Teoria pola

Niech

- obszar przestrzenny,
;

- pole skalarne,
;

- pole wektorowe,
.

Wektorowym operatorem różniczkowym (operatorem Hamiltona) nazywamy symboliczny wektor
,

.

Korzystając z symbolu
łatwo podać definicje funkcji pola skalarnego F i wektorowego
:

• gradient pola F

,

• dywergencja pola
  

• rotacja pola
  

Niech S - powierzchnia dwustronna,

.

Strumieniem pola wektorowego
przez powierzchnię S w kierunku wersora
nazywamy całkę powierzchniową zorientowaną

Niech K - krzywa zamknięta

Cyrkulacją pola
wzdłuż krzywej zamkniętej K nazywamy całkę krzywoliniową skierowaną

, gdzie
- wersor styczny do krzywej K

skierowany zgodnie z tą krzywą.

Wzór Stokesa

, gdzie krzywa K i powierzchnia S mają

zgodną orientację.

Wzór Gaussa - Ostrogradskiego

.

Definicja

Niech
,

.

Pole wektorowe
nazywamy polem potencjalnym, gdy
,
.

Funkcję U nazywamy potencjałem skalarnym pola wektorowego
.

Jeśli V - jednospójny powierzchniowo, to

- potencjalne

Ponadto potencjał U wyznaczamy ze wzoru

,

gdzie
jest ustalonym punktem,

Przykład

Obliczyć pracę wykonaną przez siłę
działającą wzdłuż obwodu trójkąta ABC o wierzchołkach A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).

Praca

Aby skorzystać z twierdzenia Stokesa wyznaczmy wersor normalny do trójkąta ABC. Płaszczyzna zawierająca ten trójkąt ma równanie

,

a więc wektor normalny oraz wersor normalny mają współrzędne:

,
.

Ponadto

.

Zatem

,

gdzie

przy czym D jest rzutem ABC na płaszczyznę OXY.

Stąd zamieniając całkę powierzchniową niezorientowaną na całkę podwójną otrzymujemy

3