Linia ugięcia belki. Równanie różniczkowe linii ugięcia

Analizując odkształcenie belki poddanej czystemu zginaniu można stwierdzić, że w skutek działania momentu gnącego zachodzi wzajemny obrót względem osi obojętnej, uprzednio równoległych przekrojów. Odkształcenia te powodują zakrzywienie (ugięcie) pierwotnie prostej osi pręta.

W układzie prostokątnym, w którym oś x pokrywa się z nieodkształconą osią pręta wartość ugięcia osi określa równanie:

(1)

Krzywiznę belki określa wzór:

(2)

Z kolei znany z geometrii różniczkowej wzór na krzywiznę linii płaskiej ma postać:

(3)

Porównując prawe strony równań (2) i (3) otrzymujemy:

(4)

Równanie (4) jest równaniem różniczkowym linii ugięcia, jego całkowanie jest kłopotliwe toteż w praktyce technicznej stosuje się pewne uproszczenie. Jeżeli naprężenia w danym przekroju belki nie przekraczają granicy proporcjonalności to kąt nachylenia stycznej do linii ugięcia jest mały a zatem można przyjąć, że wielkość (dy/dx)² jest znacznie mniejsz od jedności, zatem:
. Przy takich założeniach równanie (4) przyjmuje postać:

(5)

Przyjęcie w równaniu (5) znaku + lub - jest zależne od umowy dotyczącej znaku momentu gnącego i ore4ntacji układu osi. Stosując przyjęte wcześniej umowy przyjmuje się następującą postać równania linii ugięcia:

(6)

(7)

Przyjmując, że moment gnący M_g oraz siła tnąca są określone w postaci funkcji za punkt wyjścia do wyznaczenia przemieszczeń przyjmuje się równanie (7). Całkując równanie dwukrotnie otrzymujemy:

(8)

(9)

Różniczkowe równanie linii ugięcia można sformułować dla przedziału belki, dla którego określona jest funkcja M_g. Liczba równań odpowiada liczbie przedziałów ciągłości. Stałe C i D wyznacza się z określonych warunków, którym muszą odpowiadać przemieszczenia na brzegach przedziałów (warunki brzegowe). Są one zależne od rodzaju podpór i ogólnego warunku ciągłości linii ugięcia. Warunek ten dla punktów stanowiących granicę przedziałów ciągłości wyraża się jako warunek nieciągłości przemieszczeń kątowych (kątów ugięcia).