Krzysztof Wójtowicz
Strona 1
Politechnika Poznańska Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz
Instytut Konstrukcji Budowlanych Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka
Zakład Mechaniki Budowli
Obliczenie Ramy Metodą Przemieszczeń
Zakładamy przekroje dwuteowe:
I1- I220 -I1=3060 cm
4
I2- I240 -I2=4250 cm
4
1,389I1
I2
1,389
3060
4250
I1
I2
=
⇒
=
=
Krzysztof Wójtowicz
Strona 2
Układ podstawowy
SGN=3
Ponieważ układ podstawowy jest identyczny jak dla ramy obliczonej dla sił zewnętrznych
reakcje r
ik
pozostają takie same. Pozostaje tylko obliczyć r
i
∆
.
Łańcuch kinematyczny
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
⇒
=
=
=
∆
∆
∆
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
R3
0
R2
0
R1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
Krzysztof Wójtowicz
Strona 3
Kąty obrotu prętów powstałe od osiadania podpór w układzie podstawowym
43
→
523
→
5234
↓
0125
→
-0,004+
Ψ
43
·4=0 0+
Ψ
52
·
4+0=0 0+
Ψ
52
·
0+
Ψ
23
·
6=0,005 0,005+
Ψ
01
·
0+
Ψ
12
·
4+
Ψ
25
·0=0
Ψ
43
=0,001rad
Ψ
52
=0
Ψ
23
=0,00083333rad
Ψ
12
= -0,00125rad
0123
→
Ψ
01
·
3+
Ψ
12
·
1+
Ψ
23
·
0=0
Ψ
01
·
3= -
Ψ
12
Ψ
01
=
rad
0,00041667
3
0,00125
=
−
−
Podstawiając do wzorów transformacyjnych otrzymujemy momenty(EI
1
=6273kNm
2
):
kNm
kNm
2275
,
5
)
0041667
,
0
3
0
0
(2
3
6273
2
M
2275
,
5
)
00041667
,
0
3
0
0
(2
3
6273
2
M
10
01
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
∆
∆
kNm
kNm
kNm
kNm
kNm
kNm
273
,
6
0)
3
0,002
0
(2
4
6273
2
M
546
,
12
)
0
3
0
0,002
(2
4
6273
2
M
7048
,
4
)
001
,
0
(0
4
6273
3
M
6305
,
3
)
00083333
,
0
(0
6
6273
1,389
3
M
8499
,
15
)
)
00125
,
0
(
3
0
0
(2
4,123
6273
1,389
2
M
8499
,
15
)
)
00125
,
0
(
3
0
0
(2
4,123
6273
1,389
2
M
25
52
43
23
21
12
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
−
=
−
⋅
=
−
=
−
⋅
⋅
=
=
−
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
=
−
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
Krzysztof Wójtowicz
Strona 4
Z równowagi węzłów otrzymujemy
18,4924kNm
r
0
15,8499
6,273
3,6305
r
2∆
2∆
=
=
−
−
+
r
3
∆
obliczymy z pracy wirtualnej
Ψ=0,3333
Ψ=0,25
Ψ=0,25
_
_
_
_
− −
0,043899kN
r
0
0,25
4,7048
0,25
6,273
0,25
12,546
0,3333
5,2275)
(
2
1
r
3∆
____
_____
____
_______
_
3∆
=
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
Podstawiając do równań kanonicznych otrzymujemy
=
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
0
043899
,
0
6787
,
0
375
,
0
6666
,
0
0
4924
,
18
375
,
0
0425
,
3
6738
,
0
0
6224
,
10
6666
,
0
6738
,
0
681
,
2
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
−
=
−
=
−
=
50995
,
7
0494
,
6
3090
,
4
1
3
1
2
1
1
EI
z
EI
z
EI
z
Podstawiając wartości do równań momentowych(wzory redukcyjne) z poprzedniej części
