20. Model atomu wodoru według Bohra.

Wybór i opracowanie zadań – Jadwiga Mechlińska-Drewko.
Więcej zadań na ten temat znajdziesz w II części skryptu.

20.1.
Opierając się na teorii Bohra znaleźć:
a/

promień n-tej orbity elektronu w atomie wodoru,

b/

prędkość elektronu na tej orbicie,

c/

jego

całkowitą energię na n-tej orbicie.

20.2.
Wyznaczyć długość fali promieniowania emitowanego przez atom wodoru przy przejściu
elektronu z orbity n na orbitę k.

20.3.
Przejście elektronu z n-tej orbity na orbitę k=1 zachodzi z emisją fotonu o długości λ=1,026
10

-7

m. Znaleźć promień n-tej orbity.

20.4.
Znaleźć dla dwóch pierwszych orbit atomu wodoru wartość siły przyciągania
kulombowskiego między elektronem i jądrem oraz natężenie pola elektrycznego
wytworzonego przez jądro w odległości równej promieniowi pierwszej i drugiej orbity.

20.5.
Ile razy zwiększy się promień orbity elektronu w atomie wodoru będącego w stanie
podstawowym (n=1) przy wzbudzeniu go kwantem o energii E

ν

=12,09 eV ?

20.6.
W atomie wodoru elektron przeskakuje z drugiej orbity na pierwszą. Wyznaczyć zmianę
wartości pędu elektronu oraz zmianę jego energii kinetycznej przy tym przeskoku.

20.7.
Seria linii wodorowych z zakresu światła widzialnego (tzw. seria Balmera) powstaje przy
przejściu elektronu z wyższych orbit na drugą. Znaleźć granice serii Balmera.

20.8.
Wykazać, że częstotliwość fali świetlnej emitowanej przez atom wodoru przy przejściu
elektronu z n+1 na n-tą orbitę dąży, przy dużych n, do częstotliwości obiegu elektronu na
n-tej orbicie.

20.9.
Obliczyć minimalne liniowe rozmiary pozytonium oraz jego energię jonizacji. Pozytonium
jest układem złożonym z pozytonu i elektronu krążących wokół wspólnego środka masy.

20.10.
Obliczyć wartość orbitalnego momentu magnetycznego elektronu w atomie wodoru w stanie
podstawowym.

Rozwiązania:

20.1.R.
Korzystając z równań:

2

2

0

2

4

1

2

n

n

n

n

n

r

e

r

mV

i

h

n

r

V

m

πε

π

=

=

,

gdzie:
m- masa elektronu,
r

n

- promień n-tej orbity,

V

n

- prędkość elektronu na n-tej orbicie,

h- stała Plancka,
e- ładunek elektronu,
ε

0

- przenikalność elektryczna próżni,

wyznaczamy:

n

h

e

V

i

n

e

m

h

r

n

n

1

2

0

2

2

2

2

0

ε

π

ε

=

=

.

Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej

2

2

n

kn

mV

E

=

i energii potencjalnej oddziaływania elektronu z jądrem

n

pn

r

e

E

2

0

4

1

πε

−

=

czyli

.

10

09

,

1

8

,

1

8

1

7

3

2

0

4

2

2

2

2

0

4

−

⋅

=

=

−

=

−

=

+

=

m

c

h

me

R

gdzie

n

Rhc

n

h

me

E

E

E

pn

kn

n

πε

πε

R - stała Rydberga.

20.2.R.

2

2

k

Rhc

n

Rhc

E

E

c

h

h

k

n

+

−

=

−

=

=

λ

υ

.













−

=













+

−

=

2

2

2

2

1

1

1

1

1

n

k

R

k

n

R

λ

.

20.3.R.
Z poprzednich zadań mamy zależności:

(1)













−

=

2

2

1

1

1

n

k

R

λ

(2)

2

2

2

0

n

e

m

h

r

n

π

ε

=

.

Po wstawieniu n

2

wyznaczonego z równania (1) do równania (2) mamy:

.

10

75

,

4

)

(

10

2

2

2

2

0

m

k

R

e

m

k

R

h

r

n

−

⋅

=

−

=

λ

π

λ

ε

.

20.4.R.
Ponieważ

2

2

0

4

1

n

n

r

e

F

πε

=

oraz

2

2

2

0

n

e

m

h

r

n

π

ε

=

to

4

3

0

4

6

2

1

4

n

h

e

m

F

n

ε

π

=

.

Natężenie pola elektrycznego

e

F

q

F

E

=

=

.

Wynik obliczeń:

4

1

2

4

1

2

11

1

8

1

2

,

2

10

13

,

5

,

10

22

,

8

E

E

F

F

oraz

m

V

E

N

F

=

=

⋅

=

⋅

=

−

.

20.5.R.
W wodorze, przy przejściu elektronu z orbity n-tej na pierwszą orbitę następuje emisja
kwantu o energii:

2

2

1

1

Rhc

n

Rhc

E

E

h

E

n

+

−

=

−

=

=

υ

υ

.

