3. Układy równań

Układ n równań o n niewiadomych

Układ liczb (rzeczywistych lub zespolonych) s₁,s₂,…,s_n nazywamy rozwiązaniem układu równań gdy spełniają każde równanie układu

Układy mające te same układy rozwiązań nazywamy układami równoważnymi

Zamiast wykonywać operacje na całości wykonuje się operacje na macierzach utworzonych ze współczynników

nazywamy macierzą układu a macierz
uzupełnioną

Operacje na równaniach odpowiadają operacje:

-przestawiania wierszy

-pomnożenia wiersza przez stałą różna od zera

-dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą

Są to tzw. operacje elementarne. Jeżeli macierz A jest macierzą prostokątną to pierwszy element nie zerowy wiersza będziemy nazywali elementem wiodącym (tego wiersza). Jeżeli macierz A ma tę własność, że dla elementów wiodących a_1k1, a_1k2,…, a_mkn mamy k₁<k₂<…<k_n to mówimy że macierz A jest w postaci schodkowej np.
macierz schodkowa

Metoda eliminacji

Algorytm eliminacji:

-przy pomocy 1 wiersza (o ile a₁₁≠0) znajdujemy elementy a₂₁, a₃₁,…,a_n1

_- przy pomocy 2 wiersza (o ile a₂₂≠0) znajdujemy elementy a₃₂, a₄₂,…,a_n2

-kontynuujemy aż do n-tej kolumny

Uwaga: Jeśli a₁₁=0 należy najpierw wiersze przestawić. Podobnie dla a₂₂. Gdyby w 2 kolumnie nie udało się znaleźć elementu nie zerowego przechodzimy do następnej kolumny

Efekt algorytmu i postać schodkowa:

- w macierzy występuje wiersz w postaci 00…0|c; c≠0. Odpowiada on równaniu 0=c więc układ jest sprzeczny

- w macierzy nie ma postaci wierszy 00…0|c i liczba niezerowych wierszy jest równa liczbie niewiadomych

z 2 ostatniego wiersza niezerowego odczytujemy x_n, podstawiamy do poprzedzającego równania i obliczamy x_n-1 itd. (podstawienie wsteczne).

- nie ma wierszy w postaci 00…0|c, leczy występują kolumny niewiodące

Niewiadomych występujących w kolumnach wiodących nadajemy dowolne wartości. Będą to parametry rozwiązania, a pozostałe niewiadome obliczamy stosując podstawienie wsteczne. Przykład 1:

0

Przykład 2:

Uwaga: Eliminację można wydłużyć uzyskując zera nad elementami wiodącymi (eliminacja Gaussa Jordana)

Rząd macierzy

Definicja: Macierz A nazywamy wierszową równoważną macierzy B jeżeli macierz B można otrzymać z macierzy A przez wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach

Definicja: Niech macierz A będzie typu m x n . Wiersze tej macierzy można traktować jako elementy przestrzeni K^m . Podprzestrzeń generowaną przez wiersze macierzy A nazywamy przestrzenią wierszy. Macierze wierszowo równoważne mają taką samą przestrzeń wierszy.

Definicja: Wymiar przestrzeni wierszy macierzy A nazywamy rzędem macierzy A i oznaczamy R(A).

Wniosek: R(a) jest równy liczbie liniowo niezależnych wierszy macierzy A. Ponieważ R(a) jest równe rzędowi postaci schodkowej macierzy, a ta ostatnia ma rząd równy liczbie niezerowych wierszy więc aby znaleźć rząd należy macierz przekształcić do postaci schodkowej i policzyć wiersze.

Przykład 1:

Twierdzenie: Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni niezerowych minorów tej macierzy.

Ponieważ minory macierzy A i A^T są takie same więc rząd macierzy R(A)=R(A^T). A-wymiar przestrzeni wierszy macierzy, A^T - wymiar przestrzeni kolumn macierzy A.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego: Układ o n - równań i o n - niewiadomych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy R(A)=R(B); A - macierz układu, B- macierz uzupełniona