Metoda Gaussa obliczania rzędu macierzy

Obliczając rząd macierzy metodą Gaussa należy, za pomocą operacji elementarnych (zarówno na wierszach, jak i kolumnach), sprowadzić macierz do macierzy schodkowej. Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy.

Przykład zastosowania metody Gaussa do obliczania rzędu macierzy

Przykładową macierz A przez dokonanie operacji elementarnych (kolejno: odjęciu wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienieniu 2. i 3. kolumny, dodaniu 2. wiersza do 3. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza) sprowadzono do macierzy schodkowej, której rząd łatwo odczytać, bowiem rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej "schodków", czyli liczbie wierszy pomniejszonej o liczbę wierszy zerowych. W tym przypadku rząd macierzy A równy jest 3.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych

Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to rozwiązanie układu wyjściowego jest tożsame z rozwiązaniem układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.

Przykład zastosowania metody Gaussa do rozwiązywania układu równań liniowych

Układ wyjściowy:

Macierz rozszerzona tego układu:

Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):

Rząd macierzy głównej
jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej
i jest równy 3.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 1 parametru. Rozwiązując układ:

Przymując parametr t za x₄ i rozwiązując układ od dołu:

Zatem rozwiązaniem układu są czwórki: