X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A
KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole – Krynica
2002
Wojciech Ż Ó ŁTOWSKI
1
Elż bieta SZMIGIERA
2
Stanisław JEMIOŁO
2
Lesław KWAŚNIEWSKI
2
PRACA ZESPOLONYCH SŁ UPÓ W STALOWO-BETONOWYCH
NA PODSTAWIE BADAŃ I ANALIZY METODĄ MES
1. Wprowadzenie
W pracy przedstawiono opracowane modele numeryczne słupó w zespolonych stalowo-
betonowych oraz podano wyniki obliczeń , uzyskane metodą elementó w skoń czonych
(MES), z zastosowaniem systemu ABAQUS [1, 2]. Rozpatrywane słupy badano wcześniej
w laboratorium, gdzie modele w skali 1:1 poddawano osiowemu ściskaniu, aż do zniszczenia
elementu [7]. Podstawowym celem analizy jest poró wnanie wynikó w doświadczalnych
z wynikami numerycznymi MES. Cele analizy są następujące:
1. opracowanie modeli MES słupó w zespolonych stalowo-betonowych, dla któ rych warunki
brzegowe i charakter zniszczenia jest zbliż ony do pracy elementó w badanych w la-
boratorium,
2. poró wnanie wynikó w doświadczalnych i numerycznych,
3. ustalenie przekrojó w słupa, w któ rych następuje koncentracja napręż eń i zarysowanie
betonu,
4. ustalenie przebiegu ścież ki ró wnowagi statycznej.
W pracy podano podstawowe informacje o nieliniowych relacjach konstytutywnych
stali i betonu, któ re zastosowano w analizie MES. Zdefiniowano modele numeryczne słupó w
zespolonych, podano wyniki numeryczne oraz określono parametry zadania mające wpływ
na rezultaty obliczeń .
Prezentowane w niniejszej pracy wyniki obliczeń zostały uzyskane z wyko-
rzystaniem zasobó w komputerowych Centralnego Ośrodka Informatyki Politechniki
Warszawskiej.
1
Prof. dr inż ., Wydział Inż ynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej
2
Dr inż ., Wydział Inż ynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej
272
2. Zastosowane modele konstytutywne stali i betonu
W przypadku modelowania elementó w stalowych słupa zastosowano relacje konstytutywne
stali, któ re uwzględniają jej spręż yste i plastyczne właściwości mechaniczne. Zastosowano
klasyczną teorię plastyczności z tzw. wzmocnieniem izotropowym, ponieważ rozpatrywane
jest tylko obciąż enie monotoniczne. W analizie nieliniowej MES, któ ra dotyczy małych
odkształceń , przyjęto założ enie o addytywnej dekompozycji prędkości odkształceń
ε&
na
część spręż ystą
E
ε&
(odwracalną) i część plastyczną
P
ε&
(nieodwracalną) [1, 2]. Odkształcenia
spręż yste są opisane izotropowym prawem Hooke’a, zaś prędkości odkształceń plastycznych
definiuje tzw. stowarzyszone prawo płynięcia. Prawo płynięcia jest stowarzyszone z
warunkiem plastyczności Hubera-Misesa (H-M). Izotropowa ewolucja warunku
plastyczności H-M (ró wnomierne rozszerzanie warunku plastyczności w przestrzeni stanu
napręż enia) jest zależ na od intensywności odkształceń plastycznych. Tzw. krzywą
wzmocnienia materiału definiujemy zgodnie z aproksymacją wynikó w standartowych testó w
jednoosiowego rozciągania stali, por. [2, 3]. W procesie czynnym stosowany jest model
spręż ysto-plastyczny materiału ze wzmocnieniem izotropowym, zaś w procesie biernym
obowiązuje prawo Hooke’a (odciąż enie następuje od stanu napręż enia zdefiniowanego przez
aktualny warunek plastyczności).
