AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA W KRAKOWIE
WYDZIAŁ FIZYKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ
JERZY CACHEL
ZADANIA
Z PRĘDKOŚCIĄ
KRAKÓW 2011
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA W KRAKOWIE
WYDZIAŁ FIZYKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ
JERZY CACHEL
ZADANIA
Z PRĘDKOŚCIĄ
KRAKÓW 2011
2
Zadanie 1
Rowerzyści podczas wycieczki rejestrowali swoją szybkość. Oblicz szybkości średnie
kaŜdego rowerzysty jeŜeli:
a) rowerzysta A przez pierwszą godzinę jechał z prędkością 30km/h, a podczas drugiej na
skutek zmęczenia jechał z prędkością 10km/h,
b) rowerzysta B pierwsze 20km jechał z prędkością 30km/h, a kolejne 20km z prędkością
10km/h,
c) rowerzysta C godzinę jechał z prędkością 30km/h, a następnie 20km z prędkością
10km/h.
a)
km/h
10
km/h,
30
h,
1
h,
1
:
dane
2
1
2
1
=
=
=
=
v
v
t
t
h
km
20
h
2
km
10
km
30
2
1
2
1
.
=
+
=
+
+
=
t
t
s
s
v
ś
r
b)
km/h
10
km/h,
30
km,
20
km,
20
:
dane
2
1
2
1
=
=
=
=
v
v
s
s
h
km
15
h
3
8
km
40
h
km
10
km
20
h
km
30
km
20
km
20
km
20
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
.
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
v
s
v
s
s
s
t
t
s
s
v
ś
r
c)
km/h
10
km/h,
30
km,
20
h,
1
:
dane
2
1
2
1
=
=
=
=
v
v
s
t
h
km
3
2
16
h
3
km
50
h
km
10
km
20
h
1
km
20
km
30
2
2
1
2
1
2
1
2
1
.
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
v
s
t
s
s
t
t
s
s
v
ś
r
Zadanie 2
Motocyklista odbył drogę z Myślenic do Krakowa ze średnią prędkością
1
v
, a z powrotem
z Krakowa do Myślenic z przeciętną prędkością
2
v
. Obliczyć średnią prędkość jazdy
motocyklisty na trasie Myślenice-Kraków-Myślenice.
1
1
t
s
v
=
2
2
t
s
v
=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
v
v
v
v
v
v
v
s
v
s
s
t
t
s
v
+
=
+
=
+
=
+
=
Średnia prędkość jazdy v jest średnią harmoniczną obu prędkości
2
1
, v
v
.
3
Zadanie 3
Połowę pewnej drogi samochód jechał z prędkością 60km/h, drugą połowę z prędkością
ś
rednią 90km/h. Z jaką prędkością przejechał całą drogę?
dane:
h
km
90
,
h
km
60
2
1
=
=
v
v
1
1
t
s
v
=
2
2
t
s
v
=
h
km
72
h
km
150
h
km
90
h
km
60
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
⋅
⋅
=
+
=
+
=
+
=
+
=
v
v
v
v
v
v
v
s
v
s
s
t
t
s
v
Zadanie 4
Koń biegnący kłusem osiąga prędkość 5 m/s, a cwałem 8 m/s. Koń biegł kłusem przez
4 minuty, a następnie 2 minuty cwałował. Z jaką średnią prędkością biegł koń przez
te 6 minut?
Wprowadźmy dane:
s
m
8
,
s
m
5
2
1
=
=
v
v
s
120
,
s
240
2
1
=
=
t
t
Wtedy dostajemy:
s
m
6
s
m
3
18
s
360
m
120
8
m
240
5
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
.
=
=
⋅
+
⋅
=
+
+
=
+
+
=
t
t
t
v
t
v
t
t
s
s
v
ś
r
Zadanie 5
Rajdowiec miał do przejechania trzy odcinki specjalne, kaŜdy tej samej długości. Odcinki te
pokonał odpowiednio z prędkościami
.
,
,
3
2
1
v
v
v
Jaka była średnia prędkość rajdowca na całej
trasie?
Niech s oznacza długość odcinka specjalnego, a
)
3
,
2
,
1
(
=
=
i
v
s
t
i
i
- czasem przejazdu
i –tego odcinka specjalnego.
4
Wtedy
3
2
1
3
2
1
3
2
1
.
1
1
1
3
3
3
v
v
v
v
s
v
s
v
s
s
t
t
t
s
v
ś
r
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Zadanie 6
Statek przepłynął 40km z prądem rzeki w 2 godziny a 35km pod prąd w 2,5 godziny.
Oblicz prędkość statku względem wody i prędkość prądu rzeki.
v – prędkość statku u – prędkość prądu rzeki
h
5
,
2
h,
2
km
35
km,
40
:
dane
2
1
2
1
=
=
=
=
t
t
s
s
=
−
=
+
2
2
1
1
t
s
u
v
t
s
u
v
h
km
3
h
km
17
h
2
km
40
h
km
17
h
2,5
h
2
2
km
35
h
2
h
2,5
km
40
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
=
−
=
−
=
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
+
=
+
=
v
t
s
u
t
t
s
t
t
s
v
t
s
t
s
v
Odp.
km/h
3
km/h
17
=
=
u
v
Zadanie 7
Odległość między dwoma przystaniami na rzece wynosi 80km. Statek przepływa tę drogę
w obie strony w ciągu 8 godzin i 20 minut. Obliczyć prędkość statku w wodzie stojącej, jeŜeli
woda w rzece płynie z prędkością 4km/h.
km/h
4
h,
3
1
8
km,
80
:
Dane
=
=
=
w
v
t
d
Niech
s
v oznacza szukaną prędkość.
Wtedy
w
s
v
v
+
– oznacza prędkość statku z prądem
w
s
v
v
−
– oznacza prędkość statku pod prąd
t
v
v
d
v
v
d
w
s
w
s
=
−
+
+
5
(
)
( )
20
25
65
4
240
25
4225
4
240
3
25
625
9
400
3
4
80
3
25
3
100
80
80
2
2
2
4
4
0
2
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
+
=
+
=
=
+
⋅
+
=
+
+
=
+
=
+
=
∆
=
−
−
−
=
+
+
−
t
tv
d
d
v
v
t
d
tv
dv
tv
v
v
t
v
v
d
v
v
d
w
s
w
w
s
s
w
s
w
s
w
s
m
Odp. Szukana prędkość wynosi 20 km/h.
Zadanie 8
Łódź musi płynąć 60km w dół rzeki, a następnie 10km w górę rzeki. Prędkość prądu rzeki
wynosi 5km/h. Jaka powinna być prędkość własna łodzi, aby cała podróŜ nie trwała dłuŜej
niŜ 10 godzin?
h
10
,
h
km
5
,
h
km
10
,
h
km
60
:
Dane
2
1
=
=
=
=
t
v
s
s
r
JeŜeli przez v oznaczymy prędkość łodzi to otrzymujemy równania
(
)
(
)
r
r
r
r
v
v
s
t
t
v
v
s
v
v
s
t
t
v
v
s
−
=
⇒
−
=
+
=
⇒
+
=
2
2
2
2
1
1
1
1
gdzie
2
1
,t
t
to odpowiednio czasy podróŜy w dół i w górę rzeki.
Mamy zatem nierówność
r
r
v
v
s
v
v
s
t
t
t
−
+
+
=
+
≥
2
1
2
1
7
0
7
1
25
25
7
10
5
10
5
60
2
2
≥
≥
−
≤
−
−
≤
−
+
+
v
v
v
v
v
v
v
Skorzystaliśmy z faktu, Ŝe
5
>
v
- inaczej statek nie popłynąłby w górę rzeki.
Odp. Co najmniej 7 km/h.
6
Zadanie 9
Po okręgu o długości 80m poruszają się 2 punkty ze stałą prędkością. JeŜeli kierunki ruchów
są zgodne, to punkt pierwszy wyprzedza punkt drugi co 5 sekund. JeŜeli zaś kierunki ruchów
są przeciwne, to punkty mijają się co 2 sekundy. Obliczyć prędkości tych punktów.
s
2
s,
5
m,
80
:
dane
2
1
=
=
=
t
t
s
Oznaczmy przez v i u szukane prędkości.
Wtedy
=
+
=
−
s
u
t
v
t
s
u
t
v
t
2
2
1
1
=
+
=
−
2
1
t
s
u
v
t
s
u
v
(
)
(
)
s
m
12
s
m
28
s
2
m
80
s
m
28
s
2
s
5
2
s
2
s
5
m
80
2
2
2
2
1
2
1
2
1
=
−
=
−
=
=
⋅
⋅
+
=
+
=
+
=
v
t
s
u
t
t
t
t
s
v
t
s
t
s
v
Odp. Szukane prędkości wynoszą 28 m/s i 12 m/s.
Zadanie 10
Po okręgu o długości 800m poruszają się dwa ciała. Pierwsze wykonuje pełny obrót
o 5 sekund szybciej niŜ drugie. Gdyby te ciała poruszały się w tym samym kierunku,
to spotkałyby się co 10 sekund. Oblicz prędkość kaŜdego ciała.
2
1
, v
v
- szukane prędkości ciał
2
1
,t
t
- czas pełnego obrotu danych ciał
10
s,
5
m,
800
:
dane
1
2
=
+
=
=
t
t
t
s
s
tv
tv
=
−
2
1
5
1
2
+
=
t
t
1
1
t
s
v
=
2
2
t
s
v
=
1
5
2
2
2
1
=
−
−
=
⋅
−
⋅
t
t
t
t
s
t
s
t
t
s
t
7
(
)
(
)
s
m
80
s
10
m
800
s
m
160
s
5
m
800
s
5
)
s
(
10
2
20
25
5
20
25
0
5
5
5
5
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
=
+
=
∆
=
−
−
−
=
−
−
⋅
t
s
v
t
s
v
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Zadanie 11
Prędkość własna pewnego samolotu wynosi v. Samolot ten leciał z miasta A do miasta B
z wiatrem wiejącym z prędkością u (u<v), a następnie wracał do miasta A, lecąc pod wiatr,
wiejący nadal z tą samą prędkością. Jak prędkość wiatru wpływa na łączny czas przelotu
samolotu na trasie A-B-A?
Niech
s
AB
=
,
2
1
,
t
t
- oznaczają odpowiednio czasy przelotu samolotu z A do B i z B
do A.
PoniewaŜ v+u jest prędkością samolotu z wiatrem, a v-u – prędkością pod wiatr, więc
mamy
u
v
s
t
+
=
1
i
u
v
s
t
−
=
2
Stąd
2
2
2
1
2
u
v
sv
u
v
s
u
v
s
t
t
−
=
−
+
+
=
+
.
Zatem im większa prędkość wiatru, tym czas przelotu na trasie A-B-A dłuŜszy.
Natomiast najkrócej będziemy lecieć, gdy u=0, czyli przy bezwietrznej pogodzie.
Zadanie 12
Turysta odbył podróŜ kajakiem na trasie Kraków-Warszawa-Kraków. Część podróŜy
z biegiem Wisły zajęła mu 4 dni, powrót – 5 dni. Ile dni płynie woda Wisły z Krakowa
do Warszawy?
Oznaczmy:
v – prędkość kajaka na wodzie stojącej w km/dzień,
u – prędkość nurtu Wisły w km/dzień,
s – odległość Kraków-Warszawa wzdłuŜ Wisły w km
2
1
,
t
t
- czas podróŜy odpowiednio z biegiem Wisły i z powrotem
Zatem v+u i v-u oznaczają odpowiednio prędkość kajaka w dół i w górę Wisły.
8
Zgodnie z warunkami zadania mamy:
1
t
s
u
v
=
+
i
2
t
s
u
v
=
−
Stąd
(
)
20
2
2
1
1
2
2
1
s
t
t
t
t
s
t
s
t
s
u
=
−
=
−
=
,
Zatem
40
=
u
s
jest liczbą dni, którą płynie woda Wisły z Krakowa do Warszawy.
Zadanie 13
Motocyklista drogę z miasta A do miasta B pokonał ze średnią prędkością 84 km/h.
Pokonanie drogi powrotnej zajęło mu o godzinę dłuŜej, a średnia prędkość wyniosła 56 km/h.
