Analiza obwodów elektrycznych
Obwód elektryczny
Synteza
Analiza
Wyznaczenie innych wielkości
charakteryzujących obwód; np.
moce, sprawności itp.
Zadane funkcje obwodowe i inne
wielkości charakteryzujące ob-
wód; np. moce, sprawności itp.
Wyznaczenie wartości
parametrów wybranych
elementów obwodu
Określenie minimalnego
zbioru
funkcji obwodowych
F
o
= { u, i }
Przykład
W obwodzie o schemacie pokazanym na rysunku wyznaczyć w postaci
symbolicznej wartość natęŜenia prądu i
o
.
Analiza obwodu elektrycznego.
R
2
R
1
R
o
u
i
o
i
A
C
B
i
2
R
z
u
i
C
B
R
o
i
2
R
2
i
o
A
C
i
1. Rezystancja zastępcza:
R
R
G
G
R R
R R
R R
R
R
z
=
+
+
=
+
+
+
1
1
o
2
o
1
1
2
2
o
o
2
2. Z Postulatu Ohma:
i
u
R
R
R
R R
R R
R R
u
z
=
=
+
+
+
2
1
1
2
2
o
o
o
3. Konduktancyjny Dzielnik Prądu ( węzeł B lub C ):
i
G
G
G
i
R
R
R
R
R
R R
R R
R R
u
o
o
o
2
2
o
2
o
o
o
=
+
=
+
+
+
+
⋅
2
1
1
2
2
i
R
R R
R R
R R
u
u
R
R
R
R
R R
R
R
o
o
o
o
=
+
+
⋅ =
+
+
+
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(1)
R
o
i
o
i
A
B
R
o
o
=
+
u
R
1
Przykład W obwodzie o schemacie pokazanym na poprzednim rysunku wyznaczyć w taką wartość
r oporu rezystora R
o
aby natęŜenie prądu i
o
= I
ZAD
.
Synteza obwodu elektrycznego.
Wprost ze wzoru (1) otrzymujemy:
r
I
o
I
ZAD
o
ZAD
=
=
+
−
=
R
R
R
R
u
R
i
2
1
2
1
(2)
Analiza obwodów elektrycznych ( rozwiązywanie obwodów elektrycznych ) – wyzna-
czenie minimalnego zbioru funkcji obwodowych ( napięć u, prądów i ) pozwalających
w łatwy sposób wyznaczyć takŜe inne wielkości charakteryzujące obwód.
UłoŜenie w oparciu o wybraną metodę
minimalnego układu niezaleŜnych rów-
nań równowagi obwodu.
Analiza obwodów
elektrycznych
Rozwiązanie minimalnego układu nie-
zaleŜnych równań równowagi obwodu.
Dyskusja uzyskanych rozwiązań rów-
nań równowagi obwodu.
Obwód jest juŜ
„rozwiązany” !
Wyniki analizy obwodu
otrzymane w postaci:
– symbolicznej;
– półsymbolicznej;
– numerycznej.
r
I
Z A D
R
o
i
o
R
A
i
B
o
o
=
−
– B
A
B
Podstawowe metody analizy obwodów elektrycznych
Metody analizy
obwodów elektrycznych
Zastosowanie róŜnych:
⇒
⇒
⇒
⇒
transfiguracji obwodu;
⇒
⇒
⇒
⇒
twierdzeń TO;
⇒
⇒
⇒
⇒
gotowych wzorów;
⇒
⇒
⇒
⇒
………
Metody Pośrednie
( „automatyczne” )
Metody Bezpośrednie
( „na piechotę” )
PPK
⊕
⊕
⊕
⊕
NPK
⊕
⊕
⊕
⊕
PO
„MPK”
Metoda Prądów Strun
„MPS”
Metoda Napięć Konarowych
„MNK”
Metoda Prądów Oczkowych
( metoda Maxwella )
„MPO”
Metoda Napięć Węzłowych
( metoda Coltri )
„MNW”
Metody oparte o NPK i PO
Inne
Metody oparte o PK i PO
Metody oparte o PPK i PO
………………
………………
W metodach analizy obwodów SLS dąŜymy do wyboru mini-
malnej liczby funkcji obwodowych ( prądów i oraz napięć u ) ko-
niecznych do jego pełnej analizy.
Wybrane funkcje obwodowe są rozwiązaniami wynikającego z
PPK i NPK układu niezaleŜnych równań równowagi obwodu.
Zastosowanie teorii liniowych grafów skierowanych w znaczny
sposób ułatwia i automatyzuje tworzenie poprawnych układów rów-
nań równowagi obwodu.
Metoda Postulatów Kirchhoffa ( MPK )
Metoda Postulatów Kirchhoffa ( MPK ) jest klasycznąmetodą analizy obwodów elektrycznych.
Modyfikacje MPK prowadzą do innych metod analizy obwodów.
