dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) UE listy Odcinek 7 (56); Kontynuujemy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. [phone].

LISTA 3

ZADANIA 5 - 7

ALGEBRA LINIOWA

W odcinku w dalszym ciągu omawiamy pojęcia związane z przestrzeniami liniowymi i z przekształceniami liniowymi; wprowadzamy pojęcie izomorfizmu.

Zadanie 5. Wykazać, że jeśli
, to z tego, że operator liniowy
jest różnowartościowy wynika, że jest operatorem na F (a więc jest izomorfizmem).

Najpierw musimy zdefiniować użyte w tekście zadania terminy.

Przekształcenie na

Termin ten dotyczy nie tylko przekształceń liniowych, ale dowolnych funkcji
; mówimy, że funkcja f przekształca zbiór X na zbiór Y , jeśli

1. dla każdego
   istnieje
   taki, że
   .

Mówi się wówczas, że funkcja f jest tzw. surjekcją.

Przekształcenie różnowartościowe

Termin ten również dotyczy dowolnych funkcji
; mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa, gdy zachodzi warunek

2. jeśli
   , to
   .

Implikację (2) można przedstawić w formie:

3. jeśli
   , to
   ,

co możemy odczytać; funkcja f różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, stąd nazwa: funkcja różnowartościowa.

Operator liniowy

Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształceniem liniowym A przestrzeni E w przestrzeń F nazywamy funkcję
taką, że

4. 
   

Terminy operator liniowy i przekształcenie liniowe są synonimami.

Izomorfizm

Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształcenie liniowe
nazywamy izomorfizmem jeśli jest ono różnowartościowe i na.

Znając znaczenie użytych terminów możemy przystąpić do dowodu twierdzenia.

Dowód.

Niech liczba naturalna n oznacza wymiar przestrzeni E, który z założenia jest również wymiarem przestrzeni F; istnieje zatem baza przestrzeni E złożona z n wektorów:

5. 
   baza przestrzeni E.

Oznaczmy:

6. 
   

Pokażemy, że wektory
są liniowo niezależne; niech bowiem będzie dana kombinacja liniowa tych wektorów dająca w wyniku wektor zerowy:

7. 
   ;

weźmy teraz kombinację liniową wektorów
z tymi samymi współczynnikami, jak w kombinacji (7):

8. 
   

nałóżmy na obie strony równości (8) przekształcenie A; z warunku liniowości wnioskujemy, że

9. 
   ;

biorąc pod uwagę zależności (6), (7) i (8) możemy zapisać:

10. 
    ;

ponieważ przekształcenie A jest różnowartościowe, więc z zadania 3b wynika, że
, czyli

11. 
    ;

założyliśmy, że układ
jest bazą, a więc jest liniowo niezależny, stąd wynika, że
, a więc układ
jest niezależny.

Ponieważ założyliśmy, że wymiar przestrzeni F wynosi n więc układ wektorów
dany równościami (6) jest bazą przestrzeni F.

Teraz pokażemy, że operator A jest na. Niech zatem
. Ponieważ układ
jest bazą tej przestrzeni, więc istnieją skalary
takie, że

12. 
    ;

trzeba znaleźć taki wektor
taki, że
, wektorem tym jest oczywiście
; bowiem korzystając z liniowości i związków (6) dochodzimy do wniosku, że rzeczywiście jest
.

Dowód zad. 5 został zakończony.

Komentarz.

Przestrzenie izomorficzne

Dwie przestrzenie liniowe E i F nazywają się izomorficznej jeśli istnieje izomorfizm
przekształcający jedną przestrzeń na drugą.

Z punktu widzenia algebry liniowej przestrzenie izomorficzne są nierozróżnialne, to po prostu jedna i ta sama przestrzeń.

Zadanie 6. Wykazać, że funkcja przyporządkowująca wielomianowi
wektor
jest izomorfizmem przestrzeni
wielomianów stopnia ≤ 2.

Izomorfizm nazwijmy literą A:

13. 
    

Przestrzeń R^3	Przestrzeń W3
	, gdzie
	, gdzie
	, stąd , a więc
	stąd a więc
KONIEC DOWODU LINIOWOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA A

Tabela 1

Dowód liniowości

przekształcenia A

Przekształcenie A jest oczywiście różnowartościowe, gdyż dwa wielomiany są równe li tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki jednego wielomianu są równe odpowiednim współczynnikom drugiego wielomianu.

Przekształcenie A jest również na gdyż wielomian
jest obrazem wektora
.

Koniec zad. 6

Zadanie 7. Wykazać, że każda przestrzeń liniowa wymiaru n jest izomorficzna z przestrzenią
.

Dowód. Niech będzie dana przestrzeń liniowa E wymiaru n ; istnieje baza
tej przestrzeni. Każdy wektor
przestrzeni E ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa elementów bazy
:

14. 
    ;

definiujemy izomorfizm

15. 
    ;

w sposób naturalny

16. 
    

Przestrzeń E	Przestrzeń
oraz	oraz
	, stąd , a więc
	, skąd a więc
KONIEC DOWODU LINIOWOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA A (16)

Tabela 2

Dowód liniowości

przekształcenia A (16)

Przekształcenie A jest różnowartościowe wobec faktu, że układ wektorów
jest liniowo niezależny, w związku z czym li tylko dla wektora zerowego mamy
, a wektor zerowy ma jednoznaczne przedstawienie, jako kombinacja liniowa z samymi zerami.

Przekształcenie A jest również na gdyż wektor
przestrzeni
jest obrazem wektora
należącego do przestrzeni E.

Komentarz. Z uwagi na ten izomorfizm niektórzy autorzy nie przerabiają w ogóle abstrakcyjnych przestrzeni liniowych, lecz zajmują się wyłącznie przestrzeniami
.

Koniec odcinka.

Oznaczenie dim E oznacza wymiar przestrzeni E.

Termin funkcja jest synonimem terminu przekształcenie. Zamiast mówić: funkcja różnowartościowa mówi się często iniekcja.

1