Oblicz odległość między miastami A i B.
h
1
,
h
km
56
,
h
km
84
:
Dane
0
2
1
=
=
=
t
v
v
,
JeŜeli przez t oznaczymy czas przejazdu motocyklisty z miasta A do miasta B,
a przez s szukaną odległość między miastami A i B, to mamy układ równań
(
)
=
+
=
s
t
t
v
s
t
v
0
2
1
(
)
km
168
h
2
h
km
84
h
km
56
h
km
84
h
1
h
km
56
h
km
84
2
1
0
2
1
1
2
1
0
2
0
2
1
=
⋅
=
−
⋅
⋅
=
−
=
=
−
=
+
=
v
v
t
v
v
t
v
s
v
v
t
v
t
t
t
v
t
v
Odp. Odległość między miastami wynosi 168 km.
Zadanie 14
Marek poŜyczył od taty samochód, którym wyruszył z domu na spotkanie ze swoją
dziewczyną. Przed wyjazdem obliczył, Ŝe jadąc ze średnią prędkością 60 km/h przybędzie na
spotkanie dokładnie o umówionej godzinie. Po przejechaniu z zaplanowaną prędkością 60%
drogi zepsuł się samochód. Naprawa samochodu zajęła mu 16 minut. Teraz, aby zdąŜyć na
spotkanie, musiałby jechać z prędkością 120 km/h. Oblicz odległość od domu Marka
do miejsca spotkania z ukochaną.
9
Niech s oznacza szukaną odległość a t – planowany czas przejazdu.
Z obliczeń Marka wynika, Ŝe s=60t.
Z treści zadania wynika ponadto
300
15
4
100
120
4
,
0
60
16
60
6
,
0
s
s
t
s
s
t
+
+
=
+
+
=
Z porównania t otrzymujemy
80
300
15
4
100
60
=
+
+
=
s
s
s
s
Odp. Szukana odległość wynosi 80 km.
Zadanie 15
W biegu narciarskim na 30 km róŜnica czasów między zwycięzcą i ostatnim zawodnikiem
była równa 20 minut. Po biegu obliczono, Ŝe średnia prędkość zwycięzcy była o 3 km/h
większa od prędkości ostatniego biegacza. Oblicz prędkość zwycięzcy.
JeŜeli oznaczymy średnią prędkość zwycięzcy przez v, to ostatni zawodnik biegł
z prędkością v-3. Zatem całą trasę przebiegli odpowiednio w czasie
v
30
oraz
3
30
−
v
godzin. Dostajemy zatem równanie:
3
1
3
30
30
−
−
=
v
v
(
)
(
)
18
2
33
3
33
0
270
3
3
90
3
90
2
2
=
+
=
=
∆
=
−
−
−
−
=
−
v
v
v
v
v
v
v
Czyli
h
km
18
=
v
.
Zadanie 16
W biegu motocyklowym zawodnik, który zwycięŜył, przejechał trasę z prędkością o 20 km/h
większą niŜ drugi zawodnik i o 25 km/h większą od trzeciego zawodnika. Zawodnicy
wystartowali jednocześnie. Na mecie drugi zawodnik był o 18 minut później niŜ zwycięzca
i o 6 minut wcześniej niŜ trzeci zawodnik.
10
Oblicz: a) długość trasy rajdu,
b) prędkość jazdy kaŜdego zawodnika,
c) czasy przejazdu tych zawodników.
a) Niech v będzie prędkością najwolniejszego zawodnika, s długością trasy,
t czasem w jakim najwolniejszy zawodnik pokonał całą trasę.
Wtedy
25
,
5
,
+
+
v
v
v
- prędkości zawodników,
24
,
6
,
−
−
t
t
t
- czasy (w minutach) zawodników,
4
,
0
,
1
,
0
,
−
−
t
t
t
- czasy (w godzinach) zawodników.
Dostajemy zatem układ równań:
(
)(
)
(
)(
)
=
−
+
=
−
+
=
s
t
v
s
t
v
s
vt
4
,
0
25
1
,
0
5
Skąd mamy
=
−
−
+
=
−
−
+
=
s
v
t
vt
s
v
t
vt
s
vt
10
4
,
0
25
5
,
0
1
,
0
5
h
6
,
1
0
10
4
,
0
25
0
5
,
0
1
,
0
5
=
=
−
−
=
−
−
t
v
t
v
t
km/h
75
=
v
km
120
=
s
b)
Z poprzedniego podpunktu dostajemy prędkości: 75 km/h, 80 km/h, 100 km/h.
c)
Czasy wynoszą 1,6 h, 1,5 h, 1,2 h.
Zadanie 17
Trasa rowerowa wokół jeziora ma długość 15 km. Dwóch rowerzystów wyrusza z tego
samego miejsca i okrąŜa jezioro poruszając się w tym samym kierunku. Średnia prędkość
drugiego z nich jest większa od średniej prędkości pierwszego o 5 km/h. Oblicz po jakim
czasie dojdzie do ponownego spotkania rowerzystów.
Oznaczmy przez v prędkość pierwszego rowerzysty. JeŜeli rowerzyści spotkają
się po czasie t, to pierwszy rowerzysta przejedzie w tym czasie vt, a drugi
(v+5)t kilometrów. Skoro to ma być moment spotkania, to druga z tych liczb
musi być większa od pierwszej o długość toru. Daje to nam równanie:
(
)
3
15
5
=
+
=
+
t
vt
t
v
Odp. Po 3 godzinach dojdzie do ponownego spotkania.
11
Zadanie 18
Po torze wodnym o długości 10 km pływają w kółko dwie łodzie motorowe, przy czym druga
z nich płynie z prędkością o 5 km/h większą od prędkości pierwszej łodzi. Łodzie te
wystartowały z tego samego punktu i ponownie spotkały się, gdy pierwsza z łodzi wykonała
pełne 3 okrąŜenia toru. Oblicz prędkości obu łodzi.
Czas jaki upływa między kolejnymi spotkaniami łodzi to dokładnie czas,
w którym druga łódź przepłynie o 10km więcej od pierwszej łodzi.
JeŜeli oznaczymy przez v prędkość pierwszej łodzi to dostajemy układ równań
(
)
=
+
=
40
5
30
t
v
vt
15
2
30
2
40
5
30
40
5
=
=
=
=
+
=
+
v
t
t
t
vt
Odp. Prędkości obu łodzi wynoszą 15 km/h i 20 km/h.