Równania równowagi obwodu
ZałoŜenia:
g
– liczba gałęzi obwodu;
w
– liczba węzłów obwodu;
Liczba niewiadomych (napięć gałęziowych i prądów gałęziowych)
L
N
= 2g
NiezaleŜne równania równowagi:
PPK:
r = w – 1
NPK:
n = g – w + 1
Liczba równań równowagi
L
RR
= r + n = g
Przykład
Napisać równania róŜniczkowo-całkowe obwodu pokazanego na rysunku. Przyjąć ze-
rowe warunki początkowe ( dla t < 0 energia zgromadzona w C oraz w L: w
C
= 0, w
L
= 0 ).
C
4
L
6
L
3
R
5
R
2
u
3
u
2
u
4
u
6
u
1
R
1
e
1
i
5
i
3
i
6
i
4
i
2
i
1
B
C
D
A
i
5
i
3
i
6
i
4
i
2
i
1
B
C
D
A
III
II
I
g = 6
w = 4
L
N
= 2g = 12
L
RR
= g = 6
PPK: r = w – 1 = 3
NPK: n = g – w + 1 = 3
u
5
Równania równowagi
PPK
W
A
:
i
3
+ i
1
+ i
2
= 0
W
C
:
i
4
– i
2
– i
6
= 0
W
D
:
i
5
– i
1
+ i
6
= 0
NPK
O
I
:
u
1
– u
3
+ u
5
= 0
O
II
:
u
2
– u
3
+ u
4
= 0
O
III
:
u
6
+ u
4
– u
5
= 0
PO ( prądy gałęziowe - napięcia gałęziowe ):
u
1
= R
1
i
1
– e
1
u
2
= R
2
i
2
u
d i
d t
3
3
=
L
3
u
C
i d
t
4
4
4
0
1
=
∫
τ
u
5
= R
5
i
5
u
d i
d t
6
6
=
L
6
Równania róŜniczkowo–całkowe d
la prądów gałęziowych:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
R i
L
di
dt
R i
e
R i
L
di
dt
C
i d
L
di
dt
C
i d
R i
t
t
3
1
2
4
2
6
5
1
6
1 1
3
3
5 5
1
2 2
3
3
4
4
0
6
6
4
4
0
5 5
0
0
0
1
0
1
0
+ + =
− − =
− + =
−
+
= +
−
+
=
+
−
=
∫
∫
τ
τ
PO ( napięcia gałęziowe - prądy gałęziowe ):
i
G u
G e
1
1 1
1 1
=
+
i
2
= G
2
u
2
i
L
u d
t
3
3
3
0
1
=
∫
τ
i
d u
d t
4
4
=
C
4
i
5
= G
5
u
5
i
L
u d
t
6
6
6
0
1
=
∫
τ
Równania róŜniczkowo–całkowe d
la napięć gałęziowych:
1
1
0
1
0
0
0
3
3
0
1 1
2 2
1 1
4
4
2 2
6
6
0
5 5
1 1
6
6
0
1 1
1
3
5
2
3
4
6
4
5
L
u d
G u
G u
G e
C
du
dt
G u
L
u d
G u
G u
L
u d
G e
u
u
u
u
u
u
u
u
u
t
t
t
τ
τ
τ
∫
∫
∫
+
+
= −
−
−
=
−
+
= +
− + =
− + =
+ − =
Metoda prądów strun ( MPS )
MPS oparta jest na spostrzeŜeniu, Ŝe pozostawienie w obwodzie tylko drzewa unie-
moŜliwia przepływ prądu (brak konturów). Dodanie dowolnej (kolejnej) struny ge-
neruje oczko fundamentalne, które pozwala na przepływ w nim prądu dodanej stru-
ny. Z tego wynika, Ŝe znajomość prądów strun pozwala wyznaczyć pozostałe funkcje
obwodowe – w pełni rozwiązać obwód.