W przypadku modelowania betonu, przyjęto znacznie bardziej złoż one relacje
konstytutywne spręż ysto-plastyczności niż w przypadku stali, co oczywiście wynika z
odmiennych właściwości mechanicznych betonu w poró wnaniu z metalami. Stosowane
obecnie relacje konstytutywne betonu uwzględniają między innymi spręż yste i plastyczne
właściwości betonu oraz efekty związane zaró wno z tzw. degradacją tych własności jak i
mechaniką pękania. Szczegó łowa analiza, z zakresem stosowalności złoż onych modeli
konstytutywnych betonu wykracza poza ramy tego opracowania. Należ y zaznaczyć, ż e
wyznaczenie parametró w materiałowych nawet najprostszych modeli spręż ysto-
plastyczności betonu wymaga znajomości wynikó w nie tylko standardowych testó w
ściskania i rozciągania betonu ale takż e co najmniej kilku wynikó w testó w dla złoż onych
stanó w napręż enia. Ponieważ w rozpatrywanych tutaj słupach zespolonych zastosowano
betony zwykłe, to dodatkowe dane materiałowe (nie wynikające ze standardowych wynikó w
badań betonu) przyjęto na podstawie jakościowej analizy badań wg [3, 4, 5] i zaleceń
podanych w podręcznikach programu ABAQUS [1, 2]. W nieliniowej analizie MES
założ ono następujący model betonu: odkształcenia spręż yste opisane są prawem Hooke’a,
zaś odkształcenia trwałe wynikają ze stowarzyszonego prawa płynięcia. Powierzchnie
plastyczności jak i powierzchnie graniczne betonu są złoż eniem dwó ch powierzchni
zależ nych od pierwszego i drugiego niezmiennika stanu napręż enia. W ten sposó b rozpatruje
się dwa podstawowe mechanizmy nieliniowej „ pracy” betonu, gdyż pierwsza powierzchnia
kontroluje mechanizm zarysowania betonu w stanie napręż enia z „ dominującymi”
napręż eniami rozciągającymi, zaś druga powierzchnia „ kontroluje” stany napręż eń z
„ dominującymi” napręż eniami ściskającymi. Powierzchnia plastyczności doznaje
izotropowej ewolucji, któ ra kontrolowana jest krzywą napręż enie – odkształcenie z testu
jednoosiowego ściskania. W przypadku drugiej powierzchni, uwzględnia się tzw. mięknięcie
odkształceniowe opisane krzywą napręż enie – odkształcenie z testu jednoosiowego
rozciągania. Zastosowany model betonu powinien być ograniczony do sytuacji obciąż eń
zbliż onych do monotonicznych. Ze względu na postać powierzchni granicznej, któ ra nie jest
zależ na od trzeciego niezmiennika stanu napręż enia (por. [5, 6]), zakres stosowalności
modelu powinien być ograniczony takż e do przypadkó w, w któ rych nie występują bardzo
duż e hydrostatyczne napręż enia ściskające. Ograniczenia powyż sze są spełnione w
273
analizowanych słupach. Należ y nadmienić, ż e obie powierzchnie graniczne są znacznie
uproszczone w stosunku do powierzchni stosowanych w z łoż onych modelach
plastyczności betonu (por. [5, 6]) i w stanach napręż enia zbliż onych do punktó w, w
któ rych jest „ przecięcie” obu powierzchni, otrzymuje się nieco zawyż one wartości
wytrzymałości betonu.
3. Modele numeryczne i wyniki obliczeń
Analizowane słupy zespolone rozpatrywane są jako układy wykonane z czterech elementó w:
części betonowej, stalowego dwuteownika, zbrojenia głó wnego i strzemion wykonanych z
ró ż nych rodzajó w stali. Część betonowa słupa jest modelowana ośmiowęzłowymi,
tró jwymiarowymi elementami skoń czonymi, z tzw. zredukowanym całkowaniem (C3D8R).
W definicjach elementó w, przez któ re przechodzi zbrojenie głó wne lub strzemiona,
zastosowano opcję REBAR [1], któ ra uwzględnia wspó łpracę betonu i stali zbrojeniowej.
Opcja REBAR definiuje położ enie i kierunek zbrojenia w elemencie oraz jego właściwości,
tzn. pole przekroju i stałe materiałowe stali.
Dwuteownik stalowy modelowany jest czterowęzłowymi elementami powłokowymi ze
zredukowanym całkowaniem, oznaczonymi przez S4R [1]. Łącznie w całym modelu słupa
zastosowano 14442 elementy skoń czone. Liczba węzłó w wynosi 20944, zaś liczba stopni
swobody jest ró wna 56760. W każ dym przypadku analizowanych słupó w stosowano
identyczną siatkę MES.
