Projekt przeddyplomowy

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI

MECHANIKA I BUDOWA MASZYN

Studia Dzienne MiBM

Kierunek: Energetyka Gazowa

TEORIA SYMULACJI SIECI GAZOWEJ

Promotor: dr inż. Wojciech Kostowski

Justyna Kopeć

Energetyka Gazowa

Wydział Inżynierii Środowiska i Energetyki

Wstęp do teorii grafów

Pojęcia podstawowe

Grafem nazywa się graficzne lub matematyczne odwzorowanie relacji pomiędzy obiektami grafu: węzłami i krawędziami.

gdzie,
- zbiór węzłów

- zbiór krawędzi

Drogą w grafie
nazywa się dowolny ciąg węzłów taki, że
i
dla i=1,2,…,k.

Droga elementarna to droga, w której żaden wierzchołek nie pojawia się więcej niż jeden raz.

Oczko jest to droga składająca się z węzłów
.

Graf jest grafem spójnym, jeżeli istnieje w nim droga pomiędzy każdą parą węzłów.

Drzewo to graf spójny nie zawierający oczek.

Drzewo T jest dendrytem spójnego grafu G, jeśli T jest podgrafem G i zawiera wszystkie jego węzły.

Rys. Drzewo zawierające siedem węzłów
i sześć krawędzi

Każdy graf spójny posiada przynajmniej jeden dendryt.

Krawędź w dendrycie dendrycie nazywana jest gałęzią dendrytu T.

Krawędż grafu G, która nie należy do danego dendrytu T nazywana jest cięciwą

,

gdzie
- dopełnienie dendrytu do grafu G.

Dodanie jakiejkolwiek jednej cięciwy do drzewa T tworzy dokładnie jedno oczko, a każdy graf ma tle oczek podstawowych, ile wynosi liczba cięciw. Graf może posiadać pętle własne.

Rys. Graf spójny z zaznaczonym oczkiem podstawowym i dendrytem

GRAFY NIESKIEROWANE

Macierz incydencji węzłów i krawędzi

Niech G będzie grafem bez pętli własnych, o
węzłach i
krawędziach. Macierz o wymiarach

, której elementy przyjmują wartości 0 lub 1 według zasady:

gdy
-ta krawędź jest incydentna do
-tego węzła

w przeciwnym przypadku.

Nazywa się macierzą incydencji węzłów i krawędzi.

Własności macierzy incydencji węzłów i krawędzi:

1. Liczba „jedynek” w każdym wierszu równa jest stopniowi odpowiadającemu mu węzła.

2. Każda kolumna macierzy
   zawiera dokładnie dwie „jedynki”, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch węzłów.

3. Węzeł izolowany reprezentowany jest poprzez wiersz zawierający same „zera”.

4. Krawędzie równoległe, w grafie tworzą identyczne kolumny w jego macierzy incydencji.

5. Zamiana dwóch dowolnych wierszy lub kolumn w macierzy odpowiada zmianie etykiet węzłów i krawędzi grafu.

Rys. Graf niekierowany i jego macierze incydencji

Jeśli graf jest niespójny i składa się z dwóch składowych
i
to macierz incydencji grafu
może być zapisana w postaci:

, gdzie:
są macierzami incydencji składowych
.

Podmacierz
o wymiarach
, powstała z usunięcia dowolnego wiersza z macierzy
nazywana jest zredukowana macierzą incydencji węzłów i krawędzi. Usunięty z tej macierzy węzeł nazywany jest węzłem odniesienia (węzeł zasilający w przypadku sieci gazowych).

Macierz incydencji oczek i krawędzi

Niech liczba oczek w grafie
będzie równa
, a liczba krawędzi
. Macierz incydencji oczek i krawędzi
grafu
jest macierzą zerojedynkową o wymiarach
zdefiniowaną :

1, jeśli
-te oczko zawiera
-tą krawędź

0, w przeciwnym razie.