Liczba strun ( szukanych prądów ):
n = g – w + 1
Przykład Dla obwodu pokazanego na rysunku ułoŜyć równania MPS
R
4
R
6
R
3
R
5
R
2
u
3
u
2
u
4
u
6
u
1
R
1
e
1
i
5
i
3
i
3
i
6
i
4
i
4
i
2
i
1
i
1
i
5
i
6
i
2
B
C
A
III
II
I
u
5
g = 6;
w = 4;
n = g – w + 1 = 3 = L
RR
Prądy strun: { i
2
, i
5
, i
6
} - niewiadome
Z przekrojów fundamentalnych wyznaczamy prądy konarów:
Przekrój A:
i
3
= – i
2
– i
5
Przekrój B:
i
1
= + i
5
+ i
6
Przekrój C:
i
4
= + i
2
+ i
6
Piszemy równania NPK dla oczek fundamentalnych:
Oczko I:
u
1
– u
3
+ u
5
= 0
Oczko II:
u
4
– u
3
+ u
2
= 0
Oczko III:
u
1
– u
3
+ u
4
+
u
6
= 0
PO ( prądy gałęziowe - napięcia gałęziowe ):
u
1
= R
1
i
1
– e
1
= R
1
( + i
5
+ i
6
) – e
1
u
2
= R
2
i
2
= R
2
i
2
u
3
= R
3
i
3
= R
3
( – i
2
– i
5
)
u
4
= R
4
i
4
= R
4
( + i
2
+ i
6
)
u
5
= R
5
i
5
= R
5
i
5
u
6
= R
6
i
6
= R
6
i
6
Równania MPS:
R
3
i
2
+ ( R
1
+ R
3
+ R
5
) i
5
+ R
1
i
6
= + e
1
( R
2
+ R
3
+ R
4
)
i
2
+ R
3
i
5
+ R
4
i
6
= 0
( R
3
+ R
4
)
i
2
+ ( R
1
+ R
3
)
i
5
+ ( R
1
+ R
4
+ R
6
)
i
6
= + e
1
Przykład Napisać równania róŜniczkowo-całkowe MPS
C
4
R
6
L
3
R
5
R
2
u
3
u
2
u
4
u
6
u
1
R
1
e
1
i
5
i
3
i
3
i
6
i
4
i
4
i
2
i
1
i
1
i
5
i
6
i
2
u
5
Z przekrojów fundamentalnych wyznaczamy prądy konarów:
Przekrój { 1, 5, 6 }:
i
1
= + i
5
+ i
6
Przekrój { 4, 3, 5 }:
i
4
= – i
3
– i
5
Przekrój { 2, 3, 5, 6 }:
i
2
= – i
3
– i
5
– i
6
Piszemy równania NPK dla oczek fundamentalnych:
Oczko { 3, 2, 4 }:
u
3
– u
2
– u
4
= 0
Oczko { 5, 1, 2, 4 }:
u
5
+ u
1
– u
2
– u
4
= 0
Oczko { 6, 1, 2 }:
u
6
+ u
1
– u
2
= 0
PO ( prądy gałęziowe - napięcia gałęziowe ):
u
1
= R
1
i
1
– e
1
= + R
1
( i
5
+ i
6
) – e
1
u
2
= R
2
i
2
= – R
2
( i
3
+ i
5
+ i
6
)
u
3
= f
3
(
i
3
)
=
L
d i
d t
3
3
u
4
= f
4
(
i
4
)
= –
(
)
1
4
3
5
0
C
i
i d
t
+
∫
τ
u
5
= R
5
i
5
= R
5
i
5
u
6
= R
6
i
6
= R
6
i
6
Równania MPS:
L
d i
d t
3
3
– ( R
1
+ R
5
)
i
5
– R
1
i
6
= – e
1
( R
2
i
3
+
1
4
3
0
C
i d
t
∫
τ
+
L
d i
d t
3
3
) + ( R
2
i
5
+
1
4
5
0
C
i d
t
∫
τ
) + R
2
i
6
= 0
(
L
d i
d t
3
3
+
1
4
3
0
C
i d
t
∫
τ
) – ( R
1
i
5
–
1
4
5
0
C
i d
t
∫
τ
) – (R
1
+ R
6
)
i
6
= – e
1
MPS – jak ?
1.
Wybieramy r = w – 1 konarów drzewa:
−−−−
wszystkie źródła prądu umieścić w strunach;
−−−−
maksymalną liczbę autonomicznych źródeł napięcia umieścić w konarach;
2.
Z przekrojów fundamentalnych w oparciu o PPK wyliczamy prądy konarów;
3.
Dla oczek fundamentalnych piszemy n = g – w + 1 równań w oparciu o NPK;
4.
Ustalmy związki u-i ( równania PO ) dla wszystkich gałęzi;
5.
Łączymy równania otrzymane w p. 2, 3 i 4 w n = g – w + 1 równań MPS;
Obwód jest juŜ rozwiązany !!!
6.
Rozwiązujemy ze względu na prądy strun układ równań z p. 5;
7.
Wyliczamy prądy konarów i to co nas interesuje w analizowanym obwodzie.
Metoda napięć konarowych ( MNK )
MNK jest metodą dualną do metody MPS.
Liczba konarów (szukanych napięć ):
r = w – 1
MNK – jak ?
1.
Wybieramy r = w – 1 konarów drzewa:
−−−−
wszystkie źródła napięcia umieszczamy w konarach;
−−−−
maksymalną liczbę autonomicznych źródeł prądu umieszczamy w strunach;
2.
Z oczek fundamentalnych w oparciu o NPK wyliczamy napięcia strun;
3.
Dla przekrojów fundamentalnych piszemy r = w – 1 równań w oparciu o PPK;
4.
Ustalmy związki u-i ( równania PO ) dla wszystkich gałęzi;
5.
Łączymy równania otrzymane w p. 2, 3 i 4 w r = w – 1 równań MNK;
Obwód jest juŜ rozwiązany !!!
6.
Rozwiązujemy ze względu na napięcia konarowe układ równań z p. 5;
7.
Wyliczamy napięcia strun i to co nas interesuje w analizowanym obwodzie.
Zadanie Napisać równania MNK dla przykładów związanych z MPS