Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna

1. Definicja prawdopodobieństwa.

2. Własności dystrybuanty.

3. Sprawdzić, czy funkcja
   może być dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa.

4. Udowodnić, że jeśli P jest rozkładem prawdopodobieństwa na
   to funkcja określona wzorem
   ma własności:

1. F jest niemalejąca

2. 
   

3. F jest lewostronnie ciągła

5. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego.

6. Udowodnić, że
   .

7. Udowodnić, że
   

8. Udowodnić, że dla dowolnych dwóch zdarzeń
   .

9. Udowodnić, że: jeśli
   to
   .

10. Sformułować i udowodnić twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.

11. Sformułować i udowodnić twierdzenie Bayesa.

12. Definicja zmiennej losowej.

13. Udowodnić, że
    .

14. Rozkład Bernoulliego

15. Rozkład Poissona

16. Rozkład normalny

17. Napisać funkcję gęstości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym z wartością       oczekiwaną 5 i odchyleniem standardowym 7.

18. Parametry zmiennych losowych (średnia, wariancja, odchylenie standardowe, mediana i wartość modalna).

19. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe σ, to zmienna losowa
    ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

20. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 5 i odchylenie standardowe 4, to zmienna losowa
    ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

21. Twierdzenie Poissona (dowód)

22. Zmienne losowe typu skokowego. Rozkład zmiennej losowej typu skokowego.

23. Zmienne losowe typu ciągłego. Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego.

24. Twierdzenie Linderberga-Levy'ego

25. Określenie populacji i próby

26. Zasady budowy szeregów rozdzielczych

27. Definicja i własności estymatorów punktowych

28. Wyprowadzić wzór na estymator wartości oczekiwanej

29. Udowodnić, że średnia arytmetyczna jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej.

30. Udowodnić, że
    

31. Wyprowadzić wzór na przedział ufności dla wartości oczekiwanej na podstawie próby z populacji o rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym.

32. Omówić zasady testowania hipotez statystycznych.

33. Podać przykład konstrukcji testu statystycznego dla wartości średniej.

34. Omówić test zgodności
    .

35. Omówić test zgodności λ-Kołmogorowa.

36. Omówić sposób konstrukcji prostej regresji.

37. Omówić metodę najmniejszych kwadratów i podać przykłady jej zastosowania.

1. Definicja prawdopodobieństwa.

2. Udowodnić, że
   .

3. Definicja i własności estymatorów punktowych

1. Własności dystrybuanty.

2. Rozkład Bernoulliego

3. Wyprowadzić wzór na estymator wartości oczekiwanej

1. Udowodnić, że jeśli P jest rozkładem prawdopodobieństwa na
to funkcja określona      wzorem
ma własności:

1. F jest niemalejąca

2. 
   

3. F jest lewostronnie ciągła

2. Rozkład normalny

3. Podać przykład konstrukcji testu statystycznego dla wartości średniej.

1. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego.

2. Rozkład normalny

3. Omówić sposób konstrukcji prostej regresji.

1. Udowodnić, że
   .

2. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe σ, to zmienna losowa
   ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

3. Zasady budowy szeregów rozdzielczych

1. Udowodnić, że
   

2. Udowodnić, że
   

3. Omówić test zgodności
   .

1. Udowodnić, że dla dowolnych dwóch zdarzeń
   .

2. Rozkład Poissona

3. Wyprowadzić wzór na estymator wartości oczekiwanej

1. Udowodnić, że: jeśli
   to
   .

2. Twierdzenie Poissona

3. Udowodnić, że średnia arytmetyczna jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej.

1. Sformułować i udowodnić twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym

2. Wyprowadzić wzór na przedział ufności dla wartości oczekiwanej na podstawie próby z populacji o rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym.

3. Określenie populacji i próby

1. Rozkład Poissona

2. Parametry zmiennych losowych

3. Omówić test zgodności λ-Kołmogorowa.

1. Podać przykład konstrukcji testu statystycznego dla wartości średniej.

2. Napisać funkcję gęstości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym z wartością      oczekiwaną 7 i odchyleniem standardowym 8.

2. Sformułować i udowodnić twierdzenie Bayesa.

1. Omówić sposób konstrukcji prostej regresji.

2. Napisać funkcję gęstości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 17 i odchyleniem standardowym 25

3. Sformułować i udowodnić twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.

1. Omówić test zgodności λ-Kołmogorowa

2. Twierdzenie Linderberga-Levy'ego

3. Udowodnić, że: jeśli
   to
   .

1. Omówić test zgodności
   .

2. Zmienne losowe typu skokowego. Rozkład zmiennej losowej typu skokowego.

3. Udowodnić, że dla dowolnych dwóch zdarzeń
   .

1. Podać przykład konstrukcji testu statystycznego dla wartości średniej.

2. Zmienne losowe typu ciągłego. Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego.

3. Udowodnić, że
   

1. Omówić zasady testowania hipotez statystycznych.

2. Wyprowadzić wzór na estymator wartości oczekiwanej.

3. Udowodnić, że
   .

1. Wyprowadzić wzór na przedział ufności dla wartości oczekiwanej na podstawie próby z populacji o rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym.

2. Rozkład normalny

3. Sprawdzić, czy funkcja
   może być dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa.

1. Sformułować i udowodnić twierdzenie Bayesa.

2. Udowodnić, że średnia arytmetyczna jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej.

3. Rozkład Poissona