6 [kN/m]
2
4
6
6
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
Rys.1.1. Zadany schemat ramy statycznie niewyznaczalnej
SGN =
∑
∑
∑
∑
∑
=
∑
=
1/18
6 [kN/m]
2
4
6
6
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
Rys.1.1. Zadany schemat ramy statycznie niewyznaczalnej
SGN =
∑
∑
∑
∑
∑
=
∑
=
1/18
SGN
=3
(1.2)
W pierwszej kolejności przyjmuję odpowiedni układ podstawowy:
6 [kN/m]
2
4
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
0
1
2
3
4
6
5
6
R
2
R
1
R
3
φ
3
=z
3
u
2
=z
1
φ
2
=z
2
Rys.1.2.Układ podstawowy
Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń przyjmuje postać:
{
R
1
=0
R
2
=0
R
3
=0
}
{
r
11
z
1
r
12
z
2
r
13
z
3
R
1 P
=0
r
21
z
1
r
22
z
2
r
23
z
3
R
2 P
=0
r
31
z
1
r
32
z
2
r
33
z
3
R
3 P
=0
}
(1.3)
Wykorzystując wzory transformacyjne metody przemieszczeń określę wartości przęsłowych przywęzłowych
momentów M
ik
jako funkcji z
1
, z
2
, z
3
, “P”, co w późniejszym etapie umoŜliwi obliczenie współczynników
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
2/18
r
ik
równań kanonicznych.
Otrzymujemy zatem:
M
01
=
3 EI
1
l
01
⋅
0
−
01
=
−3 EI
4
⋅
01
M
10
=0
[kNm]
Rys.1.3. Pręt 01
M
12
=0
M
21
=
3 EI
2
l
12
⋅
2
−
12
q⋅l
12
x
2
8
=
3⋅1,389 ⋅EI
2
10
⋅ z
2
−
12
6⋅6
2
8
[kNm]
Rys.1.4. Pręt 12
M
23
=
2 EI
1
l
23
⋅2
2
3
−3
23
=EI⋅2 z
2
z
3
−3
23
M
32
=
2 EI
1
l
23
⋅
2
2
3
−3
23
=EI⋅ z
2
2 z
3
−3
23
[kNm]
Rys.1.5. Pręt 23
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
3/18
4
I
1
0
1
6 [kN/m]
2
6
I
2
1
2
2
I
1
2
3
M
34
=
2 EI
1
l
34
⋅2
3
4
−3
34
=
EI
2
⋅2 z
3
−3
34
M
43
=
2 EI
1
l
34
⋅
3
2
4
−3
34
=
EI
2
⋅ z
3
−3
34
[kNm]
Rys.1.6. Pręt 34
M
53
=0
M
35
=
3 EI
2
l
35
⋅
3
−
35
−
q⋅l
35
x
2
8
=
3⋅1,389 EI
2
10
⋅ z
3
−
35
−
6⋅6
2
8
[kNm]
Rys.1.7 Pręt 35
M
56
=0
M
65
=
3 EI
1
l
56
⋅
6
−
56
=
−EI
2
⋅
56
[kNm]
Rys.1.8. Pręt 56
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
4/18
4
I
1
3
4
6 [kN/m]
2
6
I
2
3
5
6
I
1
6
Pojawiające się wartości kątów obrotów cięciw (prętów) naleŜy określić z równania łańcucha
kinematycznego jako funkcje niezaleŜnych przesuwów (tutaj z
1
):
Określenie funkcji
ik
f z
1
:
2
4
6
6
ψ
01
ψ
23
Rys.1.9 Łańcuch kinematyczny w stanie z
1
Rozpisuję równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niŜej dróg:
56
6
56
0
56
0
4356 6
35
0
35
0
4356
4
34
2
35
6
56
0
34
0
012 6
12
0
12
0
012
4
01
2
12
z
1
01
z
1
4
234
z
1
2
23
4
34
0
23
z
1
2
[rad]
(1.4)
Stąd wartości momentów przęsłowych wynoszą;
M
01
3 EI
4
z
1
4
3 EI z
1
16
M
10
0
M
12
0
M
21
3 1,389 EI
2 10
z
2
6
3
8
M
23
EI 2 z
2
z
3
1,5 z
1
M
32
EI z
2
2 z
3
1,5 z
1
M
34
EI z
3
M
43
0,5 EI z
3
M
35
3 1,389 EI
2 10
z
3
6
3
8
M
53
0
M
65
M
56
0
[kNm]
(1.5)
Na podstawie wzorów 1.5. określam wartości momentów od poszczególnych stanów obciąŜeń:
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
5/18
Stan z
1
=1
3
16
E I
1
3
2 E I
1
3
2 E I
1
r
11
r
31
r
21
3
16
E I
1
3
2 E I
1
3
2 E I
1
r
11
r
31
r
21
-
-
-
Rys.1.10. Stan z
1
=1 – M
1
(0)
Stan z
2
=1
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
6/18
2 E I
1
E I
1
r
12
r
32
r
22
2 E I
1
E I
1
r
12
r
22
0,659 E I
1
r
32
0,659 E I
1
Rys.1.11. Stan z
2
=1- M
2
(0)
Stan z
3
=1
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
7/18
E I
1
2 E I
1
r
13
r
33
r
23
E I
1
r
13
r
23
r
33