Odwołując się do badań doświadczalnych [7], rozpatrzono dwa rodzaje słupó w
oznaczonych przez S1 i S4, ró ż niących się tylko sposobem przyłoż enia obciąż enia. W
pierwszym przypadku (słup S1) obciąż enie przyłoż one jest do gó rnej, wyró wnanej
powierzchni słupa. Jako obciąż enie przyjęto w modelu MES tzw. wymuszenie
kinematyczne, realizowane przez zadanie przemieszczeń wymuszonych, jednakowych dla
części stalowej i betonowej. W drugim przypadku (słup S4), w doświadczeniu obciąż enie
jest przyłoż one bezpośrednio do stalowego dwuteownika, któ ry wystawał ok. 50 mm nad
część betonową. W modelu numerycznym przemieszczenia wymuszone zadano w węzłach
tworzących gó rne krawędzie stalowego dwuteownika. W obydwu przypadkach zdefiniowano
warunki brzegowe w dolnej podstawie słupó w, wprowadzając ograniczenia przemieszczeń w
kierunku osi słupa, zaró wno dla węzłó w odpowiadających części betonowej jak i stalowej.
Ró ż nice występujące w wariantach modeli MES stosowanych dla obydwu słupó w,
wynikają głó wnie ze sposobu realizacji warunkó w podparcia i wspó łpracy dwuteownika z
betonem. Z dotychczasowej analizy zagadnienia wynika, ż e sposó b modelowania warunkó w
brzegowych jest jednym z głó wnych czynnikó w decydujących o lokalnych uszkodzeniach
słupa i wartości globalnej siły niszczącej. Należ y zaznaczyć, ż e nie dysponujemy danymi
doświadczalnymi, na podstawie, któ rych moż na zaproponować prawo tarcia pomiędzy stalą
dwuteownika i betonem, zaró wno w podstawie dolnej słupa jak i w podstawie gó rnej.
Wymienione powyż ej prawa tarcia nie mogą być prostymi prawami liniowymi. Wobec
powyż szego, zdecydowano się na uproszczoną analizę zagadnienia, w któ rej zaproponowano
rozpatrywanie kilku wariantó w modeli numerycznych słupa stalowo-betonowego. Należ y
zaznaczyć, ż e w eksperymentach [7], któ re są podstawą do weryfikacji podanych obliczeń
nie było w pełni moż liwe wyeliminowanie tarcia w podstawach słupó w. Z drugiej strony
„ praca” słupa w konstrukcji (lub jako samodzielnego elementu konstrukcyjnego) moż e
odbiegać od warunkó w, któ re realizowane są w laboratorium. Wobec powyż szego wydaje
się, ż e racjonalne jest analizowanie numeryczne sytuacji z wyidealizowanymi warunkami
brzegowymi, któ re odpowiadają najbardziej i najmniej korzystnej pracy słupa.
274
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
u [mm]
N [kN]
utwierdzony, pe
łne powią zanie
utwierdzony, niepe
łne powią zanie
nieutwierdzony, pe
łne powią zanie
nieutwierdzony, niepe
łne powiazanie
Rys. 1. Ścież ka ró wnowagi dla ściskanego słupa zespolonego S1.
Poró wnanie ró ż nych wariantó w warunkó w brzegowych
W poszczegó lnych modelach przyjęto iż nie ma powiązania między częścią betonową a
kształtownikiem stalowym lub występuje ich pełna wspó łpraca. Poró wnanie krzywych
zależ ności siły ściskającej od całkowitego skró cenia słupa S1 wykazało niewielkie ró ż nice w
globalnej odpowiedzi badanego elementu. Określenie utwierdzony (rys. 1) odnosi się do
modelu, w któ rym w obu podstawach węzły mają całkowicie ograniczone przemieszczenia
poprzeczne. Niepełne powiązanie oznacza niezależ ność między odpowiednimi składowymi
przemieszczenia dla węzłó w należ ących do kształtownika i części betonowej.
