Załóżmy , że funkcja
jest określona na pewnym otoczeniu punktu
.

Ilorazem różnicowym funkcji
w punkcie
odpowiadającym przyrostowi
zmiennej niezależnej , gdzie
, nazywamy liczbę
.

Definicja 1 . Jeżeli funkcja
jest określona w pewnym otoczeniu punktu
i istnieje granica ilorazu różnicowego

,

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji
w punkcie
i oznaczamy
, tzn.

.

Jeżeli
istnieje i jest skończona , to funkcję tę nazywamy różniczkowalną w punkcie
.

Przykład Niech
,
. Wtedy mamy :

.

Zatem
.

Geometryczna interpretacja pochodnej : Jeżeli funkcja
ma w punkcie
pochodną, to prostą o współczynniku kierunkowym
przechodzącą przez punkt
nazywamy styczną do krzywej
w punkcie
. Zatem styczna do krzywej
w punkcie o odciętej
ma równanie

.

Fizyczna interpretacja pochodnej :

Załóżmy , że punkt porusza się po prostej ( osi liczbowej ) i jego położenie w chwili
jest
.

Wtedy liczba
będąca stosunkiem drogi przebytej przez ten punkt od chwili
do chwili
do czasu jego przebycia
nazywamy średnią prędkością tego punktu w chwili
.

Podobnie zakładając , że prędkość punktu poruszającego się po prostej w chwili
jest
, liczbę
wyrażającą stosunek zmiany prędkości tego punktu od chwili
do chwili
do czasu
, w którym ta zmiana nastąpiła , nazywamy średnim przyspieszeniem tego punktu w chwili
.

Jest więc jasne , że jeżeli zmiany
są coraz mniejsze , to zarówno średnia prędkość i średnie przyspieszenie coraz lepiej oddają rzeczywistą prędkość oraz przyspieszenie danego punktu w chwili
.

Jeżeli więc istnieją granice :

oraz
,

to nazywamy je odpowiednio : prędkością chwilową i przyspieszeniem chwilowym w chwili
.

Niech
oznacza czas ( liczony w sekundach od pewnej chwili początkowej ) , a
- ładunek elektryczny ( mierzony w kulombach ) , jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu w czasie od chwili początkowej do chwili
. Mamy tu funkcję
.

Iloraz różnicowy

jest średnim natężeniem prądu w przedziale czasu między chwilami
i
,

a granica tego ilorazu przy
, czyli pochodna

jest natężeniem prądu w chwili
.

Przykład . Napisać równanie stycznej do paraboli
w punkcie
.

Mamy :
,
,
. Zatem szukana styczna ma postać :

.

Uwaga . Funkcja różniczkowalna w punkcie
jest ciągła w tym punkcie .

Odwrotnie być nie musi (!) , tzn. z ciągłości funkcji w punkcie nie wynika jej różniczkowalność funkcji w tym punkcie .

Istotnie , rozważmy funkcję
. Jak wiemy , jest ona ciągła w punkcie
.

Z drugiej strony mamy :
,

,

co oznacza , że funkcja
nie jest różniczkowalna w punkcie
.

Twierdzenie 1 . Jeżeli funkcje
i
mają skończone pochodne w punkcie
, to

( 1 )
,

( 2 )
, gdzie
jest pewną stałą ,

( 3 )
,

( 4 )
, o ile
.

Przykłady

1)

=
=

=
,

2)
,

3)

=
.

Twierdzenie 2 ( O pochodnej funkcji złożonej )

Jeżeli funkcja
ma pochodną w punkcie
, zaś funkcja
ma pochodną w punkcie
, to funkcja
ma pochodną w punkcie
oraz zachodzi wzór

.

Przykłady :

1)
,

2)
,

3)
,

4)
,

5)
.

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Definicja 2 Pochodną właściwą
- tego rzędu funkcji
w punkcie
definiujemy indukcyjnie :

dla
, gdzie
.

Ponadto przyjmujemy
.

Przykłady

1)
,
,
,

,
,
, … ,
dla
.

2)
,
,
,
,… ,

3)
,
,
,
,

,
,
,

Ogólnie :
dla
.

4)
,
,
,
,
,
, … ,

Ogólnie :
dla
,
.

Twierdzenia o wartości średniej

Twierdzenie 3 . ( Rolle'a )

Jeżeli funkcja
spełnia warunki :

1. jest ciągła na przedziale
;

2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na
;

3.
,

to istnieje punkt
taki , że

.

Interpretacja geometryczna tw. Rolle'a - na wykresie funkcji ciągłej na przedziale

domkniętym , maj,alej pochodną wewnątrz tego przedziału i przyjmującej jednakowe

wartości na końcach przedziału , istnieje punkt , w którym styczna jest równoległa do osi
.