0,659 E I
1
E I
1
E I
1
2
E I
1
2
2 E I
1
E I
1
0,659 E I
1
Rys.1.12 Stan z
3
=1- M
3
(0)
Stan P
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
8/18
R
1P
R
3P
R
2P
27
-27
27
27
R
1P
R
3P
R
2P
Rys.1.13 Stan P – obciąŜenie zewnętrzne -M
P
[kNm]
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
9/18
Określenie współczynników r
ik
dla drugiego i trzeciego równania kanonicznego a więc r
21
, r
22
, r
23
, R
2P ,
r
31
, r
32
,
r
33
, R
3P
z wykorzystaniem równowagi węzła 2 i 3:
r
21
=−1,5 EI
r
31
=−1,5 EI
Rys.1.14 Równowaga węzła 2 i 3 w stanie z
1
=1
r
22
=0,6592 EI =2,659 EI
r
32
=EI
Rys.1.15 Równowaga węzła 2 i 3 w stanie z
2
=1
r
23
=EI
r
33
=3,659 EI
Rys.1.16 Równowaga węzła 2 i 3 w stanie z
3
=1
R
2 P
=27
R
3 P
=−27 [kNm]
Rys.1.17 Równowaga węzła 2 i 3 w stanie P
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
10/18
r
21
-1,5EI
2
-1,5EI
3
r
31
r
22
2EI
2
EI
3
r
32
0,659EI
r
23
EI
2
2EI
3
r
23
EI
EI
0,659EI
R
2P
2
3
R
3P
27
-27
Aby obliczyć pozostałe współczynniki układu równań kanonicznych r
ik
naleŜy skorzystać z zasady pracy
wirtualnej w wirtualnym stanie przemieszczeń
z
1
1
3
ψ
01
=
4
1
ψ
23
=
4
1
36 [kN]
36 [kN]
3
3
3
z
1
=1
Rys.1.18. Stan wirtualny przemieszczeń
z
1
1
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z
1
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.18
otrzymujemy:
r
11
1
3
16
EI
1
4
1,5 EI
1,5 EI
1
2
0
r
11
1,547 EI
(1.6)
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z
2
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.18
otrzymujemy:
r
12
1
2 EI
EI
1
2
0
r
12
1,5 EI
(1.7)
Obliczając pracę sił w stanie rzeczywistym z
3
=1 na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.18
otrzymujemy:
r
13
1
2 EI
EI
1
2
0
r
13
1,5 EI
(1.8)
Aby obliczyć pracę sił w stanie rzeczywistym P oprócz wirtualnych kątów obrotu prętów przedstawionych
na rysunku 1.18. musimy znać równieŜ wirtualne przemieszczenia pionowe punktów przyłoŜenia
wypadkowych sił rzeczywistych od obciąŜenia ciągłego na prętach 12 i 35. Pręt 35 nie ulega
przemieszczeniu, natomiast pręt 12 ulega wyłącznie przesunięciu równoległemu w poziomie. Obliczając
pracę sił w stanie rzeczywistym P na przemieszczeniach wirtualnych jak na rysunku 1.18 otrzymujemy:
R
1 P
1 0
R
1 P
0 [kN]
(1.9)
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
11/18
Uwzględniając powyŜsze wartości współczynników r
ik
układ równań kanonicznych 1.3. przyjmie postać:
{
1,547 EI z
1
−1,5 EI z
2
−1,5 EI z
3
=0
−1,5 EI z
1
2,659 EI z
2
EI z
3
27=0
−1,5 EI z
1
EI z
2
3,659 EI z
3
−27=0
}
(1.10)
Rozwiązanie powyŜszego układu jest następujące:
EI z
1
=−10,6897
EI z
2
=−19,2947
EI z
3
=8,2701
(1.11)
Podstawiając wartości niewiadomych (1.11) do wzorów 1.5. otrzymam następujące wartości przęsłowych
momentów przywęzłowych:
M
01
=2,004
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=14,287
M
23
=−14,285
M
32
=13,280
M
34
=8,270
M
43
=4,135
M
35
=−21,551
M
53
=0
M
56
=0
M
65
=0
[kNm]
(1.12)
14,287
21,551
2,004
14,285
8,270
4,135
13,280
20,33
2,74
17,3
2,53
Rys.1.19. Momenty zginające w układzie statycznie niewyznaczalnym M
(n)
[kNm]
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
12/18
Wstępną kontrolę wykonuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 2 i 3.