Zadanie 19
Pomiędzy miastami A i B kursuje autobus. Droga między tymi miastami prowadzi przez
wzgórze. Autobus jadąc pod górę rozwija prędkość 25 km/h, a z góry 50 km/h. PodróŜ z A
do B trwa 3,5 h, a z B do A 4 h. Jaka jest odległość z miasta A do miasta B?
h
4
h,
5
,
3
,
h
km
50
,
h
km
25
:
Dane
2
1
2
1
=
=
=
=
t
t
v
v
Oznaczmy przez x długość drogi od A do szczytu, a przez y od szczytu wzgórza
do B. Wtedy dostajemy układ równań:
=
+
=
+
2
2
1
1
2
1
t
v
x
v
y
t
v
y
v
x
⇒
=
+
=
+
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
v
v
t
x
v
y
v
v
v
t
y
v
x
v
⇒
2
1
2
1
1
v
y
v
v
v
t
x
−
=
(
)
75
4
3
5
,
3
8
25
2
1
4
1
1
25
5
,
3
50
4
50
25
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
=
−
⋅
=
−
⋅
−
⋅
⋅
=
−
−
⋅
=
−
−
=
=
−
+
v
v
v
t
v
t
v
v
v
v
v
v
t
v
v
t
y
v
v
t
y
v
v
v
t
y
v
12
(
)
50
50
75
5
,
3
50
25
50
75
25
50
25
5
,
3
=
−
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
=
x
50
,
75
=
=
x
y
Odp. Szukana odległość wynosi 125 km.
Zadanie 20
Samochód wyrusza z punktu P w południe z prędkością 90 km/h. O której godzinie dogoni
rowerzystę, który wyruszył o siódmej rano i jedzie z prędkością 15 km/h?
Oznaczmy przez t czas spotkania. Rowerzysta do godziny 12.00 pokonał 75 km.
1
90
15
75
=
⇒
=
+
t
t
t
Samochód dogoni rowerzystę o godzinie 13.00
Zadanie ma interpretację geometryczną.
Niech
( )
( )
5
90
1
−
=
t
t
s
,
t
t
s
15
)
(
2
=
.
JeŜeli narysujemy wykresy funkcji
2
1
, s
s
, czyli wykresy pokonywanej drogi
w zaleŜności od czasu, to miejsce i czas spotkania odpowiada punktowi wspólnemu
tych wykresów.
( )
6
15
5
90
)
(
)
(
2
1
=
⇔
=
−
⇔
=
t
t
t
t
s
t
s
Zadanie 21
Pociąg osobowy mija obserwatora w ciągu 5 s, a obok peronu długości 300 m przejeŜdŜa
w ciągu 25 s.
a)
Oblicz długość pociągu i jego prędkość.
b)
Oblicz, jak długo pociąg będzie mijał pociąg towarowy długości 150 m jadący
równoległym torem w przeciwnym kierunku z prędkością 36 km/h?
a) Oznaczmy przez d – długość pociągu, a przez v jego prędkość.
m
300
s,
25
s,
5
:
dane
2
1
=
=
=
l
t
t
Wtedy
=
+
=
v
t
l
d
v
t
d
2
1
m
75
s
m
15
s
5
s
m
15
s
20
m
300
1
2
2
1
=
⋅
=
=
=
−
=
=
+
d
t
t
l
v
v
t
l
vt
13
b)
m
150
:
dane
1
=
l
m/s
10
s
3600
m
1000
36
km/h
36
1
=
⋅
=
=
v
s
9
s
m
10
s
m
15
m
75
m
150
1
1
=
+
+
=
+
+
=
v
v
d
l
t
Zadanie 22
Z dwóch miejscowości jadą naprzeciw siebie dwa pociągi: jeden długości 100 m z prędkością
36 km/h, drugi długości 150 m z prędkością 54 km/h. Obliczyć czas mijania tych pociągów.
Wprowadźmy dane:
h
km
54
,
h
km
36
2
1
=
=
v
v
m
150
,
m
100
2
1
=
=
l
l
Wtedy otrzymujemy:
s
10
90
s
36
25
s
36
m
900
m
250
s
3600
m
1000
90
m
250
h
km
90
m
150
m
100
2
1
2
1
=
⋅
=
=
⋅
=
+
=
+
+
=
v
v
l
l
t
Zadanie 23
Z miasta A wyrusza pociąg z prędkością 60 km/h, z miasta B wyrusza pociąg z prędkością
40 km/h. Odległość między miastami wynosi 12 km. Po jakim czasie i w jakiej odległości
od miast spotkają się te pociągi?
km
12
,
h
km
40
,
h
km
60
:
Dane
2
1
=
=
=
s
v
v
Niech t – oznacza czas spotkania
2
1
, s
s
- przebyte drogi pociągów wyruszających odpowiednio z miast A i B
Wtedy dostajemy:
2
2
1
1
v
s
v
s
t
=
=
=
+
=
s
s
s
s
v
s
v
2
1
2
1
1
2
(
)
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
s
v
s
v
s
v
s
v
s
s
v
s
s
s
=
−
=
−
−
=
14
km
2
,
7
km
8
,
4
h
km
100
km
12
h
km
40
2
1
2
1
2
2
=
−
=
=
⋅
=
+
=
s
s
s
v
v
s
v
s
h
25
3
h
5
6
,
0
h
km
40
km
8
,
4
2
2
=
=
=
=
v
s
t
Zadanie 24
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km.
Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niŜ jadący z miasta B
do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi.
Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.
Sposób 1
Oznaczmy przez v – prędkość pierwszego pociągu,
t – czas w jakim przejechał on połowę drogi
Mamy zatem
270
=
vt
O drugim pociągu wiemy, Ŝe jechał z prędkością v+9 oraz Ŝe połowę drogi przejechał
w czasie t-1. Stąd
(
)( )
270
1
9
=
−
+
t
v
Czyli
270
9
9
=
−
−
+
v
t
vt
. PoniewaŜ
270
=
vt
, to dostajemy
9
9
0
9
9
−
=
⇒
=
−
−
t
v
v
t
(
)
45
9
9
6
2
11
1
0
30
270
9
9
2
=
−
=
=
+
=
=
−
−
=
−
t
v
t
t
t
t
t
Pociągi jechały z prędkością: 45 km/h i 54 km/h.
