ε₁, ε₂, a_A, a_M, a_N . Dane: r = 0.2 m, t = 2,3 s

M N

2r r r

s tarcza 1 tarcza 2

V_A Rys.18

Rozwiązanie - 18 - Prędkość i przyspieszenie ciała A

dla t = 2.3 s V_A = 40·2.3 = 92 m/s s

V_A

Prędkość kątowa i przyśpieszenie kątowe tarczy 1, prędkość liniowa punktu M

ω₁ V_M

dla t = 2.3 s
2r r

ε₁

V_A

Prędkość kątowa i przyśpieszenie kątowe tarczy 2, prędkość liniowa punktu N

Prędkość liniowa punktu M i punktu N

są identyczne czyli V_N = V_M V_M M V_N N

stąd
a wiec
r ε₂

ω₂

Przyspieszenia liniowe punktów M i N są takie same tarcza 2

dla t = 2.3 s