Twierdzenie 4 . ( Lagrange'a o wartości średniej )

Jeżeli funkcja
jest ciągła w przedziale
i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału , to istnieje co najmniej jeden punkt
taki , że
.

UWAGA Geometrycznie oznacza to , że na łuku , który jest wykresem funkcji
, znajduje się co najmniej jeden punkt o odciętej
, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej końce tego łuku .

Przykład
dla dowolnych
.

Istotnie , niech
będą dowolnie ustalone i takie , że
i niech
. Wtedy mamy
i na mocy twierdzenia Lagrange'a , istnieje
takie , że

. Stąd
.

Twierdzenie 5 . Załóżmy , że funkcja
jest różniczkowalna na przedziale
. Jeżeli dla każdego
jest

( 1 )
, to funkcja
jest stała na
,

( 2 )
, to funkcja
jest rosnąca na
,

( 3 )
, to funkcja
jest niemalejąca na
,

( 4 )
, to funkcja
jest malejąca na
,

( 5 )
, to funkcja
jest nierosnąca na
.

Przykłady : Zbadamy monotoniczność funkcji

1)
dla
.

Wtedy
dla
. Zatem




oraz




.

Oznacza to , że funkcja
jest rosnąca na przedziałach
i
( ale nie jest rosnąca na zbiorze
!!! ) , a malejąca na zbiorze
.

2) Niech
dla
.

Wtedy
dla
. Ponieważ
,
, więc

.

Oznacza to , że funkcja
jest malejąca na przedziałach
i

ale nie jest malejąca na zbiorze
!!!
.

3) Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji
.

Dziedziną funkcji jest zbiór
.

Mamy :
.

Zatem




oraz

. Oznacza to , że funkcja jest rosnąca w przedziale
a malejąca w przedziałach
i
.

Twierdzenie 6. ( Cauchy'ego )

Jeżeli funkcje
i
są ciągłe na przedziale
, mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na
oraz
dla każdego
, to istnieje punkt
taki , że

.

Twierdzenie 7 . ( Reguła de l'Hospitala )

Załóżmy , że funkcje
,
są określone na pewnym sąsiedztwie punktu
oraz , że

(1)


i

(2) istnieje granica
właściwa lub niewłaściwa .

Wtedy

.

Przykłady :

(1)
=
, (2)
,

(3)
.

Rozwiniecie Taylora funkcji

Definicja 3 . Niech funkcja
ma w punkcie

pochodną właściwą
rzędu , gdzie
N
. Wielomian

Nazywamy wielomianem Taylora rzędu
funkcji
w punkcie
i oznaczamy symbolem
. Dla
wielomian nazywamy wielomianem Maclaurina .

Twierdzenie 8 . ( wzór Taylora z resztą Lagrange'a )

Jeżeli funkcja
ma pochodną rzędu
na przedziale
, ma pochodną właściwą
na przedziale
, to istnieje punkt
taki , że

.

Uwaga Równość występującą w tezie twierdzenia 8 nazywamy wzorem Taylora , a wyrażenie

n-tą resztą Lagrange'a .

Ekstrema funkcji

Definicja 4 . Załóżmy , że funkcja
jest określona w pewnym otoczeniu punktu
.

Mówimy , że funkcja ma w punkcie
minimum ( maksimum ) lokalne , jeżeli

istnieje
takie , że

(*)

dla każdego
.

Minima i maksima lokalne funkcji obejmujemy wspólna nazwą - ekstrema .

Twierdzenie 9 . ( Fermata - warunek konieczny istnienia ekstremum )

Niech
będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu
.

Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
oraz ma ekstremum lokalne w punkcie
, to
.

Uwaga . Implikacja odwrotna jest fałszywa. Istotnie , niech
. Wtedy
, skąd
ale w punkcie
funkcja
nie ma ekstremum .

Wniosek . Funkcja może mieć ekstremum lokalne tylko w tych punktach , w których jej pochodna jest równa zero , albo w których jej pochodna nie istnieje .

Przykład Funkcja
ma w punkcie
minimum , ale nie ma w tym punkcie pochodnej .

Twierdzenie 10 . ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum )

Niech
będzie funkcją określoną na pewnym otoczeniu punktu
.

Jeżeli

( 1 )
oraz

( 2 ) istnieje
takie , że
dla
i
dla

dla
i
dla

,

to funkcja
ma w punkcie
maksimum
minimum
lokalne .

Przykłady : Znaleźć ekstrema następujących funkcji ( jeśli istnieją ) :

1)
.

Dziedzina funkcji :
.