Obliczenia były wykonywane przy wykorzystaniu statycznej analizy, tzw. analizy
Riksa [2]. W podejściu tym, program automatycznie, przyrostowo zmienia wielkość
zdefiniowanego przez uż ytkownika obciąż enia, każ dorazowo poszukując stanu ró wno-
wagi odpowiadającego aktualnemu poziomowi obciąż eń . Analiza Riksa jest wykorzysty-
wana do zagadnień , w któ rych występują niestabilne położ enia ró wnowagi. W przepro-
wadzonych obliczeniach, uwzględniony zakres procesu obciąż enia był limitowany przez
problemy numeryczne wynikające z zarysowania części betonowej, w pobliż u gó rnego
koń ca słupa (rys. 2).
Na rys. 2-6 przedstawiono wybrane wyniki uzyskane dla ostatnich iteracji, czyli dla
maksymalnego poziomu obciąż eń uwzględnionych w obliczeniach. Na rys. 2 pokazano
wykresy warstwicowe odkształcenia spowodowanego zarysowaniem, oznaczonego w
programie ABAQUS przez CKLE11. Odkształcenie CKLE11 jest wyraż one przez ró ż nicę
między maksymalnym odkształceniem rozciągającym a wartością odkształcenia inicjującego
zarysowanie, wynikającą z przyjętej wytrzymałości betonu na jednoosiowe rozciąganie. Tak
więc odkształcenie CKLE11 przyjmuje wartości niezerowe tylko w obszarach potencjalnego
zarysowania. W zastosowanym modelu betonu uwzględniono tzw. zjawisko tension
stiffening [5, 6], polegające na ciągłym spadku napręż enia w kierunku prostopadłym do
powstającej rysy. Odkształcenia CKLE11 (rys. 2) występują w gó rnych naroż ach słupa, w
275
Rys. 2. Wykresy warstwicowe odkształceń CKLE11 spowodowanych zarysowaniem (S4)
miejscach występowania koncentracji napręż eń spowodowanych przyjętymi warunkami
brzegowymi. Lokalizacja obszaró w zniszczenia części betonowej, oparta na rozkładzie
odkształceń CKLE11, pozostaje w zgodzie z obserwacjami poczynionymi w czasie testó w
laboratoryjnych [7].
Koncentracje napręż eń w części stalowej wywołane warunkami brzegowymi
przedstawia rys. 3. Pokazano tutaj kontury napręż eń zastępczych Hubera-Misesa w gó rnej
części słupa S4. W miejscu przyłoż enia obciąż enia widoczny jest spadek napręż eń
zastępczych spowodowany odciąż eniem, któ re towarzyszy znacznym odkształceniom
plastycznym. W pozostałej części kształtownika występuje jednorodny stan napręż enia.
Rys. 3. Kontury napręż enia zastępczego Hubera-Misesa
w gó rnej części dwuteownika w słupie S4.
W odró ż nieniu od części stalowej (kształtownika dwuteowego), w części betonowej
panuje złoż ony stan napręż enia. Na rys. 4 pokazano kontury maksymalnych głó wnych
napręż eń na powierzchniach części betonowej słupa. Pojawiające się maksymalne
napręż enia rozciągające wynoszą 1.6 MPa. Rys. 4 pokazuje, ż e w całej betonowej części
słupa występuje faktycznie złoż ony stan napręż enia, odbiegający od stanu jednoosiowego
ściskania. Kontury napręż enia dodatniego wskazują obszary występowania dalszego
zarysowania. Z rozkładu napręż eń przedstawionego na rys. 4 wynika, ż e zró ż nicowanie
napręż eń w części betonowej jest między innymi efektem oddziaływania strzemion.
276
Rys. 4. Wykresy warstwicowe maksymalnych napręż eń głó wnych (słup S4)
Rys. 5. Kontury maksymalnego napręż enia głó wnego w przekroju środkowym słupa S4
Aby pokazać jaki wpływ na rozkład napręż eń ma zespolenie między kształtownikiem a
częścią betonową, na rys. 5 przedstawiono rozkład maksymalnych napręż eń głó wnych w
przekroju środkowym słupa S4. Pogrubioną linią pokazano położ enie kształtownika w
przekroju słupa. Z rys. 5 widać, ż e ekstremalne wartości napręż eń rozciągających w betonie
występują w bezpośrednim sąsiedztwie stalowego kształtownika. Na rys. 6 i 7 pokazano
kontury napręż eń normalnych S22 i S33, któ re wskazują, ż e największe rozciąganie w
betonie występuje w otoczeniu stalowego dwuteownika, w kierunkach ró wnoległych do
powierzchni środkowych środnika i pó łek. Na rys. 5-7 zastosowano indywidualną skalę
zaciemnienia do pokazania ró ż nic między napręż eniami.