Sposób 2
JeŜeli przez v oznaczymy prędkość pierwszego pociągu, to połowę drogi przebył on
w czasie
v
270
. Drugi pociąg dotarł do połowy drogi po czasie
1
9
270
+
+
v
.
15
Mamy więc równanie:
1
9
270
270
+
+
=
v
v
(
)
(
)
45
2
99
9
99
0
2430
9
9
270
9
270
2
2
=
+
−
=
=
∆
=
=
+
+
+
=
+
v
v
v
v
v
v
v
Zadanie 25
Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie
po dwóch równoległych torach i spotykają się w punkcie S. Mijanie się pociągów trwa 20 s,
a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce S jest o 25 sekund krótszy od czasu
przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, Ŝe poruszają się
ruchem jednostajnym.
s
25
s,
20
m,
210
m,
490
:
Dane
2
1
=
∆
=
=
=
t
t
l
l
Oznaczmy przez
1
v
– prędkość pierwszego pociągu,
2
v
– prędkość drugiego
pociągu.
Mijając się, kaŜdy z pociągów pokonuje dystans równy sumie ich długości.
Dostajemy zatem równanie
(
)
2
1
2
1
l
l
v
v
t
+
=
+
.
Czas przejazdu pierwszego pociągu przez punkt S to
1
1
v
l
, a czas przejazdu
drugiego pociągu to
2
2
v
l
. Daje nam to drugie równanie
t
v
l
v
l
∆
+
=
2
2
1
1
.
Podstawiając dane rozwiązujemy układ równań:
+
=
=
+
25
210
490
20
700
2
1
2
1
v
v
v
v
+
=
=
+
2
1
1
2
2
1
5
42
98
35
v
v
v
v
v
v
16
(
) (
)
14
35
21
2
35
7
35
0
294
7
35
5
35
42
98
35
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
=
−
=
=
+
=
=
∆
=
−
−
−
+
−
=
−
=
y
x
y
v
v
v
v
v
v
v
v
Odp. Prędkości pociągów wynoszą
s
m
21
,
s
m
14
.
Zadanie 26
Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeŜdŜają naprzeciw siebie dwaj
rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią
prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B
wyjeŜdŜa o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej
prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, Ŝe rowerzysta
jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca
13
9
całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi
prędkościami jechali obaj rowerzyści?
Punkt spotkania rowerzystów jest oddalony od miejscowości A o
126
182
13
9
=
⋅
kilometrów. JeŜeli oznaczymy średnią prędkość rowerzysty jadącego z A do B
przez v, a czas w godzinach, po jakim spotkał się z drugim rowerzystą przez t,
to z danych zadania otrzymujemy układ równań:
(
)( )
=
−
=
−
−
=
56
126
182
1
7
126
t
v
vt
Przekształcając drugie równanie dostajemy
v
t
v
t
v
t
vt
=
−
=
+
−
−
=
+
−
−
7
77
56
7
7
126
56
7
7
Podstawiając otrzymaną zaleŜność do równania pierwszego mamy
(
)
14
9
126
32
63
2
126
9
2
7
11
2
2
7
11
49
0
18
11
126
7
77
2
1
2
1
2
=
=
>
=
=
=
+
=
=
−
=
=
∆
=
+
−
=
−
v
v
t
t
t
t
t
t
Odp. Prędkości rowerzystów wyniosły 14 km/h i 7 km/h.
17
Zadanie 27
Dwa samochody odbyły podróŜ z miejscowości A do odległej o 480 km miejscowości B.
Drugi z samochodów jechał ze średnią prędkością większą o 20 km/h od średniej prędkości
pierwszego samochodu, a czas przejazdu pierwszego samochodu był o 72 minuty dłuŜszy od
czasu przejazdu drugiego samochodu. Oblicz ile czasu zajęła podróŜ kaŜdemu z samochodów.
JeŜeli oznaczymy średnią prędkość pierwszego samochodu przez v, a jego czas
przejazdu przez t, to dostajemy układ równań
(
)
=
−
+
=
480
60
72
20
480
t
v
vt
−
=
⇒
=
−
−
=
=
−
−
+
=
20
3
50
0
24
5
6
20
480
0
24
5
6
20
480
t
v
v
t
vt
v
t
vt
vt
6
3
10
18
2
324
0
48
2
3
5
480
20
3
50
2
=
+
=
=
∆
=
−
−
=
−
t
t
t
t
t
Odp. Czas podróŜy pierwszego samochodu wynosił 6 godzin a drugiego 4 godziny
i 48 minut.
Zadanie 28
Turysta Nowak wyrusza z miasta A do miasta B, w tym samym czasie turysta Kowalski
wyrusza z miasta B do miasta A i po pewnym czasie spotykają się. W momencie spotkania
turysta Nowak miał do miasta B jeszcze 40 minut marszu, zaś turystę Kowalskiego czekało
jeszcze 90 minut marszu do miasta A. Ile trwała podróŜ kaŜdego z turystów?
Niech
s
AB
=
, zaś t – oznacza czas w minutach, który upłynął od momentu
wyruszenia turystów do chwili ich spotkania.
18
Niech ponadto u i v oznaczają odpowiednio prędkości marszu turystów Nowaka
i Kowalskiego.
Wówczas
s
vt
ut
=
+
(*)
Ponadto
s
t
v
s
t
u
=
+
=
+
)
90
(
)
40
(
Zatem
40
+
=
t
s
u
90
+
=
t
s
v
Po podstawieniu wyznaczonych u i v do równania (*) otrzymujemy
s
t
t
s
t
t
s
=
⋅
+
+
⋅
+
90
40
1
90
40
=
+
+
+
t
t
t
t
Po przekształceniach otrzymujemy równanie
3600
2
=
t
, czyli
60
=
t
Wobec powyŜszego marsz turysty Nowaka trwał 60+40=100 minut, zaś marsz turysty
Kowalskiego trwał 60+90=150 minut.
