Statystyka opisowa, II rok NE        B.Z.©  

 

 

1 

WZORY NA KOLOKWIUM NR 1 

 
W przypadku tworzenia szeregu rozdzielczego wprowadza się następujące oznaczenia: 
i oznacza numer klasy, i=1,2,...k , 
k oznacza liczbę klas (liczba wariantów cechy),  

i

x  oznacza wartość cechy w i- tej klasie, 

i

n   oznacza  liczebność  i-tej  klasy,  przy  czym  spełniony  jest  warunek,  że  suma  wszystkich 

liczebności jest równa wielkości próby, czyli 

∑

=

=

k

i

i

n

n

1

, 

i

i

n

n

ω

=

 oznacza częstość względną i-tej klasy, przy czym 

∑

=

=

ω

k

i

i

1

1

 oraz 

1

0

≤

ω

≤

i

. 

( )

i sk

n

 oznacza liczebność skumulowana i-tej klasy, otrzymuje się ją jako sumę liczebności tej 

klasy i liczebności wszystkich klas poprzednich 

( )

1

2

...

i

i sk

n

n

n

n

= + + +

 

( )

( )

i sk

i sk

n

n

ω

=

oznacza 

częstość 

skumulowaną 

i

-tej 

klasy, 

otrzymuje 

się 

jako: 

i

i

sk

ω

ω

ω

ω

+

+

+

=

...

2

1

 

 
Dolna i górna granica klasy oznaczone są następującymi symbolami: 

0i

x  oraz 

1i

x . Rozpiętość 

(szerokość) klasy: 

1

0

i

i

i

h

x

x

=

−

. 

 

 
Ś

rednia arytmetyczna: 

1

1

n

i

i

x

x

n

=

=

∑

        

1

1

k

i

i

i

x

x n

n

=

=

∑

        

1

1

k

i

i

i

x

x n

n

=

=

∑

i

 

 

Ś

rednia ważona: 

1

k

i

i

i

x

x

ω

=

=

∑

 

Dominanta (modalna) dla szeregów rozdzielczych przedziałowych: 

(

)

(

)

1

0

1

1

m

m

m

m

m

m

m

m

n

n

Mo

x

h

n

n

n

n

−

−

+

−

=

+

−

+

−

, 

gdzie: 
m- numer klasy w której występuje dominanta; 

0m

x

- dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta; 

m

n  - liczebność klasy, w którym występuje dominanta 

1

1

;

m

m

n

n

−

+

- liczebności klasy poprzedzającej i następującej 

m

h - długość klasy w której jest dominanta. 

 
 
 
 
 
 
 
 

Statystyka opisowa, II rok NE        B.Z.©  

 

 

2 

Mediana – wartość środkowa: 
- dla szeregów szczegółowych i rozdzielczych punktowych: 

1

2

1

2

2

gdy jest nieparzyste

x

gdy jest parzyste

2

n

n

n

x

Me

x





+ 

















 

















+

















 

















=









+























 

- dla szeregów rozdzielczych przedziałowych: 

1

1

0

2

m

i

i

m

m

m

n

n

Me

x

h

n

−

=

−

=

+

∑

,  

gdzie: m 

– numer przedziału, w którym występuje mediana; 

om

x

– dolna granica przedziału, w którym występuje mediana; 

m

n  

– liczebność przedziału, w którym jest mediana; 

1

1

m

i

i

n

−

=

∑

 - suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany (liczebność 

skumulowana); 

m

h

 

– rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest mediana. 

 
Kwartyl dolny i górny: 
 

1

1

1

0

4

m

i

i

m

m

m

n

n

Q

x

h

n

−

=

−

=

+

∑

 oraz 

1

1

3

0

3

4

m

i

i

m

m

m

n

n

Q

x

h

n

−

=

−

=

+

∑

 

Rozstęp

max

min

R

x

x

=

−

 

 
Wariancja: 

(

)

2

2

2

2

1

1

1

1

n

n

i

i

i

i

s

x

x

x

x

n

n

=

=

=

−

=

−

∑

∑

      

(

)

2

2

2

2

1

1

1

1

k

k

i

i

i

i

i

i

s

x

x

n

x n

x

n

n

=

=

=

−

=

−

∑

∑

 

2

2

2

2

1

1

1

1

k

k

i

i

i

i

i

i

s

x

x

n

x n

x

n

n

=

=







=

−

=

−











∑

∑

i

i

 

Typowy przedział zmienności cechy: 

typ

x

s

x

x

s

− <

< +  

Odchylenie ćwiartkowe określa odchylenie wartości cechy od mediany 

3

1

2

Q

Q

Q

−

=

 

 

Typowy obszar zmienności cechy: 

typ

Me

Q

x

Me

Q

−

<

<

+

 

 

Współczynnik zmienności:  

s

s

V

x

=

   

Q

Q

V

Me

=

  

 
 

Współczynnik skośności: 

s

x

Mo

A

s

−

=

   

3

1

2

2

Q

Q

Q

Me

A

Q

+

−

=