EGZAMIN gr.A

1. Obliczyć pierwiastki 2-go stopnia z liczby z:

z = -5i + (-2 + i)(1 - 2i) + 2 - 2
i

2. Sprawdzić, rozwiązując odpowiedni układ równań metodą eliminacji Gaussa czy wektory a, b, c, d tworzą bazę przestrzeni
.

a = (1, 0, -1, 1)

b = (1, 1, -2, 0)

c = (2, 1, 0, 1)

d = (1, 1, 1, 0)

3. Zbadać określoność formy kwadratowej.

4. Wyznaczyć ekstrema funkcji

5. Obliczyć

D: trójkąt o wierzchołkach A = (0,0), B = (2,0), C = (2,1)

6. Rozwiązać równanie różniczkowe (o zmiennych rozdzielonych)

ROZWIĄZANIE

Zadanie 1.

Zadanie 2.

Wektory a, b, c, d nie tworzą bazy przestrzeni
ponieważ są liniowo zależne.

Zadanie 3.

Forma nieokreślona.

Zadanie 4.

więc:

Punkty krytyczne to:

Macierz drugiej pochodnej:

nieokreślona - brak ekstremum

Określona dodatnio - minimum w punkcie (5,6)

Zadanie 5.

=

Zadanie 6.

Porównanie ułamków - ponieważ powyższe ułamki mają taki sam mianownik więc żeby były równe ich liczniki muszą być sobie równe. Otrzymamy równanie:

Zatem:

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ROZWIĄZUJE SIĘ JESZCZE METODĄ

1. Równań jednorodnych

Mnożąc przez x otrzymamy ostateczny winik:

2. Równań liniowych

Przykład:

Stronę z wyrażeniem
przyrównujemy do 0

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

Zakładając, że C zależy od x otrzymamy:

(*) całka ogólna równania jednorodnego

Obliczone wielkości wstawiamy do równania wyjściowego i otrzymujemy:

(*) całka szczególna równania niejednorodnego

tu podstawiamy sumę równań z (*)

Otrzymaliśmy całkę ogólną równania niejednorodnego.