Zadanie 29
Karawana o długości 1 km jedzie przez pustynię z prędkością 4 km/h. Co jakiś czas od czoła
karawany do jej końca i z powrotem jedzie goniec z prędkością 6 km/h. Oblicz długość drogi
tam i z powrotem, którą pokonuje goniec. Oblicz, ile czasu zajmuje mu przebycie tej drogi.
Oznaczmy:
v – prędkość gońca
t – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie ku końcowi karawany
T – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie od końca karawany ku jej przodowi
km
1
km/h,
4
km/h,
6
:
Dane
1
=
=
=
d
v
v
ZauwaŜmy, Ŝe jadąc ku końcowi karawany posłaniec przebywa drogę długości vt km,
o
t
v
1
krótszą niŜ długość karawany.
h
10
1
1
1
=
+
=
⇒
=
+
v
v
d
t
d
t
v
vt
ZauwaŜmy, Ŝe w drodze powrotnej posłaniec przebywa drogę długości vT km,
o
T
v
1
km dłuŜszą niŜ długość karawany.
19
h
2
1
1
1
=
−
=
⇒
=
−
v
v
d
T
d
T
v
vT
Obliczamy czas, w ciągu którego posłaniec pokonuje drogę tam i z powrotem:
)
h
(
5
3
2
1
10
1
=
+
=
+
T
t
min
36
h
5
3
=
Obliczamy długość pokonywanej przez posłańca drogi:
(
)
km
6
,
3
h
km
6
h
5
3
=
⋅
=
⋅
+
=
v
T
t
s
Zadanie 30
Kolumna wojska ma długość 80 m i porusza się względem szosy z prędkością 7,2 km/h.
Dowódca z końca kolumny wysyła gońca do czoła kolumny z meldunkiem. Goniec wraca
po czasie 30 s. Jaka była prędkość gońca względem szosy?
Wprowadźmy oznaczenia:
s
m
2
s
m
36
72
s
3600
m
1000
2
,
7
h
km
2
,
7
1
=
=
⋅
=
=
v
m
80
=
d
s
30
=
t
v
- szukana prędkość gońca względem szosy
Wtedy:
1
1
v
v
d
v
v
d
t
+
+
−
=
Czyli:
(
) (
)
(
)
h
km
6
,
21
h
1000
km
3600
6
h
3600
1
km
001
,
0
6
s
m
6
6
30
10000
80
4
4
0
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
=
⋅
=
⋅
=
=
+
=
+
+
=
+
=
∆
=
−
−
−
=
−
+
+
t
v
t
d
d
v
v
t
d
tv
dv
tv
v
v
t
v
v
d
v
v
d
Odp. Prędkość gońca wynosiła 21,6 km/h.
Zadanie 31
Po zelektryfikowaniu linii kolejowej prędkość pociągów osobowych zwiększyła się
o 10 km/h, a czas jazdy na trasie o długości 200 km zmniejszył się o 1 h.
W ciągu ilu godzin pociąg przebiega trasę 200 km po zelektryfikowaniu linii?
20
Niech
v – prędkość pociągu przed zelektryfikowaniem
t – czas przejazdu 200km przed zelektryfikowaniem
Wtedy
(
)( )
=
−
+
=
⋅
200
1
10
200
t
v
t
v
Zatem
( )
5
2
9
1
81
0
20
0
200
10
10
0
10
200
10
200
1
10
200
200
2
2
=
+
=
=
∆
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
+
=
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
v
Zadanie 32 (Egzamin maturalny z matematyki, 2011)
Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc kaŜdego dnia tę samą liczbę kilometrów.
Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu kaŜdego dnia mógłby
przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
I sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y – liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia
przez turystę.
(
)(
)
=
−
+
=
112
12
3
112
y
x
xy
(
)
28
4
112
4
2
11
3
121
0
28
3
112
12
112
3
112
2
=
=
=
+
−
=
=
∆
=
−
+
=
−
+
=
y
x
x
x
x
x
x
y
(
)
4
28
112
28
2
44
12
44
0
448
12
112
12
3
112
112
2
2
=
=
=
+
=
=
∆
=
−
−
=
−
+
=
x
y
y
y
y
y
y
x
Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.
21
II sposób rozwiązania
Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y – liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia
przez turystę. Liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia przez turystę opisujemy
równaniem
x
y
112
=
Turysta moŜe przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc kaŜdego dnia o 12 km
mniej, wówczas zapisujemy równanie:
12
3
112
112
+
+
=
x
x
Przekształcamy to równanie do postaci
0
28
3
2
=
−
+
x
x
.
Zadanie 33 (Egzamin maturalny z matematyki, 2007)
Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h
większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością
jechał ten samochód.
km
210
h,
2
1
km/h,
10
:
Dane
0
0
=
=
=
s
t
v
Sposób 1
Wprowadźmy oznaczenia:
v – średnia prędkość samochodu,
v
s
– czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością v,
0
v
v
s
+
– czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością
0
v
v
+
.
Warunki zadania zapisujemy za pomocą równania:
0
t
v
v
s
v
s
=
+
−
, czyli
2
1
10
210
210
=
+
−
v
v
które po przekształceniu przyjmuje postać:
0
4200
10
2
=
−
+
v
v
Rozwiązaniem równania są liczby:
70
,
60
2
1
−
=
=
v
v
.
Odrzucamy rozwiązanie ujemne, które jest niezgodne z warunkami zadania.
Odpowiedź: Samochód jechał ze średnią prędkością 60 km/h.
22
Sposób 2
(
)(
)
=
−
+
=
s
t
t
v
v
s
vt
0
0
(
)
=
−
+
=
210
2
1
10
210
t
v
vt
JeŜeli
v
t
210
=
, to
(
)
60
65
5
65
0
2100
5
2
1
0
4200
10
210
2
1
210
10
2
2
2
=
+
−
=
=
∆
=
−
+
=
−
+
=
−
+
v
v
v
v
v
v
v
Zadanie 34 (Egzamin próbny maturalny z matematyki, 2010)
Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B
wyrusza godzinę później niŜ samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykają się
w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A,
liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej
prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania.
Oblicz średnią prędkość kaŜdego samochodu do chwili spotkania.
I sposób rozwiązania
Niech v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta B i niech t
oznacza czas od chwili wyjazdu tego samochodu do chwili spotkania.
Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta A:
174 km.
Zapisujemy układ równań
(
)( )
=
−
−
=
⋅
174
1
17
300
t
v
t
v
Przekształcając drugie równanie uwzględniając warunek
300
=
⋅
t
v
otrzymujemy:
t
v
17
143
−
=
Otrzymaną wartość v podstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy:
0
300
143
17
2
=
+
−
t
t
Rozwiązaniami tego równania są liczby:
17
7
4
17
75
1
=
=
t
4
2
=
t
Stąd
75
,
68
2
1
=
=
v
v
.
Odpowiedź: pierwsze rozwiązanie:
km/h
68
,
km/h
51
=
=
B
A
v
v
23
drugie rozwiązanie:
km/h
75
km/h,
58
=
=
B
A
v
v
gdzie
A
v
oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta A, a
B
v
oznacza prędkość
samochodu jadącego z miasta B.
Uwaga.
MoŜemy otrzymać inne równania kwadratowe z jedną niewiadomą:
,
0
174
109
17
2
=
+
−
A
A
t
t
lub
0
2958
109
2
=
+
−
A
A
v
v
lub
0
5100
143
2
=
+
−
B
B
v
v
II sposób rozwiązania
Niech
A
v
oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A,
zaś
B
v
oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta B oraz niech t
oznacza czas od chwili wyjazdu samochodu z miasta B do chwili spotkania
samochodów.
Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta A:
174 km.
Zapisujemy równania:
1
174
−
=
t
v
A
t
v
B
300
=
wówczas otrzymujemy równanie
t
t
300
17
1
174
=
+
−
.
Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego
0
300
143
17
2
=
+
−
t
t
.
III sposób rozwiązania
Niech
A
v
oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A,
zaś
B
v
oznacza średnią prędkość samochodu.
Wiedząc, Ŝe pierwszy samochód wyruszył o godzinę później niŜ drugi
samochód otrzymujemy równanie:
B
A
v
v
300
1
174
=
+
Czyli
A
B
A
B
v
v
v
v
300
174
=
+
. (*)
Wiemy takŜe, Ŝe
17
−
=
B
A
v
v
, co po podstawieniu do równania (*) daje
(
)
(
)
75
2
7
143
68
2
7
143
49
0
5100
143
17
300
17
174
2
=
+
=
∨
=
−
=
=
∆
=
+
−
−
=
−
+
B
B
B
B
B
B
B
B
v
v
v
v
v
v
v
v
51
=
A
v
lub
58
=
A
v
24
Zadanie 35
Zwiększywszy prędkość pociągu o 10 km/h zyskuje się 40 minut na trasie. Jeśli jednak
prędkość zostanie zmniejszona o 10 km/h, traci się 1 godzinę. Jaka jest długość trasy?
Niech
v – prędkość pociągu, s – długość trasy
Wtedy
=
−
−
=
+
−
1
10
3
2
10
v
s
v
s
v
s
v
s
Stąd
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
200
60
50
15
1
50
25
5
10
15
100
10
15
10
10
10
1
10
30
2
10
10
30
2
10
30
2
10
3
2
10
2
=
⋅
⋅
=
=
=
−
=
+
−
+
=
+
−
−
+
=
+
−
−
+
+
=
+
=
−
+
s
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
s
v
v
sv
v
s
Odp. Długość trasy wynosi 200 km.
Zadanie 36 (Egzamin maturalny z fizyki, 2008)
Rowerzysta pokonuje drogę o długości 4 km w trzech etapach, o których informacje
przedstawiono w tabeli. Przez d oznaczono całą długość drogi przebytej przez rowerzystę.
Przebyta droga
Wartość prędkości średniej
w kolejnych etapach w m/s
etap I
0,25d
10
etap II
0,50d
5
etap III
0,25d
10
Oblicz całkowity czas jazdy rowerzysty.
25
Niech
3
2
1
t
t
t
t
+
+
=
Z danych z tabeli dostajemy
m
1000
,
m
2000
,
m
1000
3
2
1
=
=
=
s
s
s
Zatem
s
t
100
s
m
10
m
1000
1
=
=
s
400
s
m
5
m
2000
2
=
=
t
s
100
s
m
10
m
1000
3
=
=
t
s
600
s
100
s
400
s
100
=
+
+
=
t
Zadanie 37 (Egzamin maturalny z fizyki, 2005)
Po rzece, której nurt ma prędkość 1 m/s, płynie pod prąd motorówka. Wartość prędkości
motorówki względem wody wynosi 3 m/s. Oblicz, ile sekund będzie trwał rejs motorówką
między przystaniami odległymi od siebie o 2000 m.
Wyznaczamy wartość v prędkości motorówki względem brzegu
s
m
2
s
m
1
s
m
3
=
−
=
v
Obliczamy czas ruchu motorówki
s
1000
=
=
v
s
t
Zadanie 38 (Egzamin maturalny z fizyki, 2009)
Samochód porusza się po prostoliniowym odcinku autostrady. Drogę przebytą przez
samochód opisuje równanie:
2
5
,
1
15
t
t
s
+
=
(w układzie SI z pominięciem jednostek).
Ile wynoszą wartości prędkości początkowej i przyspieszenia tego samochodu?
2
2
0
at
t
v
s
+
=
Odp.
s
m
15
0
=
v
2
s
m
3
=
a
Zadanie 39 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007)
Dwaj rowerzyści poruszając się w kierunkach wzajemnie prostopadłych oddalają się od siebie
z prędkością względną o wartości 5 m/s. Wartość prędkości jednego z nich jest równa 4 m/s.
Ile wynosi zatem wartość prędkości drugiego rowerzysty?
Odp.
s
m
3
26
Zadanie 40 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007)
Samochód rusza z miejsca ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem
o wartości 3
2
s
m
i porusza się po prostoliniowym, poziomym odcinku autostrady. Oblicz
wartość prędkości średniej samochodu po pierwszych czterech sekundach ruchu.