projektu, uwzględniając momenty od osiadań otrzymujemy:
-5,9653kNm
2275
,
5
)
50995
,
7
(
0,6666
)
3090
,
4
(
1,333
M
0942
,
3
2275
,
5
)
50995
,
7
(
0,6666
)
3090
,
4
(
0,6667
M
10
01
=
−
−
⋅
−
−
⋅
=
−
=
−
−
⋅
−
−
⋅
=
kNm
3,0398kNm
273
,
6
)
50995
,
7
(
0,3750
)
0494
,
6
(
1
M
3375
,
12
546
,
12
)
50995
,
7
(
0,3750
)
0494
,
6
(
0,5
M
2967
,
3
7048
,
4
)
50995
,
7
(
0,1875
M
8318
,
7
6305
,
3
)
0494
,
6
(
0,6945
M
7919
,
4
8499
,
5
1
)
3090
,
4
(
0,6738
)
0494
,
6
(
1,348
M
9653
,
5
8499
,
15
)
0494
,
6
(
0,6738
)
3090
,
4
(
1,348
M
25
52
43
23
21
12
=
+
−
⋅
−
−
⋅
=
=
+
−
⋅
−
−
⋅
=
−
=
−
−
⋅
−
=
−
=
−
−
⋅
=
=
+
−
⋅
+
−
⋅
=
=
+
−
⋅
+
−
⋅
=
kNm
kNm
kNm
kNm
kNm
10,6224kNm
r
0
5,2275
15,8499
r
1∆
1∆
=
=
+
−
Krzysztof Wójtowicz
Strona 5
Kontrola kinematyczna
H
A
= 0
⇒
0
_
1
_
=
∆
⋅
−
⋅
∑∫
R
dx
EI
M
M
N
EI
1
=6273kNcm
2
H
A
=
(
)
%
006
,
0
%
100
00400024
,
0
0,00000024
0
00000024
,
0
004
,
0
00400024
,
0
004
,
0
5824
,
17
389
,
1
1
5926
,
37
9674
,
5
7164
,
14
2546
,
13
6273
1
1
004
,
0
4
,
0
005
,
0
4
,
0
005
,
0
2967
,
3
3
2
4
4
2
1
8318
,
7
3
2
6
4
,
2
2
1
9653
,
5
3
1
7919
,
4
3
2
123
,
4
4
,
2
2
1
9653
,
5
3
2
7919
,
4
3
1
123
,
4
3
2
1
389
,
1
1
9653
,
5
3
2
0942
,
3
3
1
3
3
2
1
6273
1
=
⋅
≈
=
−
=
−
+
⋅
+
+
−
+
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
Krzysztof Wójtowicz
Strona 6
Obliczenie sił tnących
(
siły tnące obliczamy z sumy momentów, dlatego siły normalne pomijamy na rysunkach
gdyż nie wchodzą one do równań momentowych)
kN
T
T
T
M
0198
,
3
0
0942
,
3
9653
,
5
3
:
01
10
10
0
=
=
=
−
−
⋅
∑
kN
T
T
T
M
6091
,
2
0
7919
,
4
9653
,
5
123
,
4
:
12
21
21
1
−
=
=
=
−
+
⋅
∑
kN
T
T
T
M
3053
,
1
0
8318
,
7
0
,
6
:
23
32
32
2
=
=
=
−
⋅
∑
kN
T
T
T
M
8242
,
0
0
2967
,
3
0
,
4
:
43
34
42
3
=
=
=
−
⋅
∑
kN
T
T
T
M
8843
,
3
0
0398
,
3
3375
,
12
4
:
52
25
25
5
−
=
=
=
+
+
⋅
∑
Krzysztof Wójtowicz
Strona 7
Obliczenie sił normalnych
(siły normalne obliczamy z sumy na poszczególne osie dlatego momenty pomijamy na rysunkach
gdyż nie wchodzą one w skład równań)
sin
α
=0,24254 cos
α
=0,97014
N
23
=N
32
= -0,8242kN
Σ
X: -3,0198-2,6091·0,24254+N
12
·
0,97014=0
N
43
=N
34
=1,3053kN N
12
=N
21
=3,765kN
Σ
Y: -N
10
+3,765·0,24254+2,6091·0,97014=0
N
10
=N
01
=3,4444kN
Σ
Y: -N
25
-1,3053-2,691·0,97014-3,765·0,24254=0
N
25
=N
52
= -4,7497kN
Ν
32
Ν
1,3053
0,8242
α
−2,6091
3,0198
α
25
Ν
−2,6091
1,3053
−0,8242
−3,8443
3,765
Krzysztof Wójtowicz
Strona 8
Kontrola
statyczna
Σ
X: -3,0198+3,8443-0,8242=0,0003 kN
≈
0
%
008
,
0
%
100
8443
,
3
0003
,
0
=
⋅
Σ
Y: -3,4444+4,7497-1,3053=0
Σ
M
A
: 3,0198·4-3,4444·4-3,8443·4+0,8242·4+1,3053·6-3,0942+12,3375-3,2967=
=12,0792-13,7776-15,3772+3,2968+7,8319-3,0942+12,3375-3,2967=0,0012 kNm
≈
0
%
01
,
0
%
100
3375
,
12
0012
,
0
=
⋅