Własności macierzy incydencji oczek i krawędzi:

1. Każdy wiersz macierzy
   jest wektorem oczek

2. Liczba „jedynek” w wierszu równa się liczbie krawędzi w odpowiednim oczku

3. Permutacja dowolnych dwóch wierszy lub kolumn w macierzy odpowiada zmianie etykiet węzłów i krawędzi grafu

Macierz incydencji
grafu dwóspójnego jest tworzona na zasadach identycznych jak macierz
.

Macierz incydencji oczek podstawowych i krawędzi

Podmacierz macierzy
, w której wiersze odpowiadają zbiorowi oczek podstawowych jest macierzą incydencji oczek podstawowych i krawędzi
.

Macierz
posiada wymiar
,
,

gdzie:
- liczba węzłów

- liczba krawędzi grafu

Rys. Graf i jego macierz oczek podstawowych i krawędzi, w odniesieniu do dendrytu

GRAFY SKIEROWANE

Graf skierowany składa się ze zbioru węzłów
, zbioru krawędzi
oraz odwzorowania
przekształcającego każdą krawędź na uporządkowaną parę węzłów
. Węzeł
jest węzłem początkowym, natomiast węzeł
jest węzłem końcowym krawędzi.

Macierze incydencji grafów skierowanych

Macierz incydencji węzłów i łuków grafu skierowanego bez pętli własnych o
węzłach i
łukach, jest macierzą o wymiarze
, której elementy
określane są według następujących zasad:

+1, jeżeli
-ty łuk jest incydenty w
-ty węzeł

-1, jeżeli
-ty łuk jest incydenty z
-tego węzła

0, w innym przypadku

Rys. Graf skierowany

Niech
będzie grafem skierowanym o
łukach i
oczkach skierowanych. Każdemu z oczek przypisana zostaje w sposób zależny od własnego osądu orientacja oczka. Macierz incydencji oczek i łuków grafu skierowanego bez pętli własnych, jest macierzą o wymiarze
, której elementy
określane są według wskazanych formuł:

+1, jeśli
-ty łuk jest w
-tym oczku, a ich orientacje są zgodne

-1, jeśli
-ty łuk jest w
-tym oczku, a ich orientacje są przeciwne

0, jeżeli
-ty łuk nie występuje w
-tym oczku

Rys. Graf skierowany i jego macierze incydencji

ZASTOSOWANIE TEORII GRAFÓW DO OPISU TOPOLOGII SIECI GAZOWYCH

Macierze incydencji grafu skierowanego wykorzystywane są do opisu topologii sieci gazowych. Węzłem grafu sieci jest punkt, w którym spełniony jest jeden z poniższych warunków:

- spotykają się trzy lub więcej rurociągi

- spotykają się dwa rurociągi o różnych średnicach

- rurociąg zmienia swój kierunek

- zainstalowany jest element nierurowy, taki jak:

punkt zasilania lub odbioru gazu

tłocznia

stacja gazowa

zawór

Łukiem grafu sieci jest odcinek rurociągu o stałej średnicy, opisany przez węzeł początkowy oraz końcowy, długość oraz chropowatość bezwględną.

PRAWA KIRCHHOFFA

I Prawo Kirchhoffa

Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi, że suma algebraiczna przepływów w każdym węźle sieci musi być równa zeru.

Rys. Topologia przykładowej sieci gazowej

Dla sieci z rysunku:

Powyższe równania są liniowo zależne, i usuwając z nich równanie odpowiadające węzłowi zasilania otrzymuje się:

, gdzie

Zapisując powyższe równanie w postaci macierzowej otrzymamy następujący zapis Pierwszego prawa Kirchhoffa:

, gdzie:

- wektor obciążeń w węzłach,

- wektor przepływów w łukach

- macierz incydencji węzłów obciążonych i łuków

- liczba węzłów

- liczba łuków

- liczba źródeł

II Prawo Kirchhoffa

Drugie prawo Kirchhoffa określa sumę algebraiczną spadków ciśnień w oczku jako równą zeru.