2
2
at
s
t
s
v
=
=
⇒
s
m
6
2
s
4
s
m
3
2
2
2
2
=
⋅
=
=
=
at
t
at
v
Zadanie 41 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007)
Lokomotywa manewrowa pchnęła wagon o masie 40 ton nadając mu początkową prędkość
o wartości 5 m/s. Wagon poruszając się ruchem jednostajnie opóźnionym zatrzymał się po
upływie 20 s. Oblicz wartość siły hamującej wagon.
N
10
s
20
s
m
5
kg
10
40
4
3
=
⋅
⋅
=
∆
∆
=
⇒
=
∆
∆
=
t
v
m
F
m
F
a
t
v
a
Zadanie 42 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007)
Gimnastyczka wyrzuciła pionowo w górę piłkę z prędkością o wartości 4 m/s. Piłka
w momencie wyrzucania znajdowała się na wysokości 1 m licząc od podłogi. Oblicz wartość
prędkości, z jaką piłka uderzy o podłogę. ZałóŜ, Ŝe na piłkę nie działa siła oporu.
gh
v
v
gh
v
v
mv
mgh
mv
E
E
E
k
p
k
2
2
2
2
2
0
2
0
2
2
2
0
0
0
+
=
⇒
+
=
=
+
⇒
=
+
s
m
6
m
1
s
m
10
2
s
m
16
2
2
2
=
⋅
⋅
+
=
v
Zadanie 43 (Egzamin próbny maturalny z fizyki, 2006)
Dwaj kolarze zbliŜali się do mety, jadąc jeden obok drugiego ruchem jednostajnym
z prędkością 15 m/s. W odległości 100 m od mety jeden z nich przyspieszył i jadąc ruchem
jednostajnie przyspieszonym po sześciu sekundach minął metę. W jakiej odległości od mety
znajdował się wówczas drugi kolarz jadący do końca z niezmienną prędkością?
m
90
s
6
s
m
15
=
⋅
=
=
vt
s
Odp. 10m
27
Zadanie 44 (Egzamin próbny maturalny z fizyki, 2006)
Dwie rakiety poruszają się wzdłuŜ tej samej prostej naprzeciw siebie z prędkościami
(względem pewnego inercjalnego układu odniesienia) o wartościach
c
v
3
,
0
1
=
i
c
v
3
,
0
2
=
.
Względną prędkość rakiet moŜna obliczyć w sposób relatywistyczny, korzystając z równania
c
v
v
v
v
v
2
1
2
1
'
1
+
+
=
lub klasyczny.
a) Oblicz w sposób klasyczny i relatywistyczny wartość prędkości względnej obu rakiet.
b) Zapisz, jak zmieni się stosunek prędkości względnej obliczonej w sposób
relatywistyczny do wartości prędkości obliczonej w sposób klasyczny, jeśli wartości
prędkości rakiet zostaną zwiększone.
a) Obliczenie prędkości względnej klasycznie:
s
m
10
8
,
1
6
,
0
8
2
1
⋅
=
=
+
=
c
v
v
v
Obliczenie prędkości względnej relatywistycznie:
s
m
10
52
,
1
55
,
0
8
'
⋅
=
≈
c
v
c)
Stosunek wartości prędkości będzie malał.
28
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
1. Samochód przejechał trasę długości 84 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą
o 12 km/h, to przejechałby te trasę w czasie o 21 minut krótszym.
Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.
2. Pociąg o długości 120 m porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 18 km/h. Jak długo
pociąg będzie się znajdował na moście, którego długość wynosi 480 m?
3. Z miasta A do miasta B jadą motocykliści ze stałymi prędkościami. Jeden z nich ma
prędkość o 8% większą od prędkości drugiego i czas przejazdu o 10 minut krótszy.
Obliczyć czas przejazdu z A do B kaŜdego z motocyklistów.
4. Ile czasu potrzebuje motocyklista jadący z prędkością 90 km/h na wyprzedzenie cięŜarówki
z przyczepą o łącznej długości 20 m, jadący z prędkością 84 km/h?
5. Prędkość samolotu lecącego z wiatrem wynosi 280 km/h. Gdy ten samolot leci pod wiatr,
to jego prędkość wynosi 250 km/h. Jaka jest prędkość własna samolotu, a jaka prędkość
wiatru?
6. Statek przepłynął z prądem rzeki, drogę z miasta A do miasta B w ciągu 8 godzin.
Z powrotem przepłynął tę drogę w ciągu 10 godzin. Ile godzin będzie płynęła do B piłka
rzucona do rzeki w mieście A?
7. Z miejscowości A wyjechał rowerzysta, a w ślad za nim, po upływie 1 godziny i 20 minut
motocyklista. Po jakim czasie od chwili wyjazdu rowerzysty nastąpi spotkanie, jeŜeli
prędkość rowerzysty wynosi 15 km/h, a motocyklisty 45 km/h?
8. Dwaj turyści idą sobie naprzeciw z dwóch miejscowości A i B odległych o 30 km. Jeśli
Pierwszy turysta wyruszy o 2 h wcześniej niŜ drugi, to spotkają się po upływie 2,5 h od
chwili wyruszenia drugiego turysty. Jeśli zaś drugi turysta wyruszy o 2 h wcześniej niŜ
pierwszy, to spotkają się po upływie 3 h od wyruszenia pierwszego turysty.
Jaka jest średnia prędkość kaŜdego turystów?
9. Piotr i Paweł ścigają się na 100 metrów. Piotr wygrywa o 10 metrów. Decydują się ścigać
Jeszcze raz, ale tym razem, aby wyrównać szanse, Piotr startuje 10 metrów przed linią
startu. ZałóŜmy, Ŝe obaj biegną z taką samą stałą prędkością, jak poprzednio. Kto wygra?
10.
Oblicz wartość średniej prędkości motocyklisty na prostoliniowym odcinku drogi jeśli
pierwszą połowę odcinka drogi przebył z średnią prędkością o wartości 40 km/h, a drugą
połowę z prędkością o wartości 60 km/h.
11. Oblicz średnią szybkość pociągu, który połowę czasu podróŜy pomiędzy dwiema stacjami
poruszał się z szybkością 80 km/h, a drugą połowę czasu z szybkością 60 km/h.
29
BIBLIOGRAFIA
1.
Arkusze maturalne –
www.cke.edu.pl
2.
Matematyka 10/2009 Witold Bednarek: Zadania z prędkością.
3.
Portal
www.zadania.info