Wiadomości wstępne

Liczbę Napiera (zwaną także liczbą Eulera-Nepera, albo Eulera) oznaczamy małą literką e. Jest to szczególna liczba. Pojawia się bardzo często w analizie. Jest podstawą logarytmu naturalnego. Definiujemy ją jako granicę następującego ciągu:

Można łatwo dowieść że ciąg zdefiniowany tak:

Jest rosnący. Oto dowód: z dwumianu Newtona mamy

Zatem (co widać od razu):

Równie łatwo dowieść że ciąg ten jest ograniczony. Dowód polega na odpowiednim ograniczeniu z góry i wygląda tak:

Zatem:

e można jeszcze zdefiniować inaczej za pomocą rozwinięcia funkcji wykładniczej o podstawie równej e w szereg Taylora. W praktyce często używa się tej własnie definicji:

(można zresztą wyprowadzić łatwo ten wzór nawet bez korzystania z szeregów Taylora, a bespośrednio z definicji.) Euler odkrył że liczbę e można rozwinąć w ułamek łańcuchowy.

Liczba e jest niewymierna Można tego dowieść w następujący sposób:
Wiemy, że e to liczba niecałkowita z przedziału (2,3). Załóżmy zatem, że e jest liczbą wymierną:

Tworzymy teraz następujący ciąg:

Łatwo teraz zauważyć następujący fakt:

Oszacujmy zatem ciąg c :

Uzyskana sprzeczność dowodzi iż liczba e nie jest wymierna.

Jest również przestępna (nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu stopnia skończonego o współczynnikach wymiernych), co już zdecydowanie trudniej udowodnić W przybliżeniu e równa się 2.71828.Poniżej zamieszczam jej sensowne przybliżenie:

e=

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821

W pliku tekstowym umieścilem jako ciekawostkę liczbę e z dokładnością do 100000 miejsca po przecinku. Aby go obejrzeć należy klikąć tutaj.

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
oraz wszelkie tablice matematyczne.