PAiR WYKŁAD IV 10.05.2011

TRANSMIANTCJA OPERATOROWA

Transmitancją operatorowa liniowego stacjonarnego układu dynamicznego nazywa się iloraz K(s) wielomianów reprezentujących transformatę wielkości wyjściowej i wielkości wejściowej.

Model I

Różniczkowe równanie ruchu:

my''(t)+ cy(t)=f(t)

Zakładając zerowe warunki początkowe otrzymujemy:

ms²Y(s)+cY(s)=F(s)

Y(s)(ms²+c)=F(s)

Model II

Różniczkowe równanie ruchu:

my''(t)+ by'(t)+cy(t)=f(t)

Zakładając zerowe warunki początkowe otrzymujemy:

ms²Y(s)+bsY(s)+cY(s)=F(s)

Y(s)(ms²+bs+c)=F(s)

Model III

Różniczkowe równanie ruchu:

my''(t)+ c(y(t)-x(t))=0

my''(t)+ cy(t)-cx(t)=0

ms²Y(s)+cY(s)=cX(s)

Y(s)(ms²+c)= cX(s)

Model IV

Różniczkowe równanie ruchu:

my''(t)+ c(y(t)-x(t)) + b(y'(t)-x'(t))=0

my''(t)+by'(t)-bx'(t)+cy(t)-cx(t)=0

ms²Y(s)+bsY(s)+cY(s)=cX(s)+bsX(s)

Y(s)(ms²+bs+c)= X(s)(bs+c)

Transmitancja operatorowa w układach o wielu wejściach i wielu wyjścach

Lub w postaci operatorowej:

Zachodzą związki:

Y₁(s)=K₁₁(s)X₁(s)+K₁₂(s)X₂(s)+…+K_1w(s)X_w(s)

Y₂(s)=K₂₁(s)X₁(s)+K₂₂(s)X₂(s)+…+K_2w(s)X_w(s)

.

.

.

Y_k(s)=K_k1(s)X₁(s)+K_k2(s)X₂(s)+…+K_kw(s)X_w(s)

Czyli:

Lub:

gdzie:

[Y(s)] = kol[Y₁(s),Y₂(s),…,Y_k(s)]

[X(s)] = kol[X₁(s),X₂(s),…,X_w (s)]

[K(s)] - Macierzowa transmitancja układu

Rodzaje Charakterystyk:

Rozróżnia się trzy następujące rodzaje charakterystyk:

-statyczne

-dynamiczne

-częstotliwościowe

Charakterystyka statyczna - funkcja określająca zależność wielkości wyjściowej elementu lub układu, od wielkości wejściowej x_s w stanie ustalonym (y_s=const, x_s=const).

y_s=f_s(x_s)

Charakterystyka dynamiczna ( czasowa) - przebieg w czasie odpowiedniego układu dynamicznego y(t) na zadane wymuszenie x(t) (najczęściej wymuszenie f. Heaviside'a).

Charakterystyka dynamiczna częstotliwościowa - charakterystyka opisująca sygnał wyjściowy układu w zależności od amplitudy i częstotliwości sinusoidalnie zmiennego sygnału wejściowego.

W przypadku liniowych stacjonarnych układów dynamicznych charakterystyka częstotliwościowa jest jednoznacznie określona przez tzw. „transmitancję widmową układu”.

Podstawowe elementy układu automatyki:

Mogą mieć rożną naturę fizykalną ale strukturalnie ten sam typ modelu matematycznego:

-element bezinercyjny

-element inercyjny pierwszego rzędu

-element oscylacyjny

-element inercyjny drugiego rzędu

-element całkujący

-element różniczkujący pierwszego rzędu

-element z opóźnieniem czasowym

X(s)

Y(s)

K(s)

K(s)=

Y(s)

X(s)

x(t)=x_osinωt

y(t)

c

m

Y(s)

F(s)

=

1

ms²+c

1

ms²+c

=

K(s)

y(t)

1

ms²+c

K(s) =

Y(s)

X(s)

b

m

c

x(t)=x_osinωt

Y(s)

X(s)

c

ms²+c

=

1

ms²+bs+c

K(s) =

Y(s)

X(s)

m

y(t)

c

x(t)=x_osinωt

=

1

ms²+c

K(s) =

Y(s)

X(s)

Y(s)

F(s)

1

ms²+bs+c

x(t)=x_osinωt

c

y(t)

m

b

Y(s)

X(s)

=

bs+c

ms²+bs+c

bs+c

ms²+bs+c

K(s) =

Y(s)

X(s)

x_w(t)

x₂(t)

x₁(t)

y_k(t)

y₂(t)

y₁(t)

liniowy, stacjonarny układ dynamiczny

X_w(s)

X₂(s)

X₁(s)

Y_k(s)

Y₂(s)

Y₁(s)

K₁₁(s)

K₁₂(s)

K_1w(s)

Y₁(s)

Y₂(s)

.

.

.

Y_k(s)

X₁(s)

X₂(s)

.

.

.

X_w(s)

K₁₁(s) K₁₂(s) … K_1w(s)

K₂₁(s) K₂₂(s) … K_2w(s)

.

.

.

K_k1(s) K_k2(s) … K_kw(s)

Y(s)

X(s)

K(s)

=

=

[K(s)]

[Y(s)]

[X(s)]