WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
1
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
Z10/1.1. Zadanie 1
W punkcie A przekroju przedstawionego na rysunku Z10/1.1 działa siła normalna -200,0 kN. Nary-
sować wykres naprężenia normalnego
σ
X
w tym przekroju. Następnie wyznaczyć rdzeń przekroju. Wszyst-
kie wymiary przekroju podane są w centymetrach. Przekrój posiada jedną oś symetrii.
4,0
4,0
12,0
4,0
4,0
12,0
4,0
5,0
15
,0
[cm]
A
Rys. Z10/1.1. Przekrój pręta obciążony mimośrodowo
Z10/1.2. Wyznaczenie charakterystyk geometrycznych przekroju
Rysunek Z10/1.2 przedstawia podział przekroju na figury składowe. Na rysunku tym zaznaczony jest
także początkowy układ współrzędnych. Oś Z
P
tego układu pokrywa się z osią symetrii przekroju.
4,0
4,0
12,0
4,0
4,0
12,0
4,
0
5,
0
15
,0
[cm]
20,0
Y
P
Z
P
4,
0
20
,0
sc
1
sc
2
sc
3
2,0
14
,0
19
,0
Rys. Z10/1.2. Podział przekroju na figury składowe
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
2
Zgodnie z rysunkiem Z10/1.2 pole powierzchni przekroju pręta wynosi
A
=
12,0
⋅
4,0
20,0
⋅
20,0
−
1
2
⋅
12,0
⋅
15,0
=
358,0 cm
2
.
(Z10/1.1)
Współrzędne z środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą
z
P1
=
4,0
2
=
2,0 cm
,
(Z10/1.2)
z
P2
=
4,0
20,0
2
=
14,0 cm
,
(Z10/1.3)
z
P3
=
4,05,0
2
3
⋅
15,0=19,0 cm
.
(Z10/1.4)
Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z środka ciężkości przekroju wynosi
z
C
=
12,0⋅4,0⋅2,020,0⋅20,0⋅14,0−
1
2
⋅
15,0⋅12,0⋅19,0
12,0⋅4,020,0⋅20,0−1
2
⋅
15,0⋅12,0
=
11,13 cm
.
(Z10/1.5)
Rysunek Z10/1.3 przedstawia położenie środka ciężkości przekroju.
4,0
4,0
6,0
4,0
4,0
6,0
4,
0
5,
0
15
,0
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
4,
0
20
,0
11
,13
12
,87
6,0
6,0
10,0
Rys. Z10/1.3. Położenie środka ciężkości przekroju
Oś Z=Z
gl
jest osią główną, ponieważ jest ona osią symetrii przekroju, a jak wiadomo w układzie,
w którym przynajmniej jedna oś jest osią symetrii moment dewiacyjny wynosi zero. Moment ten jest równy
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
3
zero także w układzie osi głównych. Rysunek Z10/1.4 przedstawia podział przekroju na figury składowe. Jak
widać na nim współrzędne y wszystkich środków ciężkości wynoszą zero. Współrzędne z możemy wyzna-
czyć z zależności
4,0
4,0
12,0
4,0
4,0
12,0
4,
0
5,
0
15
,0
[cm]
20,0
Y=Y
gl
Z=Z
02
=Z
03
=Z
gl
4,
0
20
,0
sc
1
9,1
3
2,
87
7,8
7
sc
2
sc
3
Y
02
Y
03
Y
01
Z
01
11
,13
12
,87
Rys. Z10/1.4. Podział przekroju na figury składowe
z
01
=
2,0
−
11,13
=−
9,13cm
,
(Z10/1.6)
z
02
=
14,0−11,13=2,87cm
,
(Z10/1.7)
z
03
=
19,0−11,13=7,87 cm
.
(Z10/1.8)
Zgodnie z wzorami (6.31) i (6.32) główne momenty bezwładności przekroju wynoszą
J
Y
=
J
Ygl
=
12,0
⋅
4,0
3
12
−
9,13
2
⋅
12,0
⋅
4,0
20,0
⋅
20,0
3
12
2,87
2
⋅
20,0
⋅
20,0
−
12,0
⋅
15,0
3
36
7,87
2
⋅
1
2
⋅
12,0
⋅
15,0
=
13990cm
4
,
(Z10/1.9)
J
Z
=
J
Zgl
=
4,0⋅12,0
3
12
0,0
2
⋅
12,0⋅4,0
20,0⋅20,0
3
12
0,0
2
⋅
20,0⋅20,0
−
15,0⋅12,0
3
48
0,0
2
⋅
1
2
⋅
12,0⋅15,0
=
13370 cm
4
.
(Z10/1.10)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
4
Z10/1.3. Wykres naprężenia normalnego
Rysunek Z10/1.5 przedstawia położenie punktu przyłożenia siły normalnej o wartości -200,0 kN
w przekroju pręta. Mimośrody wynoszą więc
y
N
=−
10,0 cm
,
(Z10/1.11)
z
N
=
12,87 cm
.
(Z10/1.12)
Zgodnie z (10.3) i (10.4) momenty zginające wynoszą
M
Y
=−
200,0⋅12,87=−2574kNcm
,
(Z10/1.12)
M
Z
=−
−
200,0
⋅
−
10,0
=−
2000 kNcm
.
(Z10/1.13)
Jak więc widać oba momenty zginające są ujemne. Momenty te przedstawia także rysunek Z10/1.5.
