Temat: Kwadraty magiczne

Kwadrat magiczny to tablica liczb składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n2. Suma magiczna takiego kwadratu wynosi n·(n2+1)/2.

Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):

Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.

Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.

Jeśli weżmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S1 i S2, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S1+S2 (jednak nie ma gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne).

Kwadraty magiczne znali juź starożytni Chińczycy i Hindusi, wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach.

Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest jednak ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim słynnym miedziorycie "Melancholia I". Zapewne nieprzypadkowo w dwu wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki - rok 1514.

Przykłady kwadratów magicznych:

n = 3	n = 5	n = 9

Kwadrat z Melancholii Dürera nad skrzydłem anioła

Rys. 1. Miedzioryt Melancholia

Jest wiele różnych kształtów magicznych, ale chyba najbardziej znane są kwadraty magiczne. Jeżeli dodamy liczby znajdujące się w jego polach w każdym rzędzie, każdej kolumnie i po przekątnych i otrzymamy równe sumy to kwadrat jest magiczny.

19

26

21

24

22

20

23

18

25

1

35

34

4

32

6

7

29

8

30

31

5

33

3

2

36

Początek formularza

Dół formularza

KWADRATY MAGICZNE Z RAMKĄ

Bardziej zaawansowaną formą kwadratu magicznego jest kwadrat magiczny z ramką. Składa się on z dwóch kwadratów magicznych. Większy kwadrat zawiera mniejszy w środku.

9	25	26	23	18	10
16	1	35	34	4	21
20	32	6	7	29	17
24	8	30	31	5	13
15	33	3	2	36	22
27	12	11	14	19	28

Istnieją kwadry magiczne 3,4,5,n-tego stopnia.

Kwadraty magiczne 3 stopnia

a) b)

Kwadrat magiczny 4 stopnia

Wpisujemy brakujące liczby naturalne od 1 do 16 tak, aby powstał kwadrat magiczny, w którym suma liczb w każdej kolumnie, w każdym wierszu i na  przekątnych jest równa 34.

1