Z warunku koniecznego wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej . Mamy

, zatem

W tych punktach podana funkcja może mieć ekstremum lokalne . Mamy

dla
i
dla
. Wynika stąd , że

pochodna w sąsiedztwie punktu
zmienia znak z „+” na „- ''

co oznacza (na podstawie Tw.7 ) , że w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne .

Analogicznie , w sąsiedztwie punktu
pochodna zmienia znak z „ -'' na „ + '' co

oznacza , ze w tym punkcie funkcja ma minimum lokalne .

2)
.
.

Wyznaczamy punkty , w których funkcja może mieć ekstremum lokalne rozwiązując

równanie
.

Mamy
i
.

Ponieważ w sąsiedztwie punktu
pochodna zmienia znak z „+'' na „ - ''

więc funkcja ma tym punkcie maksimum lokalne . Analogicznie , w sąsiedztwie punktu

pochodna zmienia znak z „+'' na „- '' więc funkcja ma w tym punkcie

minimum lokalne .

3)
,
.

Zauważmy , że
dla
.

Oczywiście funkcja
jest funkcją ciągłą , a ponadto

. Stąd
.

Sprawdzimy , czy funkcja
ma pochodną w punkcie
.

,

, co oznacza , że w punkcie
funkcja
nie ma pochodnej .

Wobec tego

,

,

.

Zatem funkcja
ma minimum w punktach :
,
oraz maksimum w punkcie
.

4) Niech
dla
.

Wtedy
dla
. Stąd




.

. Oznacza to , że funkcja
nie ma ekstremów .

Twierdzenie 11 . ( II warunek wystarczający istnienia ekstremum )

Niech funkcja
określona w pewnym otoczeniu punktu
ma w punkcie
skończoną pochodną
przy pewnym
i niech
,
.

(a) Jeżeli
jest liczbą parzystą , to funkcja
ma w punkcie
ekstremum lokalne właściwe , przy czym gdy
, jest to maksimum lokalne , a gdy
, jest to minimum lokalne .

(b) Jeżeli
jest liczbą nieparzystą , to funkcja
nie ma w punkcie
ekstremum lokalnego .

Najmniejsza i największa wartość funkcji

Jeżeli funkcja
jest ciągła określona na przedziale domkniętym
, to osiąga swoją wartość najmniejszą i największą w pewnych punktach tego przedziału .

Załóżmy , że funkcja ma pochodną w tym przedziale . Wtedy aby znaleźć najmniejszą i największą

wartość funkcji w przedziale
postępujemy następująco :

(1) Znajdujemy wszystkie punkty
przedziału
, w których pochodna funkcji
jest

równa 0 oraz wszystkie punkty
przedziału
, w których pochodna tej funkcji

nie istnieje ;

(2) Obliczamy wartości funkcji
w punktach końcowych
,
oraz we wszystkich punktach

;

(3) Spośród liczb
wybieramy najmniejszą i największą , które są wartością najmniejszą i największą w przedziale
.

Przykład

Niech
. Wyznaczyć wartości najmniejszą i największą funkcji na przedziale
.

Funkcja
jest ciągła i
.

W punkcie
funkcja
nie ma pochodnej .

Zatem
.

Obliczamy więc wartości funkcji
w punktach : 1 , 3,
, 2. Mamy

,
,
,
.

Zatem największą wartością funkcji
w przedziale
jest 9 , zaś najmniejszą - liczba 0 .

Wypukłość i wklęsłość funkcji

Definicja 4 . Niech funkcja
będzie określona na przedziale
, gdzie
.

Funkcję
nazywamy wypukłą ( wklęsłą ) na przedziale
, jeżeli

:

[

:
] .

Twierdzenie 12 . Niech
będzie funkcją określoną na przedziale
.

(1) Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest ściśle wypukła na
.

(2) Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest ściśle wklęsła na
.

Niech
będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu
, ciągłą w punkcie
.

Definicja 5 . Punkt
nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji
, jeżeli istnieje liczba
taka , że funkcja
jest ściśle wypukła na przedziale
oraz ściśle wklęsła na przedziale
lub odwrotnie .

Twierdzenie 13 . ( Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )

Jeżeli
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
oraz istnieje druga pochodna
, to
.

Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe !

Twierdzenie 14 . Niech
będzie funkcją ciągłą w punkcie
. Jeżeli istnieje
takie , że spełnione są nierówności :

dla
i
dla
lub

dla
i
dla
.

Przykład Niech
dla
. Wtedy
i

, przy czym
nie istnieje . Oczywiście
jest funkcją ciągłą .

Zatem
.

Wobec tego

,


.

Funkcja jest wypukła w przedziałach :
i
, a wklęsła w przedziale
.

Wykres funkcji
ma dwa punkty przegięcia :
i
.

POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

5