Rachunek prawdopodobieństwa studia I stopnia Informatyka 

semestr II r. ak. 2013/2014 

Rozwiązania przykładowych zadań  z pracy kontrolnej  

1.  Zmienna losowa X ma gęstość  

      

 

6

0

6

1

1

0











x

dla

x

dla

c

x

dla

x

f

 

a.  Wyznacz c i naszkicuj wykres funkcji gęstości.  

Zmienna losowa X jest ciągła, jez zbiór wartości to zbiór liczb rzeczywistych R. 
Gęstość tej zmiennej losowej ma własność: 

 

    

  

  

      , zatem  

 

    

  

  

                      

                          

 

 

         

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 
ale                    zatem    

 
 

 

 

b.  Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X.  

Z definicji: 

                        

 

  

   

gdzie      to gęstość zmiennej losowej X. 
 

 

Wyznaczamy dystrybuantę tej zmiennej losowej dla argumentów        : 
 

              

 

  

    

Wyznaczamy dystrybuantę tej zmiennej losowej dla argumentów            : 
 

                 

 

  

           

 
 

 

 

 

  

           

 
 

  

 

 

   

 
 

    

 
 

 

Wyznaczamy dystrybuantę tej zmiennej losowej dla argumentów       : 

 

                 

 

  

           

 
 

 

 

 

  

          

 

 

        

 
 

  

 

 

        

 
 

  

 
 

    

 
 

c.  Oblicz 





2



X

P

.  

                                                     

 
Dla zmiennej losowej ciągłej              
Zatem  

                                        

 
 

       

 
 

 

 
 

 

 
 

Można  odpowiedzieć  na  to  pytanie  także  inaczej,  obliczając  całkę  z  gęstości  w  granicach  od  minus 
nieskończoności do 2. 

 

d.  Oblicz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej. 

Z definicji     

 

               

 

  

  

  

             

 
 

 

 

dx + 

 

       

  

 

 

Po obliczeniu wynik:         

 
 

 

 
 

 

 

 

 

 

   

 

  

    

 

   

 

 =…. (proszę dokończyć) 

 

2.  W  torebce  jest  10  cukierków,  w  tym  7  czekoladowych.  Wyjmujemy  z  tej  torebki  w  sposób 

losowy  2  cukierki.  Niech  X  oznacza  liczbę  cukierków  czekoladowych  wśród  2  cukierków 
wyjętych.  

a)  Określ zbiór wartości i rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. 

 
 

     

 

 

0 

1 

2 

       

 

 

 

 

  

 

 
 

 

 

  

 

 
 

 

 

  

 

 
 

 

 

  

 

 
 

 

 
 
 
 

b)  Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej. 

 

Dla argumentów      : 

                    

Dla argumentów          : 
 

                 

 

  

 

 
 

 

 
Dla argumentów          : 
 

                 

 

  

 

 
 

  

 

  

 

 
 

 

 

  

 

 
 

 

 
Dla argumentów        : 
 

                 

 

  

 

 
 

  

 

  

 

 
 

 

 

  

 

 
 

  

 

  

 

 
 

   

 

 
 
 
c)Oblicz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej. 

 

      

 

 

   

 

 

   

   

 

 

  

 

 
 

      

 

 

  

 

 
 

 

 

  

 

 
 

      

 

  

 

 
 

 

 

d)Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych 2 cukierków jest co najmniej jeden 
czekoladowy. 

                                  

 

  

 

 
 

  

 

  

 

 
 

 

 

  

 

 
 

 

 
 
 

3.  W urnie jest 5 kul białych i 4 czarne. Rzucamy dwa razy monetą. Jeżeli wyrzuciliśmy dwa orły, 

to  z  tej  urny  pobieramy  losowo  jedną  kulę.  Jeżeli  wyrzuciliśmy  dwie  reszki,  to  z  urny 
pobieramy losowo dwie kule, a w innym przypadku z urny pobieramy losowo trzy kule. Oblicz 
prawdopodobieństwo,  że  najpierw  wyrzucono  dwie  reszki,  jeżeli  wiadomo,  że  wśród 
wylosowanych z urny kul nie było kuli czarnej. 

 
Trzeba obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, korzystając z twierdzenia Bayesa. 
 
Mamy zasadniczo ‘duże’ doświadczenie losowe składające się z dwu etapów: 
pierwszy etap to rzucanie dwa razy monetą. a drugi etap to losowanie kul białych z urny, stosownie 
do wyniku pierwszego etapu doświadczenia. 
 

      = 

      

    

   

 
 

 

 
 

 

 
 

 

 
 

 

 
 

   

 
 

 

 
 

 

 
 

  

 
 

 

 
 

 

 
 

 

 
 

   

 

Oczywiście  można  obliczyć  prawdopodobieństwa,  przyjmując,  że  losowanie  dwóch  lub  trzech  kul  z 
urny  i  branie  pod  uwagę  liczby  białych  kul  jest  doświadczeniem  Bernoulliego  i  tak  obliczyć 
prawdopodobieństwa. 

4.  Masa pewnego detalu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(10 dag; 0,9 dag). 

Oblicz prawdopodobieństwo, że masa detalu będzie zawarta między 9,1 dag a 10,9 dag. 

 

Zmienna losowa X oznacza masę pewnego detalu. 
Wartość oczekiwana m tej zmiennej losowej wynosi 10 a odchylenie standardowe sigma 0,9. 
 
Mamy obliczyć: 

                        

        

   

 

     

 

 

         

   

       

         

   

       

        

   

 

                                                                       

 
Korzystaliśmy z ogólnej własności dystrybuanty obowiązującej dla każdej zmiennej losowej ciągłej: 
 

                           

Przy okazji przypominamy sobie, że dla każdej zmiennej losowej obowiązuje następująca własność: 
 

                           

 
     to dystrybuanta zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym standardowym: wartość 
oczekiwana wynosi 0 a odchylenie standardowe wynosi 1. 
 
Własność tej dystrybuanty:                   

 
 

5.  Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym. 

Rozwiązanie tego zadania pozostawiam Państwu.