Z równowagi węzła 2 otrzymam:
∑
M =14,285−14,287=−0,002 ≈0 [ kNm]
(1.13)
Z równowagi węzła 3 otrzymam:
∑
M =21,551−13,280−8,270=0,001 ≈0 [ kNm]
(1.14)
Mając określone wartości momentów zginających na kaŜdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił
tnących w tych prętach
∑
M
1
=0 ⇒T
01
=T
10
=−0,501 [kN ]
Rys.1.20. Pręt 01
∑
M
1
=0 ⇒14,287T
21
⋅
406⋅6⋅3=0 ⇒ T
21
=−19,335 [kN ]
∑
M
2
=0 ⇒T
12
40−6⋅6⋅314,287=0 ⇒ T
12
=14,817 [kN ]
Rys.1.21. Pręt 12
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
13/18
I
1
0
1
N
10
N
01
T
01
T
10
2,004
6 [kN/m]
2
6
I
2
1
2
N
21
N
12
T
12
T
21
14,287
∑
M
2
=0 ⇒13,28−14,285T
32
⋅2=0 ⇒T
32
=T
23
=0,503 [kN ]
Rys.1.22. Pręt 23
∑
M
3
=0 ⇒8,274,1354 T
43
=0 ⇒T
34
=T
43
=−3,101 [kN ]
Rys.1.23. Pręt 34
∑
M
5
=0 ⇒−21,551−36⋅3T
35
⋅
40=0
T
35
=20,484 [kN ]
∑
M
3
=0 ⇒−21,55136⋅3T
53
⋅
40=0
T
53
=−13,669 [kN ]
Rys.1.24. Pręt 35
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
14/18
N
23
N
32
T
32
T
23
13,280
2
I
1
2
3
14,285
4
I
1
3
4
N
34
N
43
T
43
T
34
4,135
8,2701
6 [kN/m]
2
6
I
2
3
5
N
53
N
35
T
35
T
53
21,551
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
14,817
- 0,501
19,335
0,503
- 3,101
13,669
+
-
+
+20,484
-
Rys.1.25. Siły tnące w układzie statycznie niewyznaczalnym T
(n)
[kN]
Wyznaczając wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.
N
12
14,817
1
α
0,501
N
10
α
Rys.1.26. Równowaga węzła 1
Mając dane:
sin
1
10
cos
3
10
(1.15)
Z równowagi węzła 1:
X
0 : 0,501 14,817 sin
N
12
cos
0
N
12
5,467 kN
Y
0 : N
01
14,817 cos
N
12
sin
0
N
01
15,785 kN
(1.16)
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
15/18
N
21
19,335
2
α
0,503
N
23
α
Rys.1.27.Równowaga węzła 2
Z równowagi węzła 2:
∑
X =0 :− N
21
cos 19,335 sin −0,503=0 ⇒ N
21
=5,915 [kN ]
∑
Y =0 :−N
21
sin −19,335 cos = N
23
⇒ N
23
=−20,213 [kN ]
(1.17)
N
35
20,484
3
α
3,101
N
34
α
0,503
20,213
Rys.1.28.Równowaga węzła 3
Z równowagi węzła 3:
∑
X =0 : 0,503 N
35
cos 20,484 sin 3,101=0 ⇒ N
35
=−10,627 [kN ]
∑
Y =0 :−20,213 −N
34
−20,484 cos N
35
sin =0 ⇒ N
34
=−43,006 [kN ]
(1.18)
Aby wykonać równowagę węzła 5 konieczne jest określenie wartości poziomej reakcji H
5
w podporze
występującej w tym węźle. Wykorzystam w tym celu obliczone wcześniej wartości sił z tnących, bowiem
dla całego układu:
∑
X =0 : 0,5013,101−H
5
=0 ⇒ H
5
=3,602 [kN ]
(1.19)
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
16/18
Rys.1.29.Równowaga węzła 5
Z równowagi węzła 5:
∑
X =0 : N
53
cos =13,669 sin −3,602 ⇒ N
53
=0,759 [ kN ]
∑
Y =0 :− N
53
sin −13,669 cos = N
56
⇒ N
56
=−13,208 [kN ]
(1.20)
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
5,467
- 15,785
10,627
-
-
-
5,915
+
43,006
20,213
-
+
0,759
- 13,208
Rys.1.30. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym N
(n)
[kN]
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
17/18
N
53
13,669
5
α
0,0
N
56
α
3,602
Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:
6 [kN/m]
2
4
6
6
13,208
0,0
3,602
43,006
15,785
3,101
0,501
2,004
4,135
A
Rys.1.31. Kontrola statyczna-siły działające na zadany układ
∑
X =0 : 0,5013,101−3,602=0 [ kN ]
∑
Y =0 :−7215,78543,00613,208=−1⋅10
−3
≈0 [kN ]
∑
M
A
=0 : 2,0044,13515,785⋅6−13,208 ⋅6−3,602 ⋅6=−0,011 ≈0 [kNm]
(1.21)
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
18/18