Zadanie 19

Ładunek q jest rozłożony równomiernie wewnątrz nieprzewodzącej kuli o promieniu R . Wykazać że potencjał w odległości r od środka kuli (r < R) wyraża się następującym równaniem :

wyjściowe równania :

we współrzędnych sferycznych :

odnosząc to do obszaru I I :

mnożąc przez oraz :

całkując prawą stronę równania :

mnożąc przez :

całkując :

założenie :

wobec czego :

dla obszaru I I :

całkując prawą stronę :

całkując :

bo kiedy to a dla r = 0 ma skończoną wartość .

ostatecznie :

korzystając z ciągłości potencjału :

podstawiając R :

wracając do naszego równania :

ostatecznie :

po uproszczeniu i sprowadzeniu do wspólnego mianownika :

ostatecznie :