3. Zadania i metody optymalizacji nieliniowej

1. Wstęp

1. Opis problemu

Zadania optymalizacji nieliniowej

1. Zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń.

2. Zadania optymalizacji liniowej z ograniczeniami.

Metody optymalizacji nieliniowej:

1. Metody analityczne

2. Metody numeryczne

2. Zadanie optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń

   1. Sformułowanie zadania

Funkcja celu :

gdzie

to wektor zmiennych decyzyjnych

to zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Cel:

znalezienie dla którego , gdzie to punkt stacjonarny.

2. Warunki istnienia rozwiązania optymalnego

-dwukrotnie różniczkowalna

Warunki:

1. -warunek stacjonarności

2. -lokalna wypukłość, gdzie to wektor kierunku

ściśle wypukła optimum globalne

3. Algorytm optymalizacji w kierunku

Algorytmy bezgradientowe:

• Złotego podziału

• Aproksymacji kwadratowej

Algorytmy gradientowe:

• ekspansji i kontrakcji geometrycznej z testem jednoskośnym,

• logarytmiczny złoty podział odcinka ze wstępną ekspansją i kontrakcją geometryczną

• aproksymacja parabolicznej z testem jednoskośnym

• bisekcji z testem dwuskośnym Goldstein’a

4. Algorytmy optymalizacji lokalnej

Algorytmy bezgradientowe

• Hook’a – Jeeves’a

• Gaussa –Seidla

• Powella

• Zangwilla

Algorytmy gradientowe:

• największego spadku

• zmodyfikowany algorytm Newtona

• Fletchera-Reeves’a

• Polaka-Ribiery

• Fletchera-Powella-Davidona

3. Zadanie optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami

   1. Sformułowanie zadania

Funkcja celu :

gdzie:

• to wektor zmiennych decyzyjnych,

• to zbiór rozwiązań dopuszczalnych, ,

• i-te ograniczenie,

Cel:

Znalezienie dla którego , gdzie to punkt stacjonarny.

2. Warunki istnienia rozwiązania optymalnego

Funkcja Lagange’a:

gdzie to wektor mnożnika Lagrange’a

Warunki:

1. funkcje są różniczkowalne

2. Twierdzenie Karush’a-Kuhn’a-Tucker’a

3. Ograniczenia liniowe, wypukłe, liniowo niezależne.