Dla sieci z rysunku:

oczko A:

oczko B:

Równania można zapisać w postaci:

Macierzowy zapis Drugiego prawa Kirchhoffa:

, gdzie :
- wektor spadków ciśnień w łukach

- macierz incydencji oczek podstawowych i łuków

Drugie prawo Kirchhoffa może zostać zapisane także w postaci:
,

gdzie:
- wektor ciśnień węzłowych

- wektor spadków spadków ciśnień w łukach sieci

dla sieci niskiego ciśnienia:

dla sieci średniego średniego wysokiego ciśnienia:

Metody symulacji statycznej sieci gazowych

Ogólnie metody symulacji sieci gazowych dzieli się na oczkowe i węzłowe. W metodach oczkowych przyjmuje się, że w punkcie startowym obliczeń spełnione jest Pierwsze prawo Kirchhoffa w każdym węźle sieci (poprzez odpowiedni dobór przepływów startowych w łukach grafu sieci). W kolejnych przybliżeniach modyfikowane są przepływy w łukach dzięki zastosowaniu dodawania lub odejmowania odpowiedniej wartości przepływu oczkowego. W rezultacie doprowadza się do takiego rozpływu strumieni gazu w sieci, ze spełnione jest Pierwsze prawo Kirchhoffa w każdym węźle i jednocześnie spadki ciśnień odpowiadające przepływom w łukach spełniają Drugie prawo Kirchhoffa w każdym oczku.

W metodach węzłowych w punkcie startowym spełnione jest Drugie prawo Kirchhoffa w każdym oczku, dzięki odpowiedniemu doborowi domniemanych wartości ciśnień w węzłach. Ciśnienia te modyfikowane są w kolejnych iteracjach tak, aby spełnione zostało również Pierwsze prawo Kirchhoffa.

Równanie przepływu

W zależności od stosowanej metody symulacji sieci, równanie przepływu przyjmuje jedną z dwóch postaci:

dla metod oczkowych

dla metod węzłowych

Metoda oczkowa

W metodzie oczkowej rozwiązywany jest następujący układ równań nieliniowych:

I prawo Kirchhoffa

II prawo Kirchhoffa

równanie przepływu

Zarówno założone przez nas startowe jak i obliczane kolejno w procesie iteracyjnym wartości przepływów w łukach muszą spełniać I prawo Kirchhoffa w każdym węźle sieci. Następnie za pomocą modyfikowania wartości przepływów o wartości obliczone funkcjami błędu doprowadza się do takich spadków ciśnień w sieci, aby ciśnienie końcowe spełniało założenia II prawa Kirchhoffa.

Metoda węzłowa

W metodzie węzłowej rozwiązywany jest następujący układ równań nieliniowych:

I prawo Kirchhoffa

II prawo Kirchhoffa

równanie przepływu

Metoda węzłowa bazuje na zakładaniu ciśnień w węzłach sieci, aby w każdym oczku tej sieci było spełnione II prawo Kirchhoffa. Poprzez obliczenia i proces modyfikacji wartości, po przeprowadzonej iteracji, w węzłach tak, żeby przepływy w łukach spełniały w każdym węźle I prawo Kirchhoffa.

Źródło grafik: Statyczna symulacja sieci gazowych, prof. A.Osiadacz

Przykłady obliczeniowe

Rys. Przykład topologii sieci do obliczeń

Liczba węzłów - 6

Liczba łuków - 7

Liczba elementów niesurowych - 1

Tablica 1. Lista łuków

Nr łuku	Węzeł początkowy	Węzeł końcowy	Długość [m]	Średnica [mm]
1	1	3	250	150
2	1	2	250	100
3	3	4	245	100
4	1	6	255	150
5	2	5	240	100
6	6	5	255	100
7	6	4	245	150

Tablica 2. Lista węzłów

Nr węzła	Ciśnienie [Pa]	Obciążenie [ ]
1	2500
2		105
3		100
4		110
5		120
6		130

Wzór Lacey'a :

, [Pa]

Tablica 3. Stałe łuków

Nr łuku	Stała łuku k
1	0,00361
2	0,03048
3	0,02987
4	0,00368
5	0,02927
6	0,03109
7	0,00354

Macierz B

Zakłada się, że przepływy w łukach zamykających oczka są równe zero.