4,0
4,0
6,0
4,0
4,0
6,0
4,
0
5,
0
15
,0
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
4,
0
20
,0
11
,13
12
,87
6,0
6,0
10,0
A
2574 kNcm
2000 kNcm
Rys. Z10/1.5. Momenty zginające w przekroju pręta
Zgodnie z (10.16) funkcja naprężenia normalnego będzie miała postać
X
=
−
200,0
358,0
−
−
2000
13370
⋅
y
−
2574
13990
⋅
z
,
(Z10/1.14)
X
=−
0,5587
0,1496
⋅
y
−
0,1840
⋅
z
.
(Z10/1.15)
Równanie osi obojętnej będzie miało postać
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
5
−
0,55870,1496⋅y−0,1840⋅z=0
,
(Z10/1.16)
które możemy przedstawić w postaci
0,1496⋅y−0,1840⋅z=0,5587
.
(Z10/1.17)
Po podzieleniu przez wyraz wolny otrzymamy
0,2678⋅y −0,3293⋅z=1
.
(Z10/1.18)
Postać odcinkowa osi obojętnej będzie miała postać
y
3,734
z
−
3,037
=
1
.
(Z10/1.19)
Współrzędne odcinkowe osi obojętnej wynoszą więc
y
0
=
3,734 cm
,
(Z10/1.20)
z
0
=−
3,037 cm
.
(Z10/1.21)
Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.6. Na rysunku tym widać, że najdalej oddalonymi
punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą
X
A
=−
0,55870,1496⋅
−
10,0
−
0,1840⋅12,87=−4,423
kN
cm
2
=−
44,23 MPa
,
(Z10/1.22)
X
B
=−
0,55870,1496⋅6,0−0,1840⋅
−
11,13
=
2,387
kN
cm
2
=
23,87 MPa
.
(Z10/1.23)
Wykres naprężenia normalnego w przekroju przedstawia rysunek Z10/1.7.
Z10/1.4. Wyznaczenie rdzenia przekroju
Zgodnie z wzorami (10.22) i (10.23) kwadraty promieni bezwładności względem osi Y=Y
gl
oraz Z=Z
gl
wynoszą
i
Y
2
=
13990
358,0
=
39,08 cm
,
(Z10/1.24)
i
Z
2
=
13370
358,0
=
37,35 cm
.
(Z10/1.25)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
6
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
11
,1
3
12
,8
7
10,0
3,0
37
3,734
A
B
4,0
4,0
6,0
6,0
Rys. Z10/1.6. Położenie osi obojętnej
Y=Y
gl
Z=Z
gl
B
A
σ
X
[MP
a]
0,0
5,5
87
44
,23
23
,87
Rys. Z10/1.7. Wykres naprężenia normalnego w przekroju
Ponieważ przekrój jest symetryczny wyznaczymy tylko osie obojętne dla punktów znajdujących się po lewej
stronie osi Z=Z
gl
, która jest osią symetrii tego przekroju. Rysunek Z10/1.8 przedstawia wszystkie wierz-
chołki zastępczego konturu wypukłego opisanego na przekroju, dla których powinniśmy wyznaczyć
położenie odpowiadających im osi obojętnych. My wykorzystamy tylko punkty 1, 2 i 3.
Współrzędne punktu 1 wynoszą
y
N
1
=
6,0 cm , z
N
1
=−
11,13 cm
.
(Z10/1.26)
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
7
4,0
4,0
6,0
4,0
4,0
6,0
4,
0
5,
0
15
,0
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
4,
0
20
,0
11
,13
12
,87
6,0
6,0
10,0
3
2
1
4
5
6
Rys. Z10/1.8. Wierzchołki zastępczego konturu wypukłego opisanego na przekroju
y
0
1
=−
37,35
6,0
=−
6,225 cm
,
(Z10/1.27)
z
0
1
=−
39,08
−
11,13
=
3,511 cm
.
(Z10/1.28)
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.9.
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
11
,1
3
12
,8
7
10,0
6,225
1
4,0
4,0
6,0
6,0
3,5
11
Rys. Z10/1.9. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 1
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
8
Współrzędne punktu 2 wynoszą
y
N
2
=
10,0 cm , z
N
2
=−
7,13cm
.
(Z10/1.29)
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc
y
0
2
=−
37,35
10,0
=−
3,735 cm
,
(Z10/1.30)
z
0
2
=−
39,08
−
7,13
=
5,481 cm
.
(Z10/1.31)
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.10.
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
11
,1
3
12
,8
7
10,0
3,735
2
4,0
4,0
6,0
6,0
5,
481
Rys. Z10/1.10. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 2
Współrzędne punktu 3 wynoszą
y
N
3
=
10,0 cm , z
N
3
=
12,87 cm
.
(Z10/1.32)
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc
y
0
3
=−
37,35
10,0
=−
3,735 cm
,
(Z10/1.33)
z
0
3
=−
39,08
12,87
=−
3,037 cm
.
(Z10/1.34)
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.11.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
9
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
11
,1
3
12
,8
7
10,0
3,735
3
4,0
4,0
6,0
6,0
3,
037
Rys. Z10/1.11. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 3
Rysunek Z10/1.12 a) przedstawia wszystkie trzy osie obojętne odpowiadające punktom numer 1, 2 i 3.
Obszar leżący pomiędzy tymi osiami a osią Z=Z
gl
jest połową szukanego rdzenia przekroju. Rysunek
Z10/1.12 b) przedstawia cały rdzeń przekroju.
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
11
,1
3
12
,8
7
10,0
4,0
4,0
6,0
6,0
1
1
2
2
3
3
[cm]
10,0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
11
,13
12
,87
10,0
4,0
4,0
6,0
6,0
a)
b)
Rys. Z10/1.12. Rdzeń przekroju
Dr inż. Janusz Dębiński
Document Outline