277
Rys. 6. Kontury napręż enia normalnego
s
22
w przekroju środkowym słupa S4
Rys. 7. Kontury napręż enia normalnego
s
33
w przekroju środkowym słupa S4
4. Wnioski
W analizowanych słupach, w części betonowej występuje złoż ony stan napręż enia, któ ry
znacznie ró ż ni się od jednoosiowego ściskania. Fakt ten jest głó wną przyczyną ograniczenia
wartości maksymalnej wypadkowej siły, któ ra określa globalną nośność słupa. Niejedno-
rodny stan napręż enia wynika głó wnie z zastosowania konstrukcji zespolonej (beton, rdzeń
stalowy, zbrojenie głó wne i strzemiona).
Zniszczenie występuje lokalnie i zależ ne jest głó wnie od sposobu realizacji warunkó w
podparcia i obciąż enia słupa. W badaniach doświadczalnych nie realizowano symetrycznych
warunkó w brzegowych na dolnej i gó rnej podstawie słupa. Na gó rze słupa zastosowano
278
podkładkę z twardej płyty pilśniowej, któ ra ogranicza odkształcenia poprzeczne. Powoduje
to dodatkowe (w stosunku do dolnej podstawy słupa) napręż enia rozciągające w betonie, w
płaszczyźnie prostopadłej do osi słupa i w konsekwencji zarysowanie betonu. Dodatkową
przyczyną niesymetrycznego zniszczenia słupa moż e być sposó b betonowania oraz
niedokładności w przygotowaniu gó rnej powierzchni słupa.
W przekrojach odległych od podstawy i głowicy nie jest wykorzystana zaró wno
nośność części stalowej jak i betonowej. Uplastycznienie rdzenia stalowego wystąpiło tylko
w małej strefie gó rnej części słupa.
Zwiększenie przyczepności pomiędzy dwuteownikiem stalowym i betonem w kierunku
osi słupa nie zmienia w sposó b istotny jego nośności.
Literatura
[1] ABAQUS/Standard User’s Manual, Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc, Pawtucket, 1998,
Version 5.8.
[2] ABAQUS Theory manual, Hibbitt, Karlsson and Sorensen, Inc., Pawtucket, 1998,
Version 5.8.
[3] CHEN W.-F., Plasticity in reinforced concrete, McGraw-Hill, New York, 1982.
[4] KUPFER H.B., GERSTLE K.H.: Behavior of concrete under biaxial stresses, ASCE J.
Eng. Mech. Div., 1973, 99, s. 853-866.
[5] KUPFER H., HILSDORF H.K., RUSCH H.: Behavior of concrete under biaxial stresses,
ACI J., 1969, 66, s. 656-666.
[6] WOJEWÓ DZKI W., JEMIOŁO S., LEWIŃ SKI P.M., SZWED A., O relacjach konsty-
tutywnych modelujących własności mechaniczne betonu, Prace Naukowe Politechniki
Warszawskiej, Budownictwo, z. 128, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej,
Warszawa 1995.
[7] Ż Ó ŁTOWSKI W., SZMIGIERA E., Praca ściskanych elementó w zespolonych stalowo-
betonowych na podstawie badań i w świetle zaleceń normowych, XLVII Konferencja
Naukowa KIL i W PAN i KN PZITB, Krynica 2001, Tom 3, s. 155-162.
NONLINEAR FE ANALYSIS
OF COMPOSITE STEEL-CONCRETE COLUMNS
USING PROGRAM ABAQUS
Summary
A nonlinear FE analysis was applied to study the response of the composite steel-concrete
columns under compression. Detailed models were developed using 3D solid elements with
REBAR option standing for reinforced concrete and shell elements standing for I steel
column. A parametric study was conducted with respect to the concrete-steel interaction and
the boundary conditions. The concrete-steel interaction had negligible effect on the global
response of the specimens. Obtained results showed that the load capacity was limited by the
local cracking in the concrete part of the column head. The cracking was due to the
additional constrains caused by the friction in the top contact surface. Calculated maximum
stresses in the middle part of the column are much lower than the ultimate strengths for both,
concrete and steel.