Przepływ przez łuki oblicza się poprzez algebraiczne wyznaczenie wielkości przepływu, np.:

w łuku nr 1, przepływ będzie równy różnicy poboru w węźle nr 3 i w węźle nr 4.

Nr łuku	1	2	3	4	5	6	7
	290	245	110	130	120	0	0
[Pa]	302,8	1829,6	361,4	62,2	421,5	0	0
K	1,0469	7,4676	3,2857	0,4784	3,5124	0	0

Metoda oczkowa, wersja wektorowa

Błędy w oczkach:

Oczko A:

Oczko B:

Nowa tabela przepływów po pierwszej iteracji:

Nr łuku	1	2	3	4	5	6	7
	290	245	110	130	120	0	0
	362,236	343,484	182,236	-40,72	218,484	-98,484	-72,236
	1,308	10,47	5,44	-0,15	6,40	-3,06	-0,26
	473,69	3596,07	991,98	6,10	1397,21	301,54	18,47

Metoda oczkowa, wersja skalarna

Błędy w oczkach:

Oczko A:

Oczko B:

Poprawki przepływów oczkowych:

Ustala się nowe wartości przepływów oczkowych:

Ponieważ startowe wartości przepływów oczkowych są równe zero:

Nr łuku	1	2	3	4	5	6	7
	227,39	148,69	47,39	288,92	23,69	96,31	62,61
	186,66	673,87	67,082	307,19	388,92	288,38	13,88
	0,821	4,532	1,416	1,063	0,693	2,994	0,222

Metoda węzłowa, wersja wektorowa

Spadek ciśnienia w łuku sieci:

Nr węzła	2	3	4	5	6
	670,4	2197,2	1835,8	248,9	2437,8

Obliczenia iteracyjne prowadzi się na podstawie wzoru na zależności przepływu w łukach, które są dopełnieniem drzewa grafu sieci. W tym przypadku będą to łuki nr 6 i 7.

, gdzie

Ewentualne wartości przepływów o znakach ujemnych oznaczałyby, że źle został przyjęty kierunek przepływu gazu.

Tablica przepływów i spadków ciśnienia w łukach

Nr łuku	1	2	3	4	5	6	7
	290	245	110	130	120	265,34	412,38
	302,8	1829,6	361,4	62,2	421,5	2120	602
	0,958	0,134	0,304	2,09	0,285	0,125	0,685

Funkcje błędu w węzłach:

Metoda węzłowa, wersja skalarna

Tablica wartości startowych ciśnień

Nr węzła	2	3	4	5	6
	670,4	2197,2	1835,8	248,9	2437,8

Funkcje błędu w węzłach:

Poprawki
:

Literatura

Andrzej J. Osiadacz, „Statyczna symulacja sieci gazowych”

Fluid Systems Sp. z o.o. Warszawa 2001

Wykłady z „Symulacji Sieci Gazowych”

Studium podyplomowe Współczesna Energetyka Gazowa i Gazownictwo

Stanisław Nagy, Andrzej olajossy, Jakub Siemek, „Analiza przydatności niektórych algorytmów symulacji przepływów ustalonych w sieciach pierścieniowych”

Archives of Mining Sciences 49, 2(2004) 151-174

Czasopismo: „Nowoczesne Gazownictwo”

Program wykorzystany do podstawowych działań na macierzach,

www.eureka-pile.republika.pl/

- 20 -