Transformata Laplacea

F(s) istnieje jeżeli istnieje niepusty zbiór wartości s, w którym całka Laplace'a jest zbiezna.

Transformata Laplace'a - właściwości

*liniowośc

*przesunięcie w dziedzinie czasu

*różniczkowanie w dziedzinie czasu

*całka oznaczona

*przesunięcie w dziedzinie zespolonej

*mnożenie przez t

*własności transformaty splotu

Zespolony szereg Fouriera:

Włosności zespolonego szeregu Fouriera:

*liniowośc:

*przesunięcie w dziedzinie czasu:

*pochodna po czasie

*delta Diraca

Uzasadnij (wyprowadź) równośc Parsevala

Równośc Parsevala:

Dowód:

Jeżeli:

F(t)=g(t) to:

Na podstawie równości możemy powiedzieć ze moc przebiegu okresowego jest rozłożona w widmie tego przebiegu

Równośc Parsevala

Związek Fouriera i laplace'a

Dla t<0

Transformata odwrotna:

Rozwiązanie równania Laplace'a określa tw. R-Mellina

Np.: rozkład na ułamki proste:

Szereg Fouriera:

Szereg trygonometryczny:

Szereg zespolony:

Stabilność BIBO

Układ sls jest stabilny w sensie BIBO

-wtedy i tylko wtedy gdy jego charakterystyka impulsowa ma postać:

-wtedy i tylko wtedy gdy jego funkcja układu:

Spełnia warunki:

-st L(s)≤st M(s)

-M(s) jest wielomianem Hurwitza (Wielomian, którego zera leżą tylko na lewej płaszczyźnie)