Znając wartość energii kwantu można wyznaczyć wartość n :

3

=

−

=

υ

E

Rhc

Rhc

n

.

Elektron w procesie opisanym w zadaniu został wzbudzony na poziom trzeci.

Ponieważ :

2

2

2

0

n

e

m

h

r

n

π

ε

=

i

r

to

2

1

n

r

n

=

9

3

2

1

3

2

1

=

=

=

r

r

i

n

r

r

n

.

20.6.R.

Z postulatu Bohra wynika:

n

n

n

n

r

nh

p

i

h

n

r

V

m

π

π

2

=

=

2

.

Ponieważ

2

2

2

0

n

e

m

h

r

n

π

ε

=

to

2

2

2

0

4

2

0

2

8

2

1

2

n

h

me

m

p

E

oraz

n

h

me

p

n

kn

n

ε

ε

=

=

=

.

Z powyższych zależności wynika, że:

2

2

0

4

2

1

0

2

0

2

2

1

32

3

4

2

1

1

2

h

me

E

E

E

oraz

h

me

h

me

p

p

p

ε

ε

ε

=

−

=

∆

=











 −

=

−

=

∆

.

20.7.R.
Przy przejściu elektronu z n-tej orbity na

k-tą następuje emisja światła o długości spełniającej

równanie













−

=

2

2

1

1

1

n

k

R

λ

. Dla serii Balmera

k=2.

Przy przejściu z

n=3 na k=2 nastąpi emisja kwantu o najmniejszej energii (i największej

długości fali) w serii Balmera. Jest to długofalowa granica serii przy czym:

.

660

36

5

3

1

2

1

1

max

2

2

.

max

nm

czyli

R

R

=

=













−

=

λ

λ

Krótkofalowa granica odpowiada przejściu z

∞

=

n

na

k=2 i wynosi

nm

R

367

4

.

min

=

=

λ

.

20.8.R.

Ponieważ

n

h

e

V

i

n

e

m

h

r

n

n

1

2

0

2

2

2

2

0

ε

π

ε

=

=

częstotliwość obiegu elektronu w atomie

wodoru jest równa:

3

3

2

0

4

1

4

2

n

h

me

r

V

n

n

n

⋅

=

=

ε

π

υ

.

8

3

2

0

4

c

h

me

R

ε

=

Przy przejściu elektronu z orbity

n+1 na orbitę n następuje emisja kwantu o energii:

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

1

)

1

(

n

n

n

n

n

Rc

n

n

Rc

czyli

n

Rhc

n

Rhc

E

E

h

E

n

n

+

−

+

+

=













+

−

=

+

+

−

=

−

=

=

+

υ

υ

υ

Dla n>>1 częstotliwość kwantu dąży do wartości

3

2

n

Rc

n

=

υ

co jest równe częstotliwości

obiegu elektronu.

20.9.R.
Pozyton jest cząstką o masie równej masie elektronu. Ładunek pozytonu jest równy co do
wartości bezwzględnej ładunkowi elektronu i wynosi 1,6

⋅10

-19

C.

Uwzględniając ruch elektronu i pozytonu wokół wspólnego środka masy wprowadzamy masę
zredukowaną

µ układu elektron-pozyton:

p

e

m

m

1

1

1

+

=

µ

gdzie

m

e

i

m

p

odpowiednio masy elektronu i pozytonu.

Korzystając z układu równań:

h

n

r

V

n

n

=

µ

π

2

i

2

0

2

2

4

n

n

n

r

e

r

V

πε

µ

=

,

przyjmując, że

m

e

=m

p

=m wyznaczamy

2

2

2

0

2

n

e

m

h

r

n

π

ε

=

.

Minimalne rozmiary pozytonium określa promień pierwszej orbity:

2

2

0

1

2

e

m

h

r

π

ε

=

.

Energia wiązania pozytonium wynosi:

2

2

2

0

4

0

2

0

2

2

16

8

4

2

n

h

me

r

e

r

e

V

E

E

E

n

n

n

p

k

w

ε

πε

πε

µ

−

=

−

=

−

=

+

=

Energia jonizacji z poziomu pierwszego

eV

h

me

E

j

8

,

6

16

2

2

0

4

=

=

ε

.

20.10.R.
Moment magnetyczny obwodu z prądem

IS

=

µ

I natężenie prądu jaki daje ruch elektronu po orbicie kołowej,

S powierzchnia obejmowaną przez ten obwód z prądem.

n

T

e

I

=

T

n

–okres obiegu elektronu na

n-tej orbicie

2

2

n

n

n

n

r

S

V

r

T

π

π

=

=

n

n

m

eh

r

eV

r

r

eV

B

n

n

n

n

n

n

n

n

µ

π

µ

µ

π

π

µ

=

=

=

=

4

2

2

2

µ

B

=0,93

⋅10

-23

J/